第七章 时变电磁场.ppt

第七章时变电磁场 7 1位移电流和推广的安培回路定律 1 问题的提出 高斯定理 库仑定律 安培回路定律 安培磁力定律 法拉第定律 电磁感应定律 电流连续方程 电荷守恒原理 前面各章的总结 静态场结论 时变场结论 考察 在时变场中的适用性 对两边取散度 有 2 推广的安培回路定律 麦克斯韦提出安培回路定律的修正 于是 即 若要满足 必须 为了得到的表达式 进一步假设对时变场成立 由此可得 比较两边 得 因此得到推广的安培回路定律 积分形式 微分形式 3 位移电流密度 来源 a 电场随时间的变化率b 极化电介质的极化强度随时间的变化率 全电流密度 全电流连续性方程 对两边取散度 得 积分形式为 全电流的无散性和连续性 4 推广的安培回路定律的几点说明 分布电流和时变的电场都是磁场的源 定律本身无法用实验直接验证 但由此得到的电磁理论与时变场的所有现象相吻合 从而被间接的得到验证 位移电流与分布电流有着本质的区别 的存在并不要求伴随电荷的定向运动 而只是电场的变化率 例7 1试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明 导线上的传导电流是 假设电容器极板面积为S 电荷在极板上均匀分布 则 所以传导电流为 由导体的边界条件知 则位移电流为 因此 位移电流作为传导电流的继续 从电极1流到电极2 若作一闭合曲面S包围电极1 则 传导电流I流入闭合面为负值位移电流Id流出闭合面为正值 闭合面S上总电流满足全电流连续性方程 7 2麦克斯韦方程组 1 微分形式 描述宏观电磁现象的基本方程组 动电生磁 动磁生电 电流与电荷关系 高斯定律与电流连续方程的等价性 证明 所以对比 可知 反之亦然 因为 其中可以由导出 Maxwell方程组 我们采用高斯定律 而将电流连续方程略去 因此 不要这个方程也不会影响基本方程组的正确性和完备性 但增加该方程使基本方程组具有了对称性 为方程组的求解提供了方便 2 积分形式 3 媒质本构方程 辅助方程 仅由麦克斯韦方程组的四个基本方程还无法求解出电磁场的具体分布需要补充如下3个方程 通过对上述方程的分析 麦克斯韦预言了时变的电磁场将以波的形式按光速传播 并在1888年 由物理学家赫兹首次用实验验证了上述预言的正确性 4 麦克斯韦方程组的限定形式 将本构方程各式代入麦克斯韦方程组的微分形式中 得 5 麦克斯韦方程组的局限性 带电体的受力问题 离散 连续 机械力问题 牛顿定律 微观领域问题 量子力学 7 3正弦电磁场 时变电磁场随时间的变化规律可以有多种形式 正弦波 方波 锯齿波 脉冲 按照付里叶理论 周期的函数可以展开为付里叶级数 非周期函数可以展开为付里叶变换 因此 不论对周期性或非周期性的时变电磁场 都可以通过对正弦电磁场的数学变换来进行分析和求解 一 正弦电磁场的复数表示法 基础 正弦电磁场的时间变量和空间坐标变量可以进行分离 约定 用余弦函数表示正弦点磁场 1 振幅 例 将点的正弦电场写作 其中 振幅 初位相 角频率单位 rad s 频率单位 Hz或s 1 只与位置有关 2 复振幅 先求解空间变化 然后再考虑其时间因素 降低求解难度 利用欧拉公式 则有 令 则表达式更为简洁 考虑x分量 称为复振幅 一般是坐标变量的复函数 包含着振幅和初相信息 为避免混淆 复振幅写成或 也可简写成 瞬时值写成 也可以简记为 振幅写成 也可简记为 3 复矢量 利用复数的基本运算法则 电场表示为 上式称为电场矢量的复数表示法 称为电场强度的复矢量 它的各分量就是每个瞬时分量的复振幅 特别强调指出 复振幅和复矢量都只是场点坐标的函数或常量 因此在它们的表达式中不应出现时间变量t 而瞬时场矢量或分量都是实数域内的函数 在它们的表达式中不能出现复数的标记j 例7 2已知一电场的瞬时矢量为 写出它的复矢量 解 首先利用三角关系将电场顺势矢量的z分量写成余弦函数 所以复矢量表达式为 例7 3已知一磁场分量的复振幅为 对应的瞬时分量表达式为 二 麦克斯韦方程的复数形式 考察瞬时安培回路定律 利用复数表达式 得 因为取实和微分可互换顺 则 因此可以得到安培回路定律的复数表示 利用同样的方法 还可以得到 这组复矢量的方程组称为麦克斯韦方程组的复数形式 或复麦克斯韦方程组 频域方法 首先求解复麦克斯韦方程组 得到所求的复矢后 再利用瞬时矢量与复矢量的关系式得到瞬时场量 时域方法 直接求解瞬时麦克斯韦方程组获得瞬时场量 时域方法 频域方法 例7 4假设真空中有一电场矢量为 求磁场矢量 解法1 将电场表达式代入瞬时麦克斯韦方程组第2式 得 两边对t积分 得到 解法2 电场的复矢量为 代入复麦克斯韦第二方程 得 7 4媒质的色散与损耗 一 媒质的色散和复电磁参数 1 色散现象 在时变电磁场中 媒质参数随频率变化的现象称为媒质色散 2 色散现象来源 媒质的极化 磁化 载流子的定向运动 在时变电磁场的作用下 极化 磁化及载流子运动都将随着电场和磁场的指向变化而不断改变方向 由于电荷载体粒子的惯性影响 粒子的运动将落后于场的变化 产生滞后效应 以极化为例 当频率很高时 只有电子极化的建立能够跟上场的周期变化 以电子极化的贡献为主 所以一般媒质的极化强度都有随场频率增高而逐渐减小的趋势 3 复电容率 由于极化状态滞后于电场状态 因此除了极化强度的模值随频率变化外 其相位也要滞后于电场的相位 为滞后相位是与频率f有关的函数 对于时变场 一般不成立 因为相位不一致 与有着复杂的关系 由于辅助方程不具备正比形式 所以对色散媒质必须用频域法 对于某个特定频率 可以象静态场一样 有 对色散媒质 可令 由此得到电通量密度的复矢量 由于的相位滞后于 复极化率的辐角应小于零 所以的辐角也小于零 因此可以将 写作 其中 称为复电容率 可见 在复频域内 复矢量与之间也有简单的正比关系 只不过比例系数 是一个复数 根据物理学原理 可知 色散公式 4 复磁导率 对于一般的非铁磁媒质而对铁磁材料 在频域内 同样有 其中 称为复磁导率 5 电导率 与极化和磁化相比 电导率的色散效应很弱 从直流到光频都可以近似用一个实常数表示 因此 在时域和频域内 本构方程具有简单的正比关系 媒质的复参数是在频域方法中引入的 只能在频域中使用 对于瞬时场是没有意义的 二 媒质的损耗和等效电容率 1 媒质损耗的来源 焦耳损耗 极化损耗和磁化损耗 2 媒质损耗与频率的关系 3 等效复电容率 由复麦克斯韦方程得 令 采用了等效电容率后 可以将导电媒质视为一种等效的电介质 从而使各种媒质都可以用相同形式的麦氏方程求解 4 损耗角正切 电损耗角正切 磁损耗角正切 损耗角正切的值越大 表示媒质对电磁能量的损耗越大 例7 5已知海水的 若振幅为100V m 频率为1kHz的电场存在于海水中 试求海水的损耗角正切和损耗功率密度 若频率增高到1GHz又将如何 解 由题意知 海水的极化损耗可以忽略 所以相对等效电容率为 f 1KHz时 f 1GHz时 媒质损耗功率密度与频率无关 7 5电磁场的能量关系 坡印廷定理 一 瞬时坡印廷定理 声明 为了书写简单 省略瞬时场量中的坐标变量和时间变量 设 是时变电磁场媒质空间的一个区域 其外表面记为S 考察安培回路定律 两边同时点乘 再在 区域内作体积分 则有 根据矢量关系 可得 所以有 设媒质无色散损耗 则瞬时辅助方程成立 同理 即 于是有 因此 瞬时坡印廷定理 焦耳损耗功率 瞬时坡印廷矢量 功率流密度 能流密度 单位时间内穿出闭合面S的电磁场能量 单位时间 内电磁能量的减少量 物理意义 一个闭合曲面内的电磁能量在单位时间内的减少量等于两部分功率之和 内的导电损耗功率转换为热能散发 以功率流的形式辐射到闭合面S之外 这是电磁能量守恒定律在一个闭合曲面上的表现形式 稳恒场情况 意义 对于稳恒场 内的焦耳损耗必须由外界提供能量 对稳恒场有 根据瞬时坡印廷定理得 例7 6设同轴传输线的内导体半径为a 外导体的内半径为b 中间填充介质的参量为 和 内外导体间加电压U 导体上有直流I 试通过坡印廷矢量计算同轴线传输的功率 解 内外导体是理想导体 令外导体接地 Ub 0 并设内导体单位长度带电荷 则介质中电场为 在导体内 即r a及r b时 电场强度为零 内外导体间的电位差为 所以介质中 再求磁场强度 利用安培回路定律得 因此 坡印廷矢量为 沿同轴线传输的功率为 表明 同轴线传输的功率等于电压与电流的乘积 即等于负载电阻所消耗的功率 若导体不理想 值有限 内导体中电场矢量为 根据边界条件 导体外紧靠导体表面地方的电场矢量切向分量为 该处的磁场矢量为 因此 坡印廷矢量的法线分量为 在长为l的圆柱面上进入导体的功率为 其中R等于长为l的圆柱导体的电阻 表明 进入导体的功率等于导体的损耗功率 二 复坡印廷定理 1 定理证明 对复安培回路定律两边取复共轭得 交换哈密顿算子与共轭运算的次序 有 两边点积 得到 a 根据矢量关系 可得 代入a式中 并两边同乘以1 2 得 两边对体积 积分 并对左边应用散度定理 得 考虑媒质的色散性质 则有 因此得到复坡印廷定理 将定理分写成实部和虚部 2 有功功率和无功功率 有功功率 实部 实部的右边分别表示着 内各种损耗 焦耳损耗 极化损耗 磁化损耗 表明 在无源区域内 各种损耗功率的平均值之和等于从闭合面外流入的平均输入功率 反映了S面上有功功率平均值的平衡关系 实部的左边表示一个周期内进入S面的瞬时功率的平均值 即 平均坡印廷矢量 复坡印廷矢量 为避免与混淆 复坡印廷矢量记作而瞬时坡印廷矢量记作或 表示垂直方向上单位面积所通过的有功功率的平均值 无功功率 虚部 无功功率是指在S面内外振荡交换的功率 对应着单位体积内正弦电场能量的平均值和磁场能量的平均值 举例 a 进入S面的有功功率就是电阻R上消耗的焦耳功率 b 无功功率是电容C和电感L的电磁储能与电源能量之间的交换功率 c 闭合面S上用于振荡交换的平均无功功率等于 内磁场储能平均值与电场储能平均值之差的2 倍 例7 7已知正弦电磁场的表达式为 解 瞬时坡印廷矢量为 电场和磁场的复矢量为 平均坡印廷矢量为 7 6电磁场的波动方程 1 瞬时波动方程 讨论范围 限定在非色散均匀媒质的无源区域内 非色散 电磁参数是与f无关均匀 电磁参数是与坐标无关 无源 非齐次矢量波动方程 考察麦克斯韦方程限定形式 a b c d 令 a 式两边对时间t求偏导 得 对 b 式两边取旋度 得 比较上面两式 得到 利用矢量恒等式 并注意 上式变成 非齐次矢量波动方程 同理可得 时变的电磁场是电磁波 齐次矢量波动方程 若媒质是 0的非导电介质 则有 2 矢量亥姆霍兹方程 复波动方程 讨论范围 均匀媒质无源区域 其中 对于正弦电磁场 利用复麦克斯韦方程可得 此时的媒质可以包括色散媒质 7 7标量位和矢量位 1 瞬时位函数 定义式 动态矢量磁位 动态电位 洛伦兹规范 讨论范围 均匀和非色散媒质 考察安培回路定律 代入本构方程 得 再代入位函数定义式 得 利用矢量恒等式 上式变成 考察高斯定律 代入位函数定义式 得 所以有 为了得到每个辅助位函数的独立方程 必须增加新的限制条件 洛伦兹规范 达朗贝尔方程 2 复位函数 利用瞬时位函数的结果可以得到关于复位函数的方程 定义式 洛伦兹规范 达朗贝尔方程 由表示电磁场 3 静态场与时变场 当电磁场不随时间变化时 0 亥姆霍兹方程退化为泊松方程 或者从瞬时达朗贝尔方程出发 也可以得到上面的结果 4 位函数的任意性 矢量电位和标量磁位 电赫兹矢量 磁赫兹矢量 7 8时变电磁场的边界条件 1 瞬时边界条件 切向问题利用环路积分法向问题利用闭合曲面积分 可得边界条件 其中是界面上的分布面电荷密度 是界面上的分布面电流密度 由媒质2指向媒质1 2 复边界条件 利用复麦克斯韦方程推导 会得到与以上四式完全相同的边界条件表达式 不过此时各式中的物理量应为复矢量和复振幅 3 理想导体的边界条件 设1区是一般媒质 2区是 2 的理想导体 此时2区中的电场强度必须为0 否则利用欧姆定律有 这在实际中是不可能的 因此 同时 由麦克斯韦方程可得到 可见2区的磁场与时间无关 由此可知 2区理想导体内不存在时变的电磁场 此时1区有电磁场 省略1区场量的下标 则4个边界条件写成 理想导体外侧的电场必垂直于导体表面 且 理想导体外侧的磁场必平行于导体表面 且 可见 例7 8一时变电磁场的电场表达式为 其中 求对应的磁场 证明此电磁波可以在两块无限大导体平板间传播 求两导体板内表面上的表面电流密度 求两导体板间的和 解 将电场的复矢量 代入麦克斯韦方程 得磁场复矢量 所以磁场的瞬时值为 一个电磁波能够在给定的区域内传播 其和必须满足两个条件 一是要满足波动方程或亥姆霍兹方程 二是要满足区域的边界条件 下面验证这两