数列与数学归纳法.doc

学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网2010届高考数学难点突破训练数列与数学归纳法1.如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形OP1Q1，Q1P2Q2，Qn-1PnQn设正三角形的边长为,nN(记为),.（1）求的值; （2）求数列的通项公式。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列（1）试问是否成等差数列？为什么？（2）如果，求数列的前项和3. 已知等差数列中，8，66.（）求数列的通项公式；（）设，求证：.4. 已知数列中，（n2，），数列，满足（）（1）求证数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记，求5. 已知数列an中，a10, 且an+1=， ()试求a1的值，使得数列an是一个常数数列； ()试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立； ()若a1 = 2，设bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示数列bn的前n项的和，求证：Sn0.Sn是它的前n项和，又与的等比中项是，与的等差中项是6，求an。26. 和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，求证：27. 已知曲线C：， ： （）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设。 （I）求的坐标； （II）求数列的通项公式；（III）记数列的前项和为，求证：答案：1. 解：由条件可得,代入得 ；代入曲线并整理得,于是当时,即又当；,故 所以数列是首项为、公差为的等差数列, 。2. 由题意，得， （1） （2） （1）因为，所以由式（2）得，从而当时，代入式（1）得，即，故是等差数列（2）由及式（1），式（2），易得 因此的公差，从而，得 （3）又也适合式（3），得，所以，从而 3. 解：（）（）， = 而是递增数列 ， . 4. （1），而，是首项为，公差为1的等差数列（2）依题意有，而，对于函数，在x3.5时，y0，在（3.5，）上为减函数故当n4时，取最大值3而函数在x3.5时，y0，在（，3.5）上也为减函数故当n3时，取最小值，-1（3），5. ()欲使数列an是一个常数数列，则an+1= an 又依a10，可得an0并解出：an=，即a1 = an = ()研究an+1an= (n2) 注意到0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符号7要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2a10即可.由0，解得：0a1时，an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1an0 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=, 故Sn0，t1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，当时，有，函数f(t)在递增f(t)f(1)即t-1g(1)=0综上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得7. (1)易求得（2）作差比较易得：（3）当时，不等式组显然成立. 当由（2）知 再证而同理：，以上各式相加得：即 .8. （1），又 或 若，则，与矛盾； 若，则，显然， （2）， 当时，欧 时， 数列是以9为首项，为公比的等比数列。 （3），设是数列中的最大项，则 由 可得数列有最大项，最大项是。9. （1）由是等比数列。（2）10. （）经计算， 当为奇数时，即数列的奇数项成等差数列，； 当为偶数，即数列的偶数项成等比数列， 因此，数列的通项公式为 （）， （1） （2）（1）、（2）两式相减，得 11. 设的公差为d，首项为，则 （1） （2）解得，则。（2）当时，在前n-1组中共有项数为：。故第n组中的第一项是数列中的第项，且第n组中共有项。所以当n=1时，也适合上式，故。（3）。即数列前8组元素之和，且这8组总共有项数。则12. （）由 得 即可得因为，所以 解得，因而 （）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减，得 即 13. （1）,当时, 又对任意的,总有两个不同的根,， 由(1), 对任意的,总有两个不同的根, 对任意的,总有两个不同的根, 由此可得， （1） 当， 当，14. （1）. （2），当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围 15. （1）由已知得 当时， 1分同理可得 3分 猜想 下面用数学归纳法证明成立当时，由上面的计算结果知成立 6分假设时，成立，即 ，那么当时，即 当时，也成立 综合所述，对 ，成立。 （2）由（1）可得 16. （I）解：由得， （II）由，数列是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，当n=1时a1=1满足 （III），得，则. 当n=1时，即当n=1或2时，当n2时， 17. （1）由条件an12an22an， 得2an114an24an1(2an1)2bn是“平方递推数列”lgbn12lgbnlg(2a11)lg50，2lg(2an1)为等比数列（2）lg(2a11)lg5，lg(2an1)2n1lg5，2an15，an(51)lgTnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg5Tn5（3）cn2，Sn2n12n2n212n22由Sn2008得2n222008，n1005，当n1004时，n1005，当n1005时，n1005，n的最小值为100518. （1）B（2）因为、成等差数列，所以，所以又，显然，即、成等差数列若其为等比数列，有，所以，与题设矛盾19. （1） 解得 （2）7分 是公比为8的等比数列10分 20. （I）， 4分 （II）当k2，3，4，5，时， ， ， ， ， 21. （I）设数列的公差为d，则， 又 由（1）（2）得 数列的通项公式 （II） 数列的前n项和22. 设等比数列的公比为q，由已知条件，得得：，所以，得，即或（舍去）由得：23. （1）由已知，得解得：（2）设存在正数k，使得对一切均成立，则记，则，F（n）是随n的增大而增大，当时，即k的最大值为24. （1）f(1),f(2),f(4)成等差数列，f(1)+f(4)=2f(2).即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2(m+1)(m+4)=(m+2)2即m2+5m+4=m2+4m+4m=0(2) f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2(a+m)(c+m),2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,a,b,c成等比数列，(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2ma0,c0.a+c2m0时，(a+m)(c+m)-(b+m)20, log2(a+m)(c+m)log2(b+m)2f(a)+f(c)2f(b);m0时，(a+m)(c+m)-(b+m)20,log2(a+m)(c+m)log2(b+m)2f(a)+f(c)2f(b);m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0log2(a+m)(c+m)=log2(b+m)2f(a)+f(c)=2f(b);25. 即即解之，得把d=2代入a1+2d=6, 得a1=226. 等比数列中，当时，化简得，所以，等差数列中，解得所以，B9