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郑州大学 2002级 高等数学（下） 理工 课程试题 （A卷）题号一二三四五六七总分分数合分人： 复查人： 分数评卷人一 （10分）设试证：在点处不连续；但偏导数与存在。证明：（一）让动点沿直线时， 但让动点沿直线时， 所以， 不存在。 （二）。因为，所以，同理，分数评卷人二（10分）设其中可微，求解：三（10分）设 ，试证： 。解：原微分方程的特征方程为。 解之，得特征根为所以，原方程的通解为 2.设求解： 所以，3判定级数的敛、散性解：因为且收敛，故原级数也收敛。4交换积分次序：。解：积分区域，如图所示。交换积分次序后则5求，其中C是折线段解：如图所示。二（共8分）分数评卷人设其中可微，求解： 。 。三（共8分）分数评卷人设，求解：对方程组两边同时关于求偏导，得：以消元法解之，得：分数评卷人四（共8分）1。设S是锥面介于平面和平面之间部分，求解：S向xoy平面上的投影区域为 由， 故 五 。（共10分）分数评卷人求幂级数 的和函数 ，并求级数的和。解：（一）因为所以，收敛半径 又在端点处，显然级数发散，故级数的收敛域为 （二）令由逐项积分，得： 所以，分数评卷人（三）六。（共10分） 已知求，使曲线积分与路径无关，其中可微。解：因为与路径无关，所以， ，即： 此为一阶线性微分方程。由公式其通解为。代入初始条件得：C=0.故分数评卷人，七。（共10分）计算其中S是曲面介于平面和平面之间部分的下侧。解：补充平面取上侧。记为由所围成的区域。则由高斯公式： 故分数评卷人八（共10分）设函数试问函数在点是否连续；偏导数是否存在，若存在，求出偏导数的值。解：（一）我们说，不存在，从而，在点处不连续。事实上，让动点沿直线时， 而让动点沿抛物线时， 所以， 不存在。 （二）。因为，所以，同理，分数评卷人九。（共8分）设三角形的边长分别为，其面积为，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值。解：任取三角形内一点，设其距三边的距离分别为，则有 问题转化成求在下的最大值。令，令，解之
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