中考“圆重”知多少 ——2013年武汉市中考数学圆的分量变化分析.doc

众所周知，今年武汉中考数学在题型结构上已经做了调整，选择题和填空题由原先的12道、4道，变更为10道和6道，大题的分量仍然保持9道不变。这形 式上的变化是中考改革的信号，那么形式上的变化是否带来内容上的变更呢？其实，只要我们对比往年中考对初中29章知识点考察的比例来看，今年中考对“圆”的相关知识的考察分量比往年有了不小的上升。在2012年以前，中考试卷上的圆只有22题，分值只有8分，但是今年它的分值增加到14分，提升了75%，除了第22题外，还有选择题第10题和填空题第16题。从考察的难度来看，第10题和第16题分别属于选择题和填空题的压轴，这两个压轴都直接或间接考察圆的知识，可见对圆的考察不只是在容量上有了提升，在难度上也有了加大。这一变化给我们敲响了警钟：必须重视圆。那么，接下来我们就进入到2013年中考的题目中来详细分析：今年的圆考了什么？究竟怎么考？2013年中考第10题10、如图1，A与B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，若CED=x，ECD=yB的半径为R则弧DE的长度是（ ）A、B、 C、D、图1分析思路：1、因为题目中要求的是弧DE的长，而弧DE是在圆B上，求弧长，根据弧长公式可知，需要找到“半径和圆心角”这两个关键要素。由于已知圆B的半径为R，那么我们的目标便直接锁定求出该弧所对应的圆心角的大小。所以辅助线就是连接BD,BE，即求出DBE（见图1）。2、因为已知PC,PD,PE分别是圆的切线，所以根据切线长定理可知PC=PD=PE。这样我们可以看到，三条等边均有一共点，由此便可以P点为圆心，以PC长为半径作圆P，这样C,D,E三个点便都在这个圆上。3、作出圆P后我们可以发现，因为DPE是弧DE的圆心角，而DCE则是弧DE的圆周角， 根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系可知：ECD=y所以EPD=2y,由于BDP=BEP=90，根据四边形内角和可推出圆心角DBE=18O-2y。再代入弧长公式可得： 弧DE的长度是。2013年中考第16题16、如图2，已知E、F分别是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是？图2分析思路：1. 因为四边形ABCD是正方形，AE=DF，所以可以得到ABEDCF，进而推出ABE=DCF.2. 又根据正方形对称性（对角线BD提示）可知ADGCDG，所以DAG=DCG.3. 结合前两个结论，我们可以得到ABE=DAG.由于ABE+AEB=90，等量代换可得DAG+AEB=90，这样我们就可以得到AHB=9O。4. 如何处理E、F这两个双动点呢？当E,F两点在运动时，G,H两点也在运动，如果我们单纯把眼光聚焦在这4个动点上，将会陷入一个走不出的困境。但是结合 前面的推导，我们发现AHB=9O恒成立，那么在什么环境下，90角在运动的情况下都恒成立呢？在圆上。因此，我们以AB中点O为圆心，AB为 直径作圆O（见图2）。DH的长度也就获得了它的几何意义：圆外一定点到圆上距离。确定了它的几何意义，我们也就不难发现，DH的最小值出现的情况：D、H、O三点共线。于是连接OD，交圆于h,这个点就是使得DH为最小值的点。5. 计算，所以DH的最小值是。2013年中考第22题22. 如图3，已知ABC是O的内接三角形，AB=AC,点P是弧AB的中点，连接PA，PB，PC.（1）如图，若BPC=6O，求证：。（2）如图，若，求tanPAB的值。图3分析思路：1.第一问难度不大，提示：ABC为等边三角形，PC为直径。2.因为已知sinBPC的值，所以必须把BPC转化到直角三角形中去，而此题我们可以利用圆心角，这样我们就可以做辅助线了：过A点向BC作垂 线（见图3）。因为AB=AC，所以O点在AE上，连接OB,所以就有BPC=BOE，所以我们可以通过设参数BE=24x,则我们就可以计算出 BO=25x，OE=7x，AO=25x，AB=40x。3.因为点P是弧AB的中点，所以由垂径定理可想到连接OP,交AB于点F，就有OP垂直AB,就有AF=BF=20x，在RtBFO，可算出FO=15x，PF=10x，所以。总结：以上三道都是与圆有关的，前两道题中，我都使用到构造圆的方法。构造圆的思路无非两个要素：定点和定长。第10 题是三条线段相等（定长），并且有一个公共点（定点），这样我们就可以构造圆了。第16题是有一个角恒定为90度，其对边是一条定线段（定长），这样我们 就可以根据圆中直径所对应的圆周角是90度来构造圆。这两个题是近几年来中考题型中变化很大的题型，而且也是难点。而第2