数学建模B题对居民消费者物价指数（CPI）的分析与思考.doc

2007年青岛理工大学数学建模竞赛 承 诺 书我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 所属院系（请填写完整的全名）： 汽车与交通学院 参赛队员： 1. 刘伟 2. 薛晖 3. 付宽 指导教师或指导教师组负责人 ： 无 日期：2007 年 6 月 3 日评阅编号：数学建模论文对居民消费者物价指数（CPI）的分析与思考学院：汽车与交通学院班级：05车辆工程2班姓名：刘伟 薛晖 付宽2007年6月3日 摘要CPI即消费者物价指数(Consumer Price Index)，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标。CPI指数下跌，反映经济衰退，必然对货币汇率走势不利。但是，该指标上升，对汇率也不一定好，需要观察指数的增幅情况。倘若指数升幅温和，表明经济稳定向上，当然对国家货币有利。而当升幅过大也会对国家货币产生不良影响，该指标通常被视为观察“通货膨胀”的重要指标之一。如果CPI指数涨幅过大，表明“通胀”已成为经济不稳定的因素，中央银行会有紧缩货币政策和财政政策的风险，从而造成经济前景的不明朗。因此该指数过高的升幅并不被市场欢迎。一般说来，当CPI指标增幅3%时，我们称为Inflation,就是通货膨胀。而当CPI指标5%增幅时，我们把它称为Serious inflation 即为严重通货膨胀。通过对题目数据的认识与分析，选用情景预测法对此问题的解决具有可靠的意义。它是对将来的情形做出预测的一种方法。研究对象分为主题和环境，通过对环境的研究，认识影响主题发展的外部因素，模拟外部因素可能发生的多种交叉情形以预测主题发展的各种可能前景。现在要研究的是CPI的影响因素及其未来大致走向，而我们只能立足于对前阶段CPI数据的分析，并先假设目前的状况会持续发展，预测以这样的发展状况未来会出现什么样的情景，即得到无突变情形，再找出对未来情景有影响的各种环境因素，针对它们进行的不同程度的变化，从而得到有利的环境和不利的环境因素，最终分析在有利环境和不利环境下分别得到什么样的情况。（一）根据试题给出的相应CPI数据，采用图表分析的方法，我们得出了1985年到2005年CPI的随时间大致走向：f(x)=m+nx（x表示年份-1984，f(x)表示CPI，m,n为常数）从图中可以得出CPI走向大概分为三阶段。同时利用情景预测法对各阶段及其相关指标进行了系统分析，建立了相应的CPI预测模型。从预测模型的大致走向可以推测后5年范围内CPI走向基本稳定。（二）根据总CPI与服务价格的有关数据，可以得出二者的线性回归关系，即g(x)=a+bx+（x表示服务项目价格质数，y表示对应x的年份的总CPI，a，b为常数，为误差）由这一关系可以轻松得出服务项目价格指数与总CPI的内在线性关系。（三）居民消费是有地区差异的，从题目所给的附录二可以看出，不同地区的CPI发展过程，速度，趋势均各自不同，而由已构建的坐标图又可以得出，只有邵阳“独树一帜”，CPI的发展过程与其它偏离很大，其它城市基本类似。 总之，本次建立的模型主要由两部分：CPI时间系统和CPI服务价格系统，通过对这两部分的分析，既可以得到CPI的时间走向规律，也可以观测到其受服务价格的影响结果。问题的重述 CPI即消费者物价指数(Consumer Price Index)，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。如果消费者物价指数升幅过大，表明通胀已经成为经济不稳定因素，央行会有紧缩货币政策和财政政策的风险，从而造成经济前景不明朗。因此，该指数过高的升幅往往不被市场欢迎。 CPI受很多因素的影响，如物价水平，国际局势，国家政策，劳务价格，地区差异，股市行情。但是其中有很多是突变因素，而且对CPI 的影响需要很长时间才能通过市场反映出来，在本模型中将尽量控制这类因素的影响。而是重在研究服务项目价格对CPI最立竿见影的影响，以达到利用价格反馈经济走势的效果。CPI物价指数指标十分重要，而且具有启示性，必须慎重把握，因为有时公布了该指标上升，货币汇率向好，有时则相反。因为消费物价指数水平表明消费者的购买能力，也反映经济的景气状况，如果该指数下跌，反映经济衰退，必然对货币汇率走势不利。但如果消费物价指数上升，汇率是否一定有利好呢?不一定，须看消费物价指数升幅如何。倘若该指数升幅温和，则表示经济稳定向上，当然对该国货币有利，但如果该指数升幅过大却有不良影响，因为物价指数与购买能力成反比，物价越贵，货币的购买能力越低，必然对该国货币不利。如果考虑对利率的影响，则该指标对外汇汇率的影响作用更加复杂。当一国的消费物价指数上升时，表明该国的通货膨胀率上升，亦即是货币的购买力减弱，按照购买力平价理论，该国的货币应走弱。相反，当一国的消费物价指数下降时，表明该国的通货膨胀率下降，亦即是货币的购买力上升，按照购买力平价理论，该国的货币应走强。但是由于各个国家均以控制通货膨胀为首要任务，通货膨胀上升同时亦带来利率上升的机会，因此，反而利好该货币。假如通货膨胀率受到控制而下跌，利率亦同时趋于回落，反而会利于该地区的货币了。问题的分析附录一各项指标计算过程（以上年为）年份(y)城市农村服务项目价格指数1985110.9111.9110.2106.51986105.3105.4105.3106.71987109.8111.3108.8116.41988125.6125.7125.4125.61989118.2117.3119.1131.31990100.4100.6100.2113.91991104.4105.1103.8106.21992110.7113.5107.9119.11993116.8117.4116.41301994125.3124.8125.6125.51995119118.1119.5124.81996107.7107.2108.2112.41997102.8103102.5112.51998100.2100.5101.1113.41999100.599.6101.4116.52000101.4101.3101.4113.6200199.198.999.3102.5200299.599.699.41032003102.4101.4104.1103.32004105.4104.1105.7102.62005102.3102.1102.8103.1和2267.72268.82268.12388.9平均107.99108.04108.00113.76以上年价格为100，统计当年的价格与上年价格相比的变动幅度，被称之为同比价格指数，这种方法可以比较直观地考察即期价格变动的幅度。首先将题目所给数据可以简化为图表（一）： 图（一）自从1985年开始到2005年，CPI各指数变化虽然经历了两次比较大的波动，但到近年来，各项CPI趋于平缓，稳步与103左右。 附录一以1985年为100居民消费总指数城市农村服务项目价格指数1985100100100134.91986105.3105.4105.31441987115.6117.3114.6167.61988145.2147.5143.7210.51989171.6173171.1276.41990172.3174171.4314.81991179.9182.9178334.31992199.2207.6192398.11993232.6243.7223.5517.61994291.5304.1280.7649.61995346.9359.2335.7810.71996373.6385.1363.2911.11997384.1396.7372.310251998384.9398.7372.71162.41999386.8397.1377.91354.22000392.2402.3383.21140.42001388.7397.9380.51168.92002386.8396.3378.210242003396.1401.8393.71243.72004416.3418.3416.212762005425.9427.1427.81315.6 图（二）从图（二）中可以看出：1. 自从1985年到2000年各项CPI增高，其中城市和农村CPI增加缓慢，而服务项目价格指数递增趋势加大。2. 2000年后城市和农村CPI变化缓慢，而且变化趋势大体一致，而2000年后服务价格指数变化很大，从2000年到2005年间首先递减，然后上升。 模型假设与求解(一)凡是变量或因变量变动有直线关系的，即属于直线模型。假设因变量y代表一个随机变量，而自变量x视为已知固定常数，若y与具有线形拟合关系，则其关系式为：f(x)=m+nx（x表示年份-1984，f(x)表示CPI，m,n为常数）式中：1 f(x)表示进行第i次实验时，对应于自变量x设置为x的反应；2 参数m,n为此直线的系数，且由软件计算可知。图（三）（上面图形中：红色点以上年为基数，上年的105%做为参考；黄色点以上年为基数，上年的103%为参考。）从图中可以明显的看到，CPI的变化可分为三个阶段：.19851990；19911998 ；19992005。1. 其中第一个阶段CPI的上下变化幅度比较大，并且1985和1988两年实际CPI105%CPI，产生严重的通货膨胀，本阶段的其它年份基本稳定。2. 第二阶段1991到1994四年产生相对前一阶段较轻的通货膨胀，接下来CPI稳中下降并未发生通货膨胀。3. 第三阶段除个别年份105%CPICPI103%CPI产生了通货膨胀，其余基本保持稳定，显示经济平稳增长根据19852005年间实际CPI的变化，得出了期间CPI的变化规律并以此得出未来五年的CPI变化，即f(x)=m+nx 其中m=115.55 n=-0.6874（如图）f(x)=-0.6874x+115.55图（四）根据附录一所提供的城市与农村的19852005年的CPI数据可得上图（四），图中清晰的反映了城市与农村的发展趋势，综合图（三）与图（四）可以计算出未来20062010年总CPI，城市与农村的CPI。根据情景预测模型预测2006-2010年各项指标如下：CPI城市农村2006年100.4399.67101.172007年99.7498.91100.552008年99.0598.1599.932009年98.3797.3999.312010年97.6896.6398.69由上图还可以发现总CPI大致由城市与农村的CPI组成，即 ： 总CPI=50%城市CPI+50%CPI显而易见，未来几年内，不管是城市还是农村的CPI都是递减的，由此导致总CPI也是递减的，所以绝对不会发生通货膨胀。（二）设总CPI与服务项目指数符合线性回归关系，则根据总CPI与服务价格的有关数据，可以得出二者如下解析式，即g(x)=a+bx+（x表示服务项目价格质数，y表示对应x的年份的总CPI，a，b为常数，为误差）。计算a，b过程如下：CPI平均(y)服务平均(x)x*yx*xy*y各计算数据2.928571429-7.257142857-21.253061252.666122458.576530612-2.671428571-7.05714285718.8526530649.803265317.1365306121.8285714292.6428571434.8326530616.9846938783.34367346917.6285714311.84285714208.7726531140.2532653310.766530610.2285714317.54285714179.4383673307.7518367104.6236735-7.5714285710.142857143-1.081632650.02040816357.32653061-3.571428571-7.55714285726.9897959257.1104081612.755102042.7285714295.34285714314.5783673528.546122457.4451020418.82857142916.24285714143.4012245263.830408277.9436734717.3285714311.74285714203.4869388137.8946939300.279387811.0285714311.04285714121.7869388121.9446939121.6293878-0.271428571-1.3571428570.3683673471.8418367350.073673469-5.171428571-1.2571428576.501224491.58040816326.74367347-7.771428571-0.3571428572.7755102040.1275510260.39510204-7.4714285712.742857143-20.49306127.52326530655.8222449-6.571428571-0.1571428571.0326530610.02469387843.18367347-8.871428571-11.2571428699.86693878126.723265378.7022449-8.471428571-10.7571428691.12836735115.716122471.76510204-5.571428571-10.4571428658.26122449109.351836731.04081633-2.871428571-11.1571428632.03693878124.48183678.245102041-5.671428571-10.6571428660.44122449113.574693932.16510204和-7.10543E-14-1.98952E-131231.7242861767.7514291419.962857即Sxy1231.724286即xx=1767.751429即Syy=1419.962857则 a=38.52539444b=Sxy/Sxx=0.696774595(Syy-b*Sxy)/(n-2)=29.56466667 即 g(x)=38.53+0.70x+ ）线性假设的显著性检验 假定y关于x的回归g(x)具有形式g(x)=a+bx+，在处理实际问题时，g(x)是否为x的线性函数，不仅需要有关知识和实践来判断，其次就要根据实际观察的数据运用假设检验的方法来判断。 若线性假设符合实际，则b不应为零，因为若b=0则g(x)就不依赖x了，因此检验假设 H:b=0 H:b0我们使用t检验法来进行检验，我们有知 此处为显著性水平.当假设H:b=0被拒绝时,认为回归效果是显著的,反之,就认为回归效果不显著.回归效果不明显的原因可能有如下几种:1. 影响Y取值的,除x 及随机误差外还有其它不可忽略的因素.2. g(x) 与x 的关系不是线形的,而存在其它关系.3. g(x)与x 不存在关系.因此,需要进一步分析原因,分别处理.下面将对g(x)=a+bx+进行显著性检验已知查表得故拒绝,认为回归效果是显著的。（三）检验各城市的CPI指标变化情况；由题目提供的附录二可以得到下图（五）图（五）分析：自从19972005九年间，湖南各城市的CPI经历了两次“低谷”两次“高峰”。两次低谷基本分别发生在1999年左右（97.7）和2001年左右（97.3），而两次高峰则是2000年（102.2）和2004年（106.0）。其中邵阳的CPI在2002年以前与其它城市的发展情况有一些差别。它的CPI从1997年的98.5上升到1998年达到101.2，之后起伏不大的过渡到2002年，以后基本符合城市CPI发展趋势了。自我评价情景预测法，在分析过程中根据不同情景可采用不同的预测方法，使定量，定性分析相结合，这样就弥补了定性预测与定量预测各自的缺陷。情景预测法不同于一般预测法主要表现在以下几个方面：第一， 适用范围很广，不受任何假设条件的限制，只要是对未来的分析均可使用，如模型中对未来CPI的走向的分析；第二， 考虑问题周全，又具有灵活性。它尽可能的考虑将来会发生的各种状况和各种不同的环境因素，并引入突发因素，将所有可能尽可能的展现出来。第三， 能及时发现未来可能出现的问题，以便采取行动消除或减轻它们的影响。如通过本模型得出未来几年我国将出现CPI下幅现象，这样有关政府部门可就此分析原因，从而及时采取措施，以避免经济衰退现象的发生。结果分析与建议1居民购买力增长的收入增长放慢，收入不稳定性大大增加，尽管眼前的收入增加了，但不能形成稳定的收入预期，有钱不敢大把去花，抑制了当前消费需求，更抑制了价格的回升，导致了CPI的升高。2未来支出预期高，购买力的分流限制消费需求增长。未来支出预期高，居民持续观望，是结余购买力偏大的主要成因，市场化改革涉及到居民的利益调整，使人们未来支出预期大大提升。比如：住房改革，由福利分配改为货币购买，对工薪收入者来说就不得不大大压缩现期消费；医疗制度改革个人也必须合理负担费用，医疗需求又是一种不可预知的需求，因此人们往往不得不为此压缩现