第三章4-5刚体运动方程与转动惯量.ppt

第三章刚体力学 导读 空间力系和平行力系的求和 刚体运动微分方程和平衡方程 简单转动惯量的计算 转动惯量的计算 1力系的简化 将所有空间力作用点都迁移到一点 3 4刚体运动方程与平衡方程 力是滑移矢量 力可沿作用线移动 不能随意移动 设F 为作用在刚体A点上的一个力 P为空间任意一点 但不在F 的作用线上 在P点添上两个与F 的作用线平行的力F1及F2 且 这样F 可以化为过P点的力F1和F 及F2所组成的一个力偶 方向 永远垂直于力偶的作用面大小 与o点无关 因此 力偶矩是一自由矢量 可以平行于自身任意移动位置 不影响其效应 力偶 所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶 主矢使刚体平动状态发生变化主矩使刚体转动状态发生变化 P点叫简化中心 力的矢量和叫主矢 力偶矩的矢量和叫对简化中心的主矩 P172 思考题3 4 2刚体运动微分方程 如果ri代表刚体中任一质点Pi对静止系S原点O的位矢 rC为质心C对O的位矢 而ri 为Pi对质心C的位矢 动坐标系S 随质心作平动 其原点与质心C重合 则刚体质心C的运动方程为 刚体在动坐标系S 中的相对运动对质心C的总角动量满足 对固定坐标系中的定点O 上式仍有效 只需将J 改J 对定点O的总角动量 M 改M 刚体的运动分解随质心的平动 绕质心的转动 六个独立的方程 刚体有六个独立变量 故质心运动及绕质心转动两组方程式恰好确定刚体的运动情况 也可应用动能原理 作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个 注意 这时刚体内力所作元功之和为零 故刚体动能的微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和 3刚体平衡方程 如为共面力系 且设诸力均位于xy平面内 则平衡方程简化为 若刚体处于平衡状态 Mx My 例1 一根均匀的棍子 重为P长为2l 今将其一端置于粗糙地面上 又以其上的C点 靠在墙上 墙离地面的高度为h 当棍子与地面的角度 为最小值 0时 棍子在上述位置仍处于平衡状态 求棍与地面的摩擦系数 解 受力分析知本题是一共面力系的平衡问题 取棍子所在的平面为xy平面 则 对A点 刚体以 作定点转动 其中质点Pi对定点的位矢是ri 则质点对定点的动量矩为 整个刚体对定点的动量矩为 动量矩一般不与刚体角速度共线 动量与速度总共线 1刚体的动量矩 3 5刚体转动惯量 重点 在直角坐标系下 所以 引入符号 则刚体动量矩表达式简化为 刚体对各轴的转动惯量 惯量积 3 5 5 6 刚体以 作定点转动 对定点的转动动能为 2刚体的转动动能 3 5 8 刚体对定点的转动动能也可以写为 上式中 i为Pi的位矢ri与角速度矢量 之间的夹角 i为自Pi至转动瞬轴的垂直距离 而I称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量 对于质量均匀 或按一定规律 分布 且形状规则的刚体 则把求和变成积分 认为在转动中 刚体的质量m等效于集中于某一点 该点到轴线的距离为k 则该点对该轴线的转动惯量mk2等于刚体对此轴线的转动惯量I 即有 3刚体的转动惯量I 回转半径 物体的转动惯量决定于物体的质量分布情况 又决定于转动轴的位置 转动轴不同 即使是同一物体转动惯量也不同 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Ic 则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Iz是 P172 思考题3 5 质量为m 长为l的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量 质量为m 半径为R的均匀圆盘 通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量 4惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体 将转动惯量写为积分形式 3 5 13 14 过o点有无穷多个轴 如何来计算绕这些轴的转动惯量 对通过空间某一点O的轴线 为转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦 则 一次算出轴转动惯量和惯量积 通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出 3 5 15 三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量 代表刚体转动的惯性的量度 可以写为矩阵的形式 叫做惯量张量 元素叫惯量张量的组元或惯量系数 利用矩阵乘法 得 惯量系数是点坐标的函数 所以用静止的坐标系时 刚体转动时 惯量系数随之而变 通常选取固着在刚体上 并随着刚体一同转动的动坐标系 这样 惯量系数都是常数 显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除 如在转动轴上 截取线段 I为刚体绕该轴的转动惯量 则Q点的坐标将是 因过O点有很多转轴 则有很多的Q点 这些点的轨迹是 这是一个中心在O点的椭球 通常叫惯量椭球 如O为质心 又叫中心惯量椭球 椭球有三个主轴 如坐标轴选取与之重合 则惯量积消失 I1 I2 I3称为O点上的主转动惯量 此时有 在力学里 大都是对称的均匀刚体 而这种刚体的惯量主轴 则可根据对称性很方便地求出 对任意转轴的转动惯量 求惯量主轴的方法 重点 均匀刚体 且具有对称轴 那么此轴就是惯量主轴 如有对称面 x y面 则垂直于对称面的Z轴就是惯量主轴 例题 均匀长方形薄皮边长为a b 质量为m 求绕其对角线转动时的转动惯量