陈维桓 微分几何教学大纲.doc

微分几何课程教学大纲一、课程基本信息课程编号X55010005课程名称微分几何课程英文名称Differential Geometry总学时数64授课学时48实践学时0实验学时0习题课学 时16设计学时0学 分4开课单位理学院数学系适用专业数学系数学与应用数学专业先修课程数学分析，解析几何，高等代数，常微分方程课程类别指导性选修课选用教材微分几何 陈维桓编著 北京大学出版社 2006年6月第一版主要教学参考书吴大任，微分几何讲义，高等教育出版社苏步青等，微分几何，高等教育出版社本课程 任务和 目的微分几何是用数学分析为工具研究空间图形性质的数学分支，主要讨论光滑曲线和曲面的性质。本课程主要为经典微分几何，包括少量整体微分几何和近代微分几何，使学生既学会应用数学分析工具研究光滑曲线和曲面的经典方法和内容，又稍微了解近代方法和内容，为进一步学习近代数学各分支打下基础。教学大纲制订单 位理学院数学系教学大纲制订时间2009年1月二、课程内容及基本要求第一章为预备知识。要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。会熟练地计算曲线的曲率、挠率。掌握运用Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。了解曲线论基本定理的内容和证明方法。第三章介绍曲面的第一基本形式。掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。掌握可展曲面的定义和分类定理。第四章介绍曲面的第二基本形式。能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。掌握法曲率、高斯映射和Weingarten变换的概念。了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。了解Dupin标形和曲面的局部近似形状。了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。第五章介绍曲面论基本定理。了解曲面的Gauss-Codazzi方程。会计算Christoffel符号和Riemann曲率。了解曲面论基本定理的内容。掌握Gauss定理的内容及其应用。第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville公式。了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。掌握Gauss-Bonnet公式的内容。三、学时分配表：教学环节教学时数课程内容讲课实验实践习题课讨论课设计其他小计绪论，第一章 预备知识303第二章 曲线论11314第三章 曲面的第一基本形式8412第四章 曲面的第二基本形式9312第五章 曲面论基本定理729第六章 测地曲率和测地线9312课程总结112总 计481664 四、课程教学的有关说明要求学生课前预习，认真完成课外作业。每周安排一次课外答疑时间。在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。南昌大学课程教学进度表(20062007学年 第二学期适用)任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表”，经教研室讨论在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。学 院： 理 学 院 系： 数 学 系 任课教师： 黎 镇 琦 性 别： 男 年 龄： 58 职 称： 教 授 学 历： 博 士 所学专业： 基础数学 任课班级： 数学系061班 课程名称： 微分几何 系主任签字： 本课程总时数学分数已完成学时数本学期本学期时数上课周数周学时数小计讲课课堂讨论实验习题课设计作业实践6440164644816教学方式课堂讲授和课堂讨论为主，课后作业及习题课为辅教材微分几何初步，陈维桓编著，北京大学出版社1990年10月第一版教学参考书微分几何讲义，吴大任，高等教育出版社微分几何，苏步青等，高等教育出版社周月教学内容教学环节及时数次日讲课习题课实验实践设计其他合计备注1-12.17课程介绍，绪论第一章第1节：标架221-22.19第2节：向量函数第二章第1节：参数曲线(基本概念)222-12.24第二章第1节：参数曲线(例题)第2节：曲线的弧长222-22.26第3节：曲线的曲率和Frenet标架223-13.03习题课第4节：挠率和Frenet公式1123-23.05第5节：曲线论基本定理224-13.10习题课第6节：曲线在一点的标准展开1124-23.12第7节：平面曲线225-13.17习题课第三章第1节：曲面的定义1125-23.19第2节：切平面和法线 226-13.24习题课第3节：曲面的第一基本形式1126-23.26第4节：曲面上正交参数网的存在性227-13.31习题课第5节：保长对应和保角对应 1127-24.02第6节：可展曲面228-14.07习题课第四章第1节：第二基本型式1128-24.09第2节：法曲率229-14.14习题课第3节：Gauss映射和Weingarten映射1129-24.16第4节：主方向和主曲率的计算2210-14.21习题课第5节：Dupin标形和曲面在一点的展开11210-24.23第6节：某些特殊曲面 2211-14.28习题课第五章第1节：自然标架的运动公式11211-24.30第1节：自然标架的运动公式(续)第2节：曲面的唯一性定理2212-15.05习题课第3节：曲面论基本方程11212-25.07第4节：曲面的存在性定理2213-15.12习题课第5节：Gauss定理11213-25.14第六章第1节：测地曲率和测地挠率2214-15.19习题课第2节：测地线1