力矩和力偶理论.doc

第三章 力矩和力偶理论教学要求1 对于力对点之力矩矢应有清晰的理解，对于平面问题中力对点之矩应能熟练计算。2 深入理解力偶和力偶矩的概念。明确力偶的性质和力偶的等效条件。3 掌握力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。本章重点平面问题中的力对点之矩的计算，力偶矩的计算，平面力偶性质和力偶等效条件。一力对点之矩与力对轴之矩1力对点之矩1）概念实例：力对矩心O的力矩取决于下列三要素 力对矩心O所决定平面的方位，由法线表示，该平面称为力矩作用平面。力矩作用平面内，力绕矩心O的转向。 力矩的大小，力矩矢方位：沿过O点力矩作用面的法线，表示力矩作用的方位。模：等于力矩大小指向：用右手法则，表示力矩转向 （3.1）力矩矢是定们矢量。（此式不是力矩的大小，应解释清楚为什么能用表示力矩矢。2）解析式若则 （3.2）于是在、轴上的投影为 （3.3）若力及矩心O都位于平面内，则可用一代数量表示 （3.4）3）汇交力系的合力矩定理设有汇交于点A的汇交力系，其合力为，自O至A作矢径，则合力对点O的力矩矢为将代入上式有 （3.5）即：汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各个分力对同一点力矩矢的矢量和，对于平面问题有平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。2力对轴之矩1）概念实例: 门绕门轴转动设作用在刚体上的力的作用点为A，将力分解为两个力，其中，另一分力在过A且垂直于轴的平面内。由经验知：分力不会使刚体绕轴转动，正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴转动一样，力对刚体绕轴的转动完全决定于分力对O点之矩，于是力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩 （3.6）正负号由右手螺旋法则确定 2）解析式 （3.7a） 同理 （3.7b） （3.7c）3力对点之矩与力对轴之矩之间的关系对比（3.3）及（3.7）可知 （3.8）上式表明：力对点O之力矩矢在通过该点的任一轴L上的投影等于力对该轴之矩。 即： （3.9）其中表示沿L方向的单位矢量。例1：力作用于支架上的点C,如图所示，设，试求力分别对点A,B之矩。解： 因为求力对A、B两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解。 例2：如图所示，力通过点A(3,4,0)和点B(0,0,5),设，图中尺寸单位为m。 求：(1)力对直角坐标轴x,y,z之矩；(2)力对图中轴OC之矩，点C坐标为(3,0,5)。解：1.利用式(3.7)计算力对轴x,y,z之矩。先计算力在坐标轴上的投影，图中 力作用点A的坐标为x=3m,y=4m,z=0于是2.利用式(3.8)计算力对坐标轴x,y,z之矩。先计算力对点O之力矩矢，为此写出力和矢径的解析式：, 利用式(3.1)有 再利用式(3.8)有 3.计算力对图中轴OC之矩。先计算沿轴OC的单位矢量：再利用式(3.9)，有二力偶及其性质1力偶的概念：大小相等，方向相反，作用线平行，但不在同一直线上的两个力组成的力系称为力偶，记为。力偶中的两力作用线间垂直距离d称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称为力偶作用面，力偶矩实例：攻螺丝2力偶的性质：性质1：力偶不能简化为一合力。首先研究两反向平行力的合成：刚体上A、B两点作用反向平行力、，设，因、不相交，不能直接应用力的平行四边形法则合成，故在A和B两点各加一力、，令这两个力大小相等，作用线相同，方向相反，即有，即和是一对平衡力，和交于点，由平行四边形法则可求和的合力，必过C点，即 令的指向为正，则的大小为合力的作用线和的作用线平行，指向与相同，为了确定合力作用线的位置，延长此力的作用线，它与AB连线交于C，将合力沿其作用线移到C点，由合力矩定理，以C为矩心，得即： 所以也可得： 若，合力大小为0，则，这结果表明力偶无合力，即它这能与一个力的作用等效。性质2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关。因此力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中，力偶矩是个代数量。O是力偶作用面内任意一点表明，力偶中两力对其作用面内任一点矩的代数和与矩心无关，只与力偶中任一力的大小和力偶臂的长短有关。在平面问题中，将乘积再冠以适当的正负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，常用符号或表示，即 性质3：力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。性质4：同一平面内力偶矩大小相等，转向相同的两力偶对刚体的作用等效，称之为平面力偶的等效定理。证：（图解）由此可见和的力偶矩大小相等，转向相同，但是力偶在作用面内的位置，力偶中力的大小和方向及力偶臂的长短都不同，说明这些因素都不足决定力偶等效的因素，而决定力偶等效的因素是力偶矩的大小和转向。因而力偶在其作用平面内常用一弯箭头表示。性质5：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。证：（图解）3力偶性质小结根据力偶的上述性质，可得出空间力偶的等效条件是：力偶矩的大小相等，转向相同，作用面平行的两力偶等效，对于空间力偶的三要素，可以用一个矢量，一力偶矩矢表示。 方位：垂直于力偶作用面， 模：等于力偶的矩大小 指向：用右手法则表示 力偶矩矢是自由矢量。结论：力偶对刚体的作用用力偶矩矢表示；力偶矩矢相等的两 力偶等效。三、力偶系的简化与平衡1简化： 空间力偶系： 2平衡： 空间力偶系平衡的必要与充分条件是： 解析表达式特例：平面问题 例1已知：简支梁AB上作用有两个平行力，和一个力偶。，力偶矩的大小，转向逆时针，不计梁自重。求：支座A、B的反力。解：1研究对象AB梁2受力分析 3列方程求解 ， 四力的平移定理 可见作用于刚体上的力均可从原来的作用点平行地移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩，称为力的平移定理。平面连杆机构必定有静件吗 最佳答案 0dyc369 2009-4-16 12:55:10 124.237.237.* 举报 对于机构中作往复运动或平面复合运动的构件,其在运动中产生的惯性力则不可能在构件本身上予以平衡,所以必须就整个机构设法加以平衡。当机构运动时,其各运动构件所产生的惯性力可以合成为一个通过机构质心的总惯性力和一个总惯性力偶矩,这个总惯性力和总惯性力偶矩全部由基座承受。因此,为了消除机构在基座上引起的动压力,就必须设法平衡这个总惯性力和总惯性力偶矩。故机构平衡的条件，是作用于机构质心的总惯性力 FI 和总惯性力偶矩MI分别为零,即因在实际的平衡计算中,总惯性力偶矩对基座的影响应当与驱动力矩和阻抗力矩(它们与机械的工作性质有关,单独平衡往往无意义)一并来研究,故这里只研究总惯性力的平衡问题。由于机构的总惯性力为 FI-maS ,且质量 m 不可能为零,所以欲使总惯性力为零,必须使aS 0,即应使机构的质心静止不动? 因此,在对机构进行平衡时,就是运用增加平衡质量等方法,使机构的质心静止不动。 1.1 静力分析的基本概念1.1.1 力的概念1. 定义 力是物体间的相互机械作用。这种机械作用使物体的运动状态或形状尺寸发生改变。力使物体的运动状态发生改变称为力的外效应；力使物体形状尺寸发生改变称为力的内效应。2. 力的三要素及表示方法 在工程实践中，物体间机械作用的形式是多种多样的，如重力、压力、摩擦力等。力对物体的效应（外效应和内效应）取决于力的大小、方向和作用点，这三者被称为力的三要素。力是一个既有大小又有方向的物理量，称为力矢量。用一条有向线段表示，线段的长度（按一定比例尺）表示力的大小；线段的方位和箭头表示力的方向；线段的起始点（或终点）表示力的作用点，如图1-1-1所示。力的国际单位为牛顿（N）。图1-1-13.力系与等效力系 若干个力组成的系统称为力系。如果一个力系与另一个力系对物体的作用效应相同，则这两个力系互称为等效力系。若一个力与一个力系等效，则称这个力为该力系的合力，而该力系中的各力称为这个力的分力。已知分力求其合力的过程称为力的合成，已知合力求其分力的过程称为力的分解。4.平衡与平衡力系 平衡是指物体相对于地球处于静止或匀速直线运动的状态。若一力系使物体处于平衡状态，则该力系称为平衡力系。1.1.2 刚体的概念所谓刚体，是指在外力作用下，大小和形状保持不变的物体。这是一个理想化的力学模型，事实上是不存在的。实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但微小变形对所研究物体的平衡问题不起主要作用，可以忽略不计，这样可以使问题的研究大为简化。静力学中研究的物体均可视为刚体。1.2 静力学公理公理1 二力平衡公理作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一条直线上。对于变形体而言，二力平衡公理只是必要条件，但不是充分条件。例如在绳索两端施加一对等值、反向、共线的拉力时可以平衡，但受到一对等值、反向、共线的压力时就不能平衡了。公理2 加减平衡力系公理在已知力系上加上或者减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。推论1 力的可传性原理作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用效应。如图1-2-1所示的小车，在A点作用力F和在B点作用力F对小车的作用效果是相同的。图1-2-1公理3 力的平行四边形公理推论2 三力平衡汇交原理作用在刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线通过汇交点，如图1-2-3 中所示。图1-2-3公理4 作用与反作用公理 两物体间的作用力与反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反、沿同一条直线，分别作用在这两个物体上。此公理说明力永远是成对出现的，物体间的作用总是相互的，有作用力就必有反作用力，它们互相依存、同时出现、同时消失，分别作用在相互作用的两物体上。必须强调的是，作用力与反作用力公理中所讲的两个力，决不能与二力平衡公理中的两个力混淆，这两个公理有着本质的区别。1.3 约束和约束反力1.3.1 约束和约束反力的概念凡在空间的位置不受任何限制，可以做任意运动的物体称为自由体，如在空间飞行的飞机、炮弹和火箭等。凡是因为受到周围其它物体的限制而不能做任意运动的物体称为非自由体。如机车、电机转子、机床的刀具等。凡是能限制某些物体运动的其它物体，称为约束。如铁轨对于机车、轴承对于电机转子、机床刀夹对于刀具等，都是约束。约束对非自由体的作用实质上就是力的作用，这种力称为约束反力，简称反力。反力的作用点是约束与非自由体的接触点。反力的方向总是与该约束所能限制的运动方向相反。运用这一准则，可以确定约束反力的方向或作用线的位置。至于约束反力的大小总是未知的。在静力学中可以利用相关平衡条件求出约束反力。1.3.2 约束的基本类型1. 柔性约束由柔软的绳索、链条、皮带等构成的约束称为柔性约束，如图1-3-1。图1-3-1 柔性约束2.光滑面约束光滑面约束的约束反力必须垂直于接触处的公切面，而指向非自由体。此类约束反力称为法向反力。图1-3-2 光滑面约束3.光滑铰链约束图1-3-3 光滑铰链约束 图1-3-4 活动铰支座4.固定端约束图1-3-5 固定端约束1.4 受力图通常在解决实际工程问题时，需要根据已知力，利用相应平衡条件，求出未知力。为此，需要根据已知条件和待求的力，有选择地研究某个具体构件或构件系统的运动或平衡。这一被确定要具体研究的构件或构件系统称为研究对象。对研究对象进行分析研究时，要将它从周围的物体中分离出来，并画出其受力图。我们就将这种因解除了约束，而被人为认为成自由体的构件称为分离体。将分离体上所受的全部主动力和约束反力以力矢表示在分离体上，如此所得到的图形，就称为受力图。恰当地选取研究对象，正确地画出构件的受力图是解决力学问题的关键。画受力图的具体步骤如下：1.明确研究对象，画出分离体；2.在分离体上画出全部主动力；3.在分离体上画出全部约束反力。例 1-1 图1-4-1 所示为一三铰拱桥，由左、右两半拱铰接而成。设半拱自重不计，在半拱AB上作用有载荷F，试画出左半拱片AB的受力图。图1-4-1 受力图画法实例画受力图的过程中必须注意以下事项：（1）首先必须明确研究对象，并画出分离体。分离体的形状和方位须和原物体保持一致。（2）在分离体上要画出全部主动力和约束反力，不能多画也不能少画。在画约束反力时，必须严格按照约束性质画出，不能随意取舍。（3）画物体受力图时，必须注意作用力与反作用力的关系。（4）画受力图时，要注意应用二力平衡公理、三力汇交原理。（5）在画物体系统受力图时，内力不能画出。平面力系各力作用线都在同一平面内的力系。空间力系各力作用线不在同一平面内的力系。汇交力系作用线交于一点的力系。平行力系作用线相互平行的力系。一般力系作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解 按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。2.1.3合力投影定理合力投影定理合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。2.1.4 平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。2.2 力矩与平面力偶系2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)1.力对点之矩的概念 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = Fd一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。Mo( F ) = 2OAB 力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 力矩的单位是Nmm。由力矩的定义可知：（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F0，则d=0，即力F通过O点。 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 2.合力矩定理设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、-Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1ylMo(F2)=F2ylMo(Fn)=Fnyl由上图可以看出，合力F对O点的矩为Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl据合力投影定理，有Fy=F1y+F2y+-+FnyFyl=F1yl+F2yl+-+Fnyl即 Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+-+Mo(Fn)合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。3.力对点之矩的求法(力矩的求法)（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?（2）运用合力矩定理求力矩。力分解例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。解 （1）利用力矩的定义进行求解 如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有（2）利用合力矩定理求解 将力F分解成一对正交的分力力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)2.2.2力偶及其性质1.力偶的定义 在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。力偶大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F构成一力偶。记作(F，F)力偶作用面两个力所在的平面力偶臂两个力作用线之间的垂直距离d力偶的转向力偶使物体转动的方向 力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F)，该力偶对任一点O的矩为Mo(F)+Mo(F)=F(x+d)-Fx=Fd 由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）力偶矩力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F)或MM(F,F)=Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。Mo(F) = Fd 力偶的三要素大小、转向和作用平面2.力偶的性质 （1）力偶无合力。力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。 （2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。 （3）力偶的等效性力偶的等效性作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。 力偶的等效条件： 1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。2.2.3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系作用在刚体上同一平面内的多个力偶。1.平面力偶系的合成 例 两个力偶的合成M=M1+M2+-+Mn力偶矩等于各分力偶矩的代数和2.平面力偶系的平衡平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。 （2）列平衡方程2.3 平面一般力系平面一般力系作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用2.3.1平面一般力系的简化1.力的平移定理力的可传性作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。问题：如果将力平移到刚体内另一位置？将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，附加力偶，其力偶矩为M(F,F)=Fd=Mo(F)上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。于是，在作用于刚体上平移点的力F和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。力的平移定理作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。2.平面一般力系向平面内任意一点的简化主矢与x轴的夹角 Mo平面一般力系的主矩 主矩=各附加力偶矩的代数和。（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）Mo=M1+M2+-+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+-+Mo(Fn)平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 FR 和一个主矩 Mo， 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。 主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。 3. 简化结果分析 平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：FR =0, M o 0 FR0, M o =0 FR 0, M o 0 FR=0, M o =0(力系平衡) 2.3.2 平面一般力系的平衡1.平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的必要与充分条件为： 2.平面平行力系的平衡条件 平面平行力系的平衡方程为 平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。 例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。 解：取起重机为研究对象。是一平面平行力系3.物体系统的平衡条件 物系由多个构件通过一定的约束组成的系统。 若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n 物系外力系统外部物体对系统的作用力 物系内力系统内部各构件之间的相互作用力 物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。空间力系各力的作用线不在同一平面内的力系。 3.1 力的投影和力对轴之矩 3.1.1力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图所示，已知力 F 与三个坐标轴所夹的锐角 , 则力 F 在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦，即2.二次投影法 有些时候，需要求某力在坐标轴上的投影，但没有直接给出这个力与坐标轴的夹角，而必须改用二次投影法。 反过来，若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即 例3-1 斜齿圆柱齿轮上 A 点受到啮合力 F n 的作用， F n 沿齿廓在接触处的法线方向，如图所示。 a n 为压力角， 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆周力 F t 、径向力 F r 、轴向力 F a 的大小。 解 建立图示直角坐标系Axyz,先将法向力 F n 向平面Axy投影得 F xy ，其大小为 F xy =F n cos a n 向z轴投影得径向力 F r =F n sin a n 然后再将 F xy 向 x、y 轴上投影，如图所示。因 q = ，得 圆周力 F t =F xy cos =F n cos a n cos 轴向力 F a =F xy sin =F n cos a n sin 3.1.2力对轴之矩 在平面力系中，建立了力对点之矩的概念。力对点的矩，实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。 以推门为例，如图所示。门上作用一力 F ，使其绕固定轴z转动。现将力 F 分解为平行于z轴的分力 F z 和垂直于z轴的分力 F xy （此分力的大小即为力 F 在垂直于z轴的平面A上的投影）。由经验可知，分力 F z 不能使静止的门绕z轴转动，所以分力F z 对z轴之矩为零；只有分力 F xy 才能使静止的门绕z轴转动，即 F xy 对z轴之矩就是力 F 对z轴之矩。现用符号 M z（ F ）表示力 F 对z轴之矩，点O为平面A与z轴的交点， d 为点O到力 F xy 作用线的距离。因此力 F 对z轴之矩为 式表明：力对轴之矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。其正负号可按下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。 力对轴之矩等于零的情况：（1）当力与轴相交时（此时d=0）；（2）当力与轴平行时。3.1.3合力矩定理 如一空间力系由 F 1 、 F 2 、 F n 组成，其合力为 F R ，则可证明合力 F R 对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。写为 3.2空间力系的平衡 3.2.1空间力系的简化 力偶矩矢设物体上作用空间力系 F 1 、 F 2 、 F n ，如图所示。与平面任意力系的简化方法一样，在物体内任取一点 O 作为简化中心，依据力的平移定理，将图中各力平移到 O 点，加上相应的附加力偶，这样就可得到一个作用于简化中心 O 点的空间汇交力系和一个附加的空间力偶系。将作用于简化中心的汇交力系和附加的空间力偶系分别合成，便可以得到一个作用于简化中心 O 点的主矢 F R 和一个主矩 M O 。 3.2.2空间力系的平衡方程及其应用 空间任意力系平衡的 必要与充分条件 是：该力系的主矢和力系对于任一点的主矩都等于零。即 F R 0 ， M O 0 ，则 由上式可推知， 空间汇交力系 的平衡方程为： 各力在三个坐标轴上投影的代数和都等于零 。 空间平行力系 的平衡方程为：各力在某坐标轴上投影的代数和以及各力对另外二轴之矩的代数和都等于零。 3.3 空间力系平衡问题的平面解法 当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影所组成的平面任意力系也是平衡的。因而在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种 将空间问题转化为平面问题 的研究方法，称为 空间问题的平面解法 。这种方法特别适用于受力较多的轴类构件。 例3-3 带式输送机传动系统中的从动齿轮轴如图所示。已知齿轮的分度圆直径d=282.5mm，轴的跨距L=105mm，悬臂长度L 1 =110.5mm，圆周力F t =1284.8N，径向力F r =467.7N，不计自重。求轴承A、B的约束反力和联轴器所受转矩M T 。 解（1）取从动齿轮轴整体为研究对象，作受力图。（2）作从动齿轮轴受力图在三个坐标平面上的投影图。 （3）按平面力系（三个投影力系）列平衡方程进行计算第一章 构件静力分析基础 重点及难点1. 提出了静力学的基本概念：力、平衡、刚体。2. 力是物体之间的相互机械作用。力的三要素是力的大小、方向和作用点。力是矢量。3. 静力学公理是研究静力学的基础。公理1说明力的运算符合矢量运算法则，是力系合成与分解的基础。公理2是最基本的力系平衡条件。公理3是力系等效代换和简化的主要依据。公理4是研究物体系受力分析的基础。公理5提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。4.作用于物体上的力可分为主动力与被动约束反力。约束反力是限制被约束物体运动的力，它作用于物体的约束接触处，其方向与物体被限制的运动方向相反。常见的约束类型有：(1) 柔性约束只能承受沿柔索的拉力。(2) 光滑接触面约束只能承受位于接触点的法向压力。(3) 光滑圆柱形铰链约束通常用两个正交的约束反力表示。(4) 固定端约束通常用两个正交的约束反力与一个力偶表示。(5) 球铰链 通常用三个正交的约束反力表示。5. 受力图在解除约束的分离体简图上，画出它所受的全部外力的简图，称为受力图。 画受力图时应注意：只画受力，不画施力；只画外力，不画内力；解除约束后，才能画上约束反力。第二章 平面力系重点及难点1.空间力在空间坐标轴上的投影有一次投影法和二次投影法 2.合力投影定理。即合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 3.汇交力系合成的解析法 4.汇交力系的平衡方程 Fx0 Fy0 Fz0 5.力矩是度量力对物体转动效应的物理量，它与矩心的位置有关，其大小为 M O ( F )=Fd 其中，力臂d是指矩心O到力 F 作用线的垂直距离 6.合力矩定理 平面力系的合力对平面上任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。 M O ( F R )M O ( F 1 )+M O ( F 2 )+M O ( F n)M O ( F ) 合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。 Mz( F R ) Mz( F ) 7.力偶是由大小相等、方向相反，作用线不重合的两个平行力组成的力系，使刚体产生转动效应。 8.力偶的性质 (1) 力偶既无合力，也不能和一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。 (2) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等于力偶矩，与矩心的位置无关。 (3) 力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用效果。 (4) 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变其对刚体的作用效果。 9.平面力偶系的简化结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 MM 1 +M 2 +M 3 M 10.平面力偶系的平衡方程是 M=0 重点及难点 1. 力的平移定理 2. 平面一般力系的简化 (1) 简化结果简化为一主失量和主矩 主矢量 F R F R F F 与简化中心位置无关 主矩M O M O M O ( F ) 与简化中心位置有关 (2) 简化结果分析 F R 0，M O 0合力偶，合力偶矩与简化中心无关。 F R 0，M O 0合力作用线通过简化中心。 F R 0，M O 0合力 F R 的作用线到简化中心O的距离 F R 0，M O 0力系平衡 3. 平面一般力系的平衡方程 (1) 基本形式 Fx 0 Fy0 M O ( F )0 (2) 二矩式 Fx 0 M ( F ) 0 M ( F ) 0 其中A、B两点的连线不能与Ox轴垂直。 (3) 三矩式 M ( F )0 M ( F ) 0 M ( F )0 其中A、B、C三点不能在一条直线上。 4. 平面一般力系解题步骤 (1) 据题意，选取适当的研究对象； (2) 受力分析并画受力图； (3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直； (4) 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心； (5) 校核结果。 5. 求解物体系统平衡问题的步骤 (1) 适当选取研究对象，画出个研究对象的受力图； (2) 分析各受力图，确定求解顺序，并根据选定的顺序逐个选取研究对象求解。 6. 摩擦和自锁 滑动摩擦力是两个相互接触的物体，当它们之间有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面之间产生彼此阻碍运动的力。前者称静摩擦力，后者称动摩擦力。 (1) 静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势相反，其大小随主动力改变，应根据平衡方程确定。当物块处于临界平衡状态时，静摩擦力达到了最大值，所以0 F f F max。而 F maxs F N。 (2) 动摩擦力的方向与接触面间相对滑动方向相反，其大小 F f F N。 (3) 摩擦角 F R F N+ F f 称为全反力，当 F f F max时，全反力与接触面法线的最大夹角称为摩擦角m，且有tanm。 (4) 自锁当m时，无论主动力多大，物体始终能保持平衡，这种现象称为自锁。 (5) 考虑摩擦时的平衡问题除满足平衡条件外，摩擦力还必须满足0 F f F max，物体处于临界平衡状态时， F f F maxs F N 。 构件(Member)：运动的单元。 机构(Mechanism)是由构件组成的，各构件之间具有确定的相对运动。 平面机构 （ Planar Mechanism） 所有构件都在同一平面或相互平行的平面内运动的机构。 8.1 平面运动副 8.1.1 运动副 (Kinematic Pair) 的概念 1. 构件的自由度（Degree of Freedom） 构件的自由度构件所具有的独立运动的数目。 一个作平面运动的自由构件有三个自由度。 2. 运动副 运动副两构件直接接触而又能产生一定形式的相对运动的联接。 8.1.2 运动副的类型及其特点 (Kinematic Pair Classification) 平面机构中，由于运动副将各构件的运动限制在同一平面或相互平行的平面内，故这种运动副也称为 平面运动副 。 根据构件间接触形式的不同，平面运动副可分为 低副 和 高副 。 1. 低副 低副两构件通过面接触组成的运动副。 根据两构件间 相对运动形式 的不同，常见的平面低副有 转动副 和 移动副 两种。 转动副 转动副两构件间只能产生相对转动的运动副。又称 回转副 或 铰链 。 固定铰链 活动铰链（中间铰链） 移动副 移动副两构件间只能产生相对移动的运动副。2. 高副 两构件通过点或线接触组成的运动副称为高副。 8.2 平面机构的运动简图 8.2.1 平面机构运动简图的概念 机构运动简图的绘制(Drawing Kinematic Scheme of Mechanism) 机构是由若干构件通过若干运动副组合在一起的。 在研究机构运动时，为了便于分析，常常瞥开它们