欧拉静平衡方程.doc

欧拉静平衡方程 为了进一步研究流体静平衡规律和流体内部静压强分布规律，我们先运用牛顿第二定律建立流体静平衡方程. 图 2-3 从静止流体中取一微小六面体，其表面与坐标平面平行，边长分别为（参见图23）. 从上一节的讨论中知道，作用在流体上的力有质量力和表面力. 对于所取的微元体，作用在其上的质量力为，其中是微元体的质量. 在静止流体中，不存在切向力，表面力中仅有压力. 由于流体中各处的压强不同，即压强是空间坐标的函数，. 因而作用在微元体各个面上的压力不同，其合力可由六个面上的压力按向量相加而得. 设微元体中心C点的压强为，则微元体六个面上的压强可用泰勒级数将压强在C点展开而得，例如，微元体左面的压强为 展开时略去了二阶以上微量，因为取极限时，这些项将趋于零. 同样，微元体右面的压强为 图23 上表示了方向两个面上的压力作用. 每个力是三项的乘积，第一项是压强的大小，第二项是表面积，第三项是单位坐标向量，图上也表明了每个力都指向作用面. 用同样方法可以写出其它面上的作用力. 这些表面力的合力为 化简后为 （）括号中的项称为压强梯度，并写作或. 在直角坐标系中 （24）梯度或可看作是一个向量运算符：对标量取梯度后得到向量. 采用梯度符号后，式（）可写成从而 上式表明，压强梯度是单位体积流体所受表面力的负值. 组合表面力和质量力，可以得到作用在微元体上的总作用力为在静止流体中，流体加速度为零. 于是，根据牛顿第二定律，作用在微元体上的作用力应平衡，即于是得到 （25）从式（25）的导出过程可以看出其中各项的物理意义，第一项是单位体积流体所受的质量力，第二项是单位体积流体所受的表面力. 将式（25）投影到各坐标轴，可得三个标量方程 （26）式（25）和式（26）是由欧拉在1775年首先导出的，因此通常称它为欧拉静平衡方程. 它表示了流体在质量力和表面力作用下的平衡条件. 将微分方程组（26）中各式分别乘以和后相加，则得上式右边是压力函数的全微分，所以上式又可写成 （27） 如果所讨论的流体是不可压缩的，则因式（27）左边是全微分，那么右边也应是某个函数的全微分，令此函数为，于是有 （28）比较式（27）和式（28），可以看出 （29）以及 式（29）表明了函数与质量力之间的关系. 为了弄清函数的物理意义，我们做如下分析. 在流体中取一点A，若将该点流体移动距离（参见图24），在坐标方向的分量分别为和，则质量力对单位质量流体所作的功为 这个值刚好等于函数的增量. 另一方面，它也是单位质量 图 2-4流体的势能（位能）的变化量. 因此，函数反映了单位质量流体的势能. 所以称为势函数或力函数. 并且得出如下结论：质量力有势是不可压流体静止的必要条件. 运动微分方程粘性流体运动微分方程的推导方法和理想流体的欧拉方程推导方法相同，仅在作用力中出现切向表面力。y图 7-4参看图74，在粘性流体中任取一点C，以C为中心作微元六面体，它的六个表面分别与各坐标平面平行，其边长分别为dx，dy，dz。对此六面体运用牛顿第二定律，下面先来求沿x轴方向的运动微分方程式。各类力沿x轴方向的分力为表面力 由于微元体是无限小的，因此各个面上的平均应力的大小可以采用表面中心处的应力值。设微元体中心C点的应力状态为则各个表面中心处的应力可按台劳级数展开得到。作用在与x轴相垂直的左右两个面上的应力分别为和，因此，这两个面上的表面力沿x轴方向的合力为同理，作用在与y轴相垂直的微元体上、下两个面上的表面力沿x轴方向的合力为作用在与z轴相垂直的微元体前、后两个面上的表面力沿x轴方向的合力为作用在整个六面体上的表面力沿x轴方向的合力为质量力 按照以前的规定，用表示单位质量流体所受的质量力沿x轴方向的分量，则所取六面体沿x轴方向的质量力为微元六面体的加速度（即C点的加速度）在X轴方向的分量为，微元六面体的质量。于是，根据牛顿第二定律，有化简后得同法，对于其他两个坐标方向也可得出相类似的方程式。这样，就可以得到下列方程组 （77）式（77）就是以应力形式表示的粘性流体运动的微分方程。在质量力已知的情况下，即使对于不可压缩流体，方程中有九个未知量：三个速度分量及六个应力分量，而仅有四个方程（一个连续方程和三个分量的运动方程），不足以解出方程中的未知量。因此，需要运用广义牛顿定律。将式（75）代入方程组（77），经整理后可以得到 （78a） （78b） （78c）式（78）就是粘性流体的运动微分方程，在流体力学中称它为纳维斯托克斯（NavierStokes）方程，简称NS方程。对于常数的不可压缩流体，NS方程可简化为 （79）在动力机械中，由于旋转部件的存在，常采用圆柱坐标，下面直接给出圆柱坐标中的NS方程（设为常数）。 （710a） （710b） （710c）其中，是圆柱坐标系中的速度分量，是单位质量流体所受的质量力在各坐标轴方向的分量。由于NS方程是非线性偏微分方程，对一般问题很难求出解析解。方程得出至今已有一百多年的历史，但到目前为止，只能对少数较为简单的流动求出解析式。20世纪80年代以来，由于数值方法和计算机技术的发展，对NS方程的求解进行了大量的研究工作，并取得了重大的进展。微分形式动量方程在运动流体中取一质量为的流体微团，根据牛顿运动第二定律，有 （560）图 5-17此处，为作用于单位体积流体微团上外力的合力。一般情况下作用于流体微团上的外力包括有表面力和质量力。表面力又分法向压力和切向粘性力。我们这里研究的是理想流体，故粘性力等于零。流体微团所受的压强力如图5-17所示，沿x轴正方向压强力的合力为，沿y轴正方向和z轴正方向分别为和，此处和分别表示立方体相应表面的面积，把流体微团所受压强力的总合力以矢量形式表示，则有 因此，代表单位体积流体微团所受的压强力。设单位质量流体微团所受到的质量力为，则流体微团所受到的质量力为，因而作用在流体微团上的所有外力的合力为 将上式代入式（5-60），整理后得到 （561）这就是理想流体微分形式动量方程，又称欧拉运动微分方程。它说明单位质量流体所具有的惯性力与该流体所受到的压强力和质量力相平衡。欧拉运动微分方程在直角坐标系中分量形式为 （562）在圆柱坐标系中，欧拉方程则为 （563）我们在介绍流体微团运动分析时讲过，流体微团的运动速度中包含有与旋转角速度有关的分速度，因此，为以后使用方便，现把欧拉方程转变成包含旋转角速度的形式。把式（5-62）第一式边同时加减下列项：。这样就得到上式中而 因此欧拉方程第一式可改写成 类似有 （564） 这方程称葛罗米柯方程。在圆柱坐标系中，葛罗米柯方程为 （565）下面对欧拉和葛罗米柯方程进行讨论：1）欧拉和葛罗米柯方程都只适用于理想流体，因为在推导欧拉方程时表面力只考虑了压力项而忽略了粘性力项。考虑粘性力项时方程要复杂得多，留待后面讲粘性流时再介绍。2）它们既适用于可压流，也适用于不可