江西省赣州市2019届高三数学3月摸底考试试题理（含解析）.docx

江西省赣州市2019届高三数学3月摸底考试试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则中的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】本题首先可以明确集合与集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质求出所包含的元素，即可得出结果。【详解】集合：，；集合：，所以，有两个元素，故选A。【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了集合的运算以及交集的相关性质，考查了计算能力，体现了基础性，提高了学生对于集合的理解，是简单题。2.若复数，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的虚部为C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以通过复数的运算将转化为，然后通过复数的相关性质依次求出、的虚部、，即可得出结果。【详解】，故A错；的虚部为，故B错；，故C错；，故D正确，综上所述，故选D。【点睛】本题考查了复数的相关性质，主要考查了复数的运算、共轭复数以及复数的模，考查计算能力，体现了基础性，是简单题。3.一个锥体的正视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】本题首先可以通过三视图的几何性质得知三视图之间的联系，然后通过三视图的主视图与左视图来确定锥体的顶点所在的位置，最后对四个选项依次分析，即可得出结果。【详解】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，中的视图满足作图法则；中的视图满足作图法则；中的视图不满足锥体的顶点在左前方；中的视图满足作图法则，故选。【点睛】本题考查了三视图的相关性质，主要考查了三视图中的主视图、左视图与俯视图的联系，考查空间想象能力，体现了基础性，是简单题。4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过二倍角公式将转化为，然后通过同角三角函数的基本关系将转化为，最后带入，即可得出结果。【详解】，故选B。【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角函数公式的使用，考查了推理能力，其中使用到的公式有、，考查化归与转化思想，是简单题。5.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）A. -3B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】首先可以通过是偶函数以及是奇函数得出和，然后代入到中即可得出的值，最后根据奇偶函数性质即可得出的值。【详解】因为是偶函数，是奇函数，所以，因为，所以，故选D。【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的相关性质，主要考查了奇函数与偶函数的性质的使用，考查了推理能力，奇函数有，偶函数有，考查了函数特殊值的使用，是中档题。6.在某次自主招生中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的众数，中位数，平均数分别为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以根据哪一组人数最多来得出众数，然后根据总人数来确定中位数，最后通过用所有人的总成绩除人数即可得出平均数，三者比较，即可得出结果。【详解】由题意可知，分数的人数最多，所以众数；因为总人数为，所以中位数为第人以及第人的成绩的平均数，所以中位数；由平均数性质可知平均数，综上所述，故选A。【点睛】本题考查平均数、众数、中位数的相关性质，主要考查平均数、众数、中位数的计算方法，考查学生从图表中获取信息的能力，体现了基础性，是简单题。7.将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）A. 在上递增B. 在上递减C. 在上递增D. 在上递减【答案】C【解析】【分析】首先可以通过三角恒等变换将转化为，然后通过三角函数图像的转换得出转换后的函数图像的解析式为，再然后通过三角函数的单调性求出函数的单调区间，最后对题目所给四个选项进行判断，即可得出结果。【详解】，向右平移个单位长度得到，函数的单调递增区间为，即当时，是增函数，因为在函数的单调递增区间上，所以函数在上为增函数，故选C。【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角恒等变换以及三角函数的图像变换，三角函数的图像变换主要遵循着“上加下减，左加右减”的法则，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维素养，是中档题。8.若，满足约束条件，则（ ）A. 有最小值，有最大值B. 有最小值，有最大值2C. 有最小值，有最大值2D. 无最大值，也无最小值【答案】B【解析】分析】本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组所表示的可行域，然后将目标函数转化为点到点的直线的斜率，最后通过观察图像即可得出结果。【详解】如图，通过题目所给出的不等式组可画出可行域，并得出、，即点到点的直线的斜率，并且点在可行域上，根据图示可得当点位于点处时斜率最小，即，当点位于点处时斜率最大，即，综上所述，故选B。【点睛】本题考查线性规划的相关性质，线性规划类题目的重点是能够将题目所给的不等式组转化为可行域并在图像中表示出来，然后寻找最优解，考查绘图能力，考查数形结合思想，是中档题。9.若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以将“函数在上存在零点”转化为“函数与函数在上有交点”，然后画出函数图像，根据函数图像即可得出结果。【详解】函数在上存在零点，即在上有解，令函数，在上有解即函数与函数在上有交点，函数的图像就是函数的图像向左平移个单位，如图所示，函数向左平移时，当函数图像过点之后，与函数没有交点，此时，故的取值范围为，故选B。【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的相关性质，考查对数函数与指数函数图像的画法，考查函数图像平移的相关性质，考查数形结合思想，考查推理能力，体现了综合性，是难题。10.已知、是椭圆：上的两点，且、关于坐标原点对称，是椭圆的一个焦点，若面积的最大值恰为2，则椭圆的长轴长的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出、两点的坐标并写出的面积公式，再然后根据面积的最大值为2得出，最后根据基本不等式的相关性质以及即可得出结果。【详解】根据题意可画出图像，如图所示，因为、关于坐标原点对称，所以设、，因为，所以，因为面积的最大值为2，所以当时面积取最大值，当且仅当时“”号成立，此时，故选D。【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题。11.在中，则边的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据题意画出三角形图像并在上取一点使，令，再根据计算出的值以及通过与之间的大小关系判断出角的大小，最后通过计算出的大小以及的值并通过正弦定理即可得出结果。【详解】如图所示，在上取一点，使，设，则，由得.因为，所以为说角，从而.所以，于是.故，在中，由正弦定理得，故选C。【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角形内的角之间的关系，考查同角三角函数的基本关系以及正弦定理，考查的公式有以及，是中档题。12.设双曲线：的左、右焦点分别为、，点在上，且满足.若满足条件的点只在的左支上，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题需要分类讨论，首先需要讨论“在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果。【详解】若在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，因为满足题意的点在双曲线的左支，所以，即，所以，若在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时的最小值为，想要满足题意的点在双曲线的左支上，则需要满足，即，所以由得，故选C。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题。二、填空题：本大题共4小题.13.设曲线在点处的切线方程为，则_【答案】-1【解析】【分析】求导得导函数解析式，然后通过曲线在点处的切线方程为即可得出曲线在点处的切线斜率，最后利用导数的计算即可得出结果。【详解】因为曲线，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以，。【点睛】本题考查了导数的相关性质，主要考查导数与曲线的某一点处的切线的联系，体现了基础性，是简单题。14.的展开式中，的系数是_【答案】28【解析】【分析】本题首先可以通过二项式定理来得出二项式的展开式的通项以及它的第三项和第四项，然后对进行观察即可得出的展开式中包含的项，最后得出包含的项的系数。【详解】二项式的展开式的通项为，故第三项为，第四项为，故的展开式中包含的项有以及，所以的系数是。【点睛】本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式定理的应用，考查二项式的通项，考查项的系数的求法，着重考验了学生的运算与求解能力，是简单题。15.在一节手工课中，小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥型橡皮泥捏成一个圆柱（橡皮泥的用量保持不变），则当这个圆柱的表面积最小时，该圆柱的底面半径为_【答案】2【解析】【分析】本题首先可以设圆柱的半径为、高为，然后通过题意计算出圆锥的体积，再然后通过圆柱的体积公式以及圆锥的体积得出半径与高之间的关系，最后通过圆柱的表面积公式并借助导函数的相关性质即可得出结果。【详解】设圆柱的半径为，高为，因为圆锥的高为，体积，所以圆柱的体积公式为，圆柱的表面积为，设，当时，是减函数；当时，是增函数；所以当时，最小，圆柱的表面积最小，综上所述，答案为2。【点睛】本题考查圆柱与圆锥的相关性质，考查圆柱与圆锥的表面积与体积公式，需要注意题目中所给出的圆柱与圆锥的体积相同，考查推理能力与计算能力，考查借助导数求最值的方法，体现了综合性，是中档题。16.四边形的两条对角线与相交于点，且，过点作，垂足为，若，则四边形的面积为_【答案】【解析】【分析】本题首先可以作，然后通过计算出的长，再然后通过三角形相似求出的长，最后将四边形拆成两个三角形并利用三角形面积公式即可得出结果。【详解】如图所示，作，设，则，因为，所以 ，即，因为，,所以，所以。【点睛】本题考查四边形面积的求法以及向量的数量积的相关性质，在计算四边形的面积的时候可以将四边形分为两个三角形进行求解，向量的数量积公式为，考查计算能力，是中档题。三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，.设.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）若，求的前项和.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】(1)本题首先可以将代入，化简得到，然后对的值进行判断即可得出结果；(2)首先可以根据以及(1)中所得出的结论得出数列的通项，然后通过分组求和法即可得出结果。【详解】（1）由，得，代入，得，所以，当时，此时，数列不是等比数列，当时，此时，数列是以为公比、为首项的等比数列。（2）当时，由（1）知数列是以为公比、为首项的等比数列，从而，所以。【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等比数列的定义以及数列求和中的分组求和法，考查综合分析论证求解能力，考查等差数列以及等比数列的求和公式的使用，是中档题。18.现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4，0.8，0.5，能通过面试的概率分别为0.8，0.4，0.64.根据这些数据我们可以预测：（1）甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率；（2）甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数的数学期望.【答案】(1)0.6(2)0.96【解析】【分析】(1)本题可以将“至少有两名学生通过第一轮笔试”分为“只有甲没有通过笔试”、“只有乙没有通过笔试”、“只有丙没有通过笔试”以及“都通过了笔试”四种情况，然后算出每一种情况所对应的概率并求和，即可得出结果；(2)首先可以判断出题意满足二项分布，然后根据二项分布的相关性质即可得出结果。【详解】（1）记事件：甲通过第一轮笔试，事件：乙通过第一轮笔试，事件：丙通过第一轮笔试，事件：至少有两名学生通过第一轮笔试，则，.，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为。（2）因为甲、乙、丙三名学生中每个人获得优惠加分的概率均为，所以，故。【点睛】本题考查概率的计算以及数学期望的求法，计算概率类问题时，首先可以将所求事件包含的所有可能事件列举出来，然后求出每一种可能事件的概率并求和，就是所求事件的概率，考查二项分布，是中档题。19.如图，在平行四边形中，.现沿对角线将折起，使点到达点.点、分别在、上，且、四点共面.（1）求证：；（2）若平面平面，平面与平面夹角为，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)本题首先可以设，通过题意即可得出长，然后根据余弦定理即可计算出的长并根据勾股定理判断出，最后根据线面平行的相关性质即可得出并证得；(2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出与平面所成角的正弦值。【详解】（1）不妨设，则，在中，根据余弦定理可得，计算得，因为，所以.因为，且、四点共面，所以平面.又平面平面，所以.而，故. （2）因为平面平面，且，所以平面，因为，所以平面，因为，平面与平面夹角为，所以，从而在中，易知为的中点，如图，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则由，得，令，得.设与平面所成角为，则。【点睛】本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。20.已知抛物线：的焦点为，点在上且其横坐标为1，以为圆心、为半径的圆与的准线相切.（1）求的值；（2）过点的直线与交于，两点，以、为邻边作平行四边形，若点关于的对称点在上，求的方程.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)本题可以根据“点到准线的距离”等于“点到焦点的距离”得出的长，再根据“圆心到准线的距离”以及“点到焦点的距离”都是圆的半径即可列出算式并得出结果；(2)首先可以根据题意画出图形，然后设出直线的方程以及直线的方程，再然后通过联立方程组求出点的纵坐标以及点的纵坐标之和，最后通过计算出点的纵坐标并与点的纵坐标进行比较即可计算出的值并得出结果。【详解】（1）圆心到准线的距离为，因为点的横坐标为1，所以，依题意，有，所以。（2）如图所示，设点关于的对称点为，与的交点为，线段与直线的交点为，设直线的方程为，将点的横坐标为带入抛物线方程中可得，因为、分别为和的中点，所以，直线的方程为，联立方程组，得，因为是该方程一个根，所以它的另一个根为，即点的纵坐标为.联立方程组，得，设，则，设，因为是平行四边形，所以，即，所以，即.所以点与点的纵坐标相等，轴，因为，所以，的方程为。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，考查圆锥曲线中抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义以及抛物线与直线的关系，考查了推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，考查方程思想，体现了综合性，是难题。21.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【分析】(1)本题首先可以根据函数的解析式得出导函数的解析式，然后对导函数进行分类讨论，分为、四个区间，并求出每个区间下函数的单调性；(2)首先可以将“恒成立”转化为“恒成立”，然后取特殊值，最后进行分类讨论，即可得出结果。【详解】（1），当时，由得，得，所以在上递减，在上递增。当，由得或，由得，所以在上递减，在、上递增，当时，所以在上递增，当时，由得或，得，所以在上递减，在、上递增。（2）因为恒成立，所以恒成立，取，得，即，于是，当时，若接近，接近，不满足题意；当时，由(1)可知，.故实数的取值范围为。【点睛】本题考查通过导数求函数单调性以及通过导数求参数取值范围，主要考查导数与函数单调性之间的关系以及不等式的恒成立问题，考查推理能力，考查分类讨论思想，体现了综合性，是难题。22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和极坐标