§5.1 非简并定态微扰理论.doc

5.1 非简并定态微扰理论重点： 微扰的条件，微扰能量二级修正的求解（一）基本方程 假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是 ，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是 ，是加于 上的微扰 (5.1-1) 以 和 表示 的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程 （5.1-2） 的解是已知的，对于被微扰的体系有 （5.1-3a） 即 （5.1-3b） （5.1-4） 并在最后运算结果令 ，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成 （5.1-5） 由于 、En都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数 的函数，将它们展为 的幂级数。 （5.1-6） （5.1-7） 式中 、 依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数， 和 是能量和波函数的一级修正，等等。 将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得 （5.1-8） 空虚等式两边 同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程： （5.1-9） （5.1-10） （5.1-11） 将 省去，为此在（5.1-4）式中令 ，得出 ，故可把 ，把 ， 理解为能量和波函数的一级修正。 （二）一级微扰 （1）能量的一级修正 为了求 ，以 左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分 （5.1-12） 注意 是厄密算符， 是实数，则上式左边 （5.1-13） 于是由（5.1-12）式，注意到 的正交归一性，得到 （5.1-14） 即能量的一级修正值 等于 在 态中的平均值。 （2）波函数的一级修正 已知 ，由（5.1-10）式可求得 。为此我们将 按 的本征函数系展开 （5.1-15） 在上式中，若决定 ，便可求得 。为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意 ，得 以 左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到 的正交归一性： 得到 （5.1-16） 令 （5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得 （5.1-18） 代入（5.1-15）式，得 （5.1-19） 上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。 （三）二级微扰 为了求得量的二级修正，类似求一级微扰的方法，将（5.1-15）代入（5.1-11）式，并用 左乘（5.1-11）式两边后，对整个空间积分得 这里应用了 的正交归一性。和（5.1-13）式一样，上式左边为零，右边第二项由于 也为零，于是有 利用（5.1-18）式得 （5.1-20） 上式求和号上角加一撇表示求和时要除去l=n的项，最后一步是因为 是厄密算符，由（5.1-17）式有 。例 题 1 转动惯量为I，电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 【解】：转子在电场中的势能 取 的方向为Z轴的方向，则 体系的哈密顿算符 其中 其本征函数和本征能量为 基态波函数 能量的零级近似 能量的一级修正项 =0 因为， 即 二级修正： 2 设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02，现在受到微扰 的作用，微扰矩阵元为 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正项。 【解】：已知 能量的一级修正值： 能量一级近似 能量的二级修正： 能量的二以级近似 3 一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，