坐标轴平移参考.doc

2-2 旋转坐标轴(甲)转轴公式考虑一个以点F(2,2)为焦点，以直线L：x+y=0为准线的拋物线G方程式是G ：= .(*)，(*)式平方后可化成G：x2-2xy+y2-8x-8y+16=0(*)，但是从(*)很难辨识它是一条拋物线，是否可以利用适当的坐标变换，来辨识(*)式为一条拋物线。我们如果将坐标轴看成此拋物线的轴与过顶点与轴垂直的直线，则此拋物线就成为一条开口向上的拋物线，方程式也会化成y/=ax/2的形式，因此接下来要考虑坐标轴的旋转，以化简G的方程式。(1)推导转轴公式：将直角坐标系S(O,. ,)绕原点旋转一个有向角q ，得到一个新坐标系S/(O, , )，像这种坐标原点及长度单位都不变，只改变坐标的方向的坐标变换称为坐标轴的旋转，简称转轴。基底=(cosq，sinq)=cosq+sinq， =(cos(q+)，sin(q+)=(-sinq，cosq)=(-sinq)+cosq 设P点在坐标系S(O,. ,)与S/(O, , )下的坐标为(x,y)、(x/,y/)=x+y =x/+y/ =x/( cosq+sinq)+y/(-sinq)+cosq ) =(x/cosq -y/sinq)+(x/sinq +y/cosq ) 这个式子称为转轴公式。几何解释：如右图，=-=cosq -sinq =x/cosq -y/sinq =+=cosq +sinq =x/sinq +y/cosq 透过可解得从另一个方向来看，把新坐标系S/绕原点O旋转有向角-q就可变成原坐标系S，即(x/,y/)看成原坐标，(x,y)看成转轴后的新坐标，那么由转轴公式得到结论：(1)将直角坐标系的x、y轴旋转q角度，得到新的坐标轴x/、y/轴 点P作这两个坐标下的坐标分别为(x,y)、(x/,y/)， (x,y)与(x/,y/)满足下列关系：。(2)记忆法： 例題1 设将原坐标系旋转q，q如下，试分别将原坐标为(x,y)之点的新坐标以x,y表示。(1)q =30 (2)q =Ans：(1)x/=x+y，y/=x+y (2)x/=x+y，y/=x+y(練習1) 将坐标轴旋转q=，(1)若点A(2,1)，求点A之新坐标。(2)若点B之新坐标为(-2,3)，求点B的原坐标。 Ans：(1)(+，-1+) (2)(-，-1+)(練習2) 将坐标轴旋转q=cos-1 ，若P(2，-1)之新坐标(h,k)，而Q(r,s)之新坐标为(2，-1)，求(h,k)、(r,s)。 Ans：(h,k)=(，)，(r,s)=(2，1)(練習3) 平面上一点A(2,5)试分别就下列情形求A点的新坐标。(1)先将坐标轴平移至(1,4)，再将新坐标轴以新原点为中心旋转。(2)先将坐标轴以原点为中心旋转，再依新坐标轴平移(1,4)。(3)于(2)中若先将坐标轴以原点为中心旋转后应平移至何处，则得A点所得之新坐标才与(1)相同。Ans：(1)(,0) (2)( -1， -4) (3)平移至(，)(乙)转轴化简方程式例子：将坐标轴旋转，求曲线G：x2+4xy+y2=3在新坐标系中的方程式，并作图。解法：设坐标轴旋转q角度，根据转轴公式代入曲线G的方程式x2+4xy+y2=3，得(x/cosq-y/sinq)2+4(x/cosq-y/sinq)(x/sinq+y/cosq)+(x/sinq+y/cosq)2=3(cos2q+4cosqsinq+sin2q)x/2+(-2sinqcosq+4cos2q-4sin2q+2sinq cosq)x/y/ +(sin2q-4sinq cosq+cos2q)y/2=3(*)若要选取角度q，使得x/y/项的系数=0-2sinqcosq+4cos2q-4sin2q+2sinq cosq=4(cos2q-sin2q)=0cos2q=sin2q可以取q=，再代入(*)中，可得 - =1 ，故可知G是一个双曲线。(1)化简方程式：由前面例题，我们发现适当选择旋转的角度q，可以使二次曲线的新方程式中消去xy项，但是对于一般的二次曲线G：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 (b0).(A)如何选择转轴的角度q，才可以使G的新方程式中缺少xy项呢？将代入二次曲线G的方程式中：a(x/cosq-y/sinq)2+b(x/cosq-y/sinq)(x/sinq+y/cosq)+c(x/sinq+y/cosq)2 +d(x/cosq-y/sinq)+e(x/sinq+y/cosq)+f=0上面的方程式展开后，整理成a/x/2+b/x/y/+c/y/2+d/x/+e/y/+f /=0(B)其中a/=acos2q+bsinq cosq +csin2q， b/=-2asin cosq +b(cos2q -sin2q)+2csinqcosq =bcos2q-(a-c)sin2q c/=asin2q-bsinq cosq +ccos2q d/=d cosq +e sinq e/=-d sinq +e cosq f /=f如果选取转轴的角度q使得bcos2q-(a-c)sin2q=0，则x/y/项的系数b/=0，所以当cot2q= (b0)时，x/y/项的系数b/=0。结论：可以取得锐角q满足cot2q=，选择这样的锐角q作为转轴旋转的角度，变换后的二次曲线G：a/x/2+c/y/2+d/x/+e/+y/+f/=0 (f /=f )。例題2 坐标轴旋转q角度(0q)，使得曲线G：52x2-72xy+73y2=100之新方程式中没有xy项。(1)求cot2q、sinq 、cosq 的值。(2)写出转轴公式。 (3)求G的新方程式。(4)请求出焦点的坐标Ans：(1)、 (2)x=x/-y/，y=x/+y/ (3) + =1(4)(,)、(-,-)例題3 设为以原点O(0,0)为顶点，F(1,2)为焦点之拋物线，将原坐标系S旋转cos1得到新坐标系S/，则F对S的坐标为，对S坐标系的新方程式为，对原坐标系S的方程式为。(化为二元二次式)Ans：(，0)，y24x，4x24xyy220x40y0解法cos1，原坐标S旋转得到新坐标系S/，根据转轴公式由知焦点F对于S/的坐标为(，0)在S坐标系中，：y/24x/ (2xy)24(x2y)4x24xyy220x40y在S中，：4x24xyy220x40y0。(練習4) 设q为坐标轴旋转的角度，试求下列二次曲线旋转坐标轴后的新方程式。(1)q=，xy= (2)q=，5x2-6xy+5y2=32Ans：(1)x/2-y/2=2 (2) + =1(練習5) 将坐标轴旋转q角(0q)，使得曲线G：2x2-xy+y2=10对新坐标系中的方程式消去xy项，请问q=？新的方程式为何？ Ans：， + =1(練習6) 将坐标轴旋转q角(0q)，使得曲线G：2x2+4xy+5y2=12对新坐标系中的方程式消去xy项，(1)请写出转轴公式(2)新的方程式为何？ Ans：(1)，(2) + =1(練習7) 将坐标轴旋转q角(0q)，使得曲线G：xy+y2=12对新坐标系中的方程式消去xy项，(1) 请问q=？(2)新的方程式为何？ Ans：(1)，(2) - =1(練習8) 曲线：x22xy+y24( x + y ) = 0，将坐标轴旋转，(1) 可得新坐标方程式为。(2) 其图形为何？答：。Ans：(1) (y/)2 = 4 (x/)；(2) 拋物线(丙)移轴与转轴化简方程式例子：利用坐标变换，将曲线G：5x2-6xy+5y2-4x-4y-4=0化成标准式。先移轴：因为=b2-4ac=(-6)2-4550，由前面的讨论可知，可以选择适当的原点O/(h,k)来移轴，使得G的新方程式中的两个一次式项消去。将移轴公式代入G的原方程式，可得G：5x/2-6x/y/+5y/+dx/+ey/+f/=0其中，令(1)(2)中d=e=0，可得h=1,k=1所以移轴到O/(1,1)可得新的方程式为5x/2-6x/y/+5y/2=8 .(4)再转轴：取一锐角q满足cot2q=0 q=，因此可得转轴公式 ，代入(4)中，5(x/-y/)2-6(x/2-y/2)+5(x/+y/)2=8，整理可得G： + =1。所以G是椭圆，对称中心在O/(1,1)。讨论：这个椭圆的长轴、短轴所在直线方程式(对于原坐标而言)为何？正焦弦长=？讨论：如果先移轴，再转轴的话，结果会一样吗？例子：利用坐标变换，将曲线G：4x2-4xy+y2-2x-4y+8=0化成标准式。因为=b2-4ac=(-4)2-441=0，因此移轴无法消去两个一次项，因此先转轴消去xy项，再用配方法化成标准式。先转轴：取一个锐角q满足cot2q= =，由此知2q p，因此cos2q=。cosq=，sinq =，于是可得转轴公式代入G 的方程式中，化简可得G：25y/2-10x/+40=0，配方得y/2= (x/-).(1)。再移轴：根据配方的结果，将原点移至O/(，0) (对转轴后的新坐标而言)，并将移轴公式：代入(1)得到G的标准式：y/2=x/ ，所以G是一条拋物线。讨论：这个拋物线的对称轴、准线方程式(对x,y坐标而言)为何？正焦弦长=？例題4 设G：4x2-24xy+11y2+40x+30y-145=0(1)先移轴至O/(h,k)，使得x,y项的系数为0，此时方程式为何？(2)在将坐标轴绕O/旋转q角度(0q)，使得(1)中的式子没有xy项， 此时方程式为何？(3)求(x-4)2+(y-3)2的最小值。(4)求G的正焦弦长。Ans：(1)4x/2-24x/y/+11y/2=20 (2) - =1 (3)1 (4)8(練習9) 于xy平面上，方程式5x2-6xy+5y2-4x-4y-4=0，(1)标移轴转轴化简方程式成标准式。(2)请问中心、长轴顶点、焦点坐标为何？Ans：(1) + =1(2)中心(1,1)、焦点(+1，+1)、(-+1，-+1)、 长轴顶点(+1，+1)、(-+1，-+1)(練習10) 若p ( x,y )为曲线：3x2 + 2xy +5y2 = 12上之动点则(1) p到原点之最大距离为。(2) p到原点之最小距离为。(3) x2+y2的最大值=_。 (4) x2+y2的最小值=_。Ans：(1) (2) (3)6 (2)2综合练习(1) 坐标轴旋转q角度(0q)，使曲线G：2x2+4xy+5y2=12的新方程式消去xy项。(a)写出转轴公式。(b)化简G的方程式，并说明G的形状。(c)求G的正焦弦长、焦点坐标。(2) 旋转坐标轴角( 0 )，可使方程式4x2 12xy + 13y2 + 2x 3y + 6 =0不具xy项，则cos=(A)(B)(C)(D)(E) (3) 在坐标平面上，设曲线的方程式为7x2-48xy-7y2+25=0，若将原坐标系旋转cos-1，则的新方程式为何？(4) 如右图，将坐标轴旋转q角后，(a)q=_。(b)椭圆对新坐标系的方程式为_。(c)椭圆的原方程式为_。(5) 利用移轴、转轴化简下列曲线的方程式：(a)5x2+4xy+8y2-2x+28y-7=0(b)7x2-6xy-y2-26x+2y+7=0(6) 将坐标轴旋转q角使得曲线的新方程式没有xy项。(a)。(b)=。(c)转轴公式为_。(d)则的新方程式为 _。(e)之焦点的原坐标_及对称轴之原方程式_。 (7) 设二次曲线：2x2+4xy+5y2=12，若将原坐标系旋转一锐角q，使新方程式中没有xy项，则(a)sinq=_。(b)曲线的长轴所在的直线方程式为_。【92建中】(8) 将坐标轴旋转45，得新坐标系S/(O；x/,y/)，有一曲线：xy=4，试求：(a)对S/的新方程式为_。(b)之贯轴长_。(c)之正焦弦长_。(d)之焦点的原坐标_。(e)若焦点为F1,F2，P点在上，则=_。(9) 将坐标轴旋转q (0q90)，得一新坐标系S/(O；x/,y/)，使曲线：11x2-24xy+4y2+20=0的新方程式中没有xy项，试求：(a)cot2q=_。(b)的新方程式=_。(c)之焦点的原坐标为_。(d)之两对称轴之原方程式为_。(e)若x,y 满足11x2-24xy+4y2+20=0，求x2+y2的最小值=_。(10) 关于二元二次方程式G：x2+xy+y2=6的叙述下列那一个选项是正确的？(A)G的图形是双曲线。(91指定考科模拟试题3)(B)F(0,2)是G的一个焦点。(C)直线x+y=0是G的一条对称轴。(D)若P(a,b)为G上一点，则a2-b2的最大值为4。进阶问题(11) 设P、Q在坐标系S (O,)与S/(O,)下的坐标为(a1,a2)、(b1,b2)与(a1/,a2/)、(b1/,b2/)，其中,分别是由,绕原点O旋转q角度得到的。请利用转轴公式证明：(a)P、Q两点的距离，在转轴后不变。(b)与的内积，在转轴后不变。(c)DOPQ的面积，在转轴后不变。这个结果说明，这样的坐标变换，不会使得距离、角度有所变化。综合练习解答(1) (a)x=(x/-2y/)，y= (2x/+y/) (b) + =1 ，椭圆 (c)，(-2,)、(2,-)(2) (D)(3) x/2-y/2=1(4) (a)30 (b)x/2+4y/2=16(c)7x2-6xy+13y2-64=0(5) (a) + =1 (b) - =1(6) (a)，(b)，(c)，(d) (e)及；(7) (a) (b)x+2y=0(8) (a)-=