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1 第8章机械波 天线发射出电磁波 水波 地震波造成的损害 声波 2 机械波 机械振动在弹性介质中的传播过程 电磁波 交变电磁场在空间的传播过程 波动的共同特征 3 机械波是机械振动在弹性介质中的传播 8 1 1产生机械波的条件 1 振源 2 弹性介质 是指由弹性力组合的连续介质 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力 将振动传播开去 从而形成机械波 波动是振动状态的传播 是能量的传播 而不是质点的传播 4 8 1 2波的分类 1 横波 各质点振动方向与波的传播方向垂直的波 如绳波 电磁波为横波 特点 在外形上有峰有谷 5 2 纵波 各质点振动方向与波的传播方向平行的波 纵波是靠介质疏密部变化传播的 如声波 弹簧波为纵波 任一波例如 水波 地表波 都能分解为横波与纵波来进行研究 特点 纵波形成时介质的密度发生改变 有疏有密 6 1 波的传播不是介质质元的传播 在波动过程中 各质元本身并不迁移 只在各自的平衡位置附近振动 传播出去的仅是质点的振动状态 亦称位相 而振动状态的传播表现为波形的向前推进 2 上游 的质元依次带动 下游 的质元振动 某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于 下游 某处出现 波动中各质元的振动是受迫振动 它们的振动频率与波源的振动频率相同 与介质无关 3 同相位点 质元的振动状态相同 注意 振动是描写一个质点振动 波动是描写一系列质点在作振动 4 振动与波动的区别 7 8 1 3波动过程的描述 波线 表示波的传播途径和方向的有向线段 波面 振动相位相同的点所构成的面 波阵面 波前 在最前面的那个波面 在各向同性的均匀介质中 波线总是与波面垂直 8 1 描述波的特性的几个物理量 1 周期T 传播一个完整的波形所用的时间 或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间 与质点振动周期相同 2 频率 单位时间内传播完整波形的个数 与质点振动频率相同 3 波长 两相邻波峰或波谷或相位相同点间的距离 或振动在一个周期中传播的距离 9 4 波速u 波在介质中的传播速度 单位时间某种一定的振动状态 或振动相位 所传播的距离称为波速u 也称之相速 注意 周期 频率与介质无关 与波源的相同 波在不同介质中频率不变 机械波的波速决定于介质的惯性和弹性 因此 不同频率的同一类波在同一介质中波速相同 机械波的传播速度完全取决于介质的弹性模量和介质的密度 1 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 F为绳索或弦线中张力 l为质量线密度 10 2 细长的棒状媒质中纵波波速为 E为媒质的杨氏弹性模量 为质量密度 3 各向同性均匀固体媒质横波波速 4 液体气体中纵波波速 5 T u的关系 表示波在空间的周期性 表示波在时间上的周期性 通过波速联系起来 11 标准形式 三 平面简谐波的波动式 12 可得到波动标准式的其它常用形式 结论 随着x值的增大 即在传播方向上 各质点的相位依次落后 这是波动的一个基本特征 坐标为x的质元振动相位比原点O处质元的振动相位落后 结论 波长 标志着波在空间上的周期性 13 讨论1 讨论2 14 讨论3 15 1 右行波的波动方程 已知O点振动表达式 P点的振动比振源落后一段时间 t 平面简谐波沿x轴正向传播 波速为u P点的振动位移为 这就是右行波的波动方程 16 此时波动向O点左右两边传播 则波动方程为 p点的相位超前于O点相位 p点运动传到O点需用时间 p点的振动位移为 2 左行波的波动方程 3 O点为波源时的波动方程 已知O点振动表达式 波源的振动方程为 这就是左行波的波方程 17 则向右传播的波动方程为 4 已知的X0处的振动方程 则向左传播的波动方程为 5 已知某平面简谐波在t t0时刻的波形图 则原点在该时刻的位相可由图形求出为 0 设振动圆频率为 振幅为A 则原点O的振动方程为 则波动方程为 18 1 振动方程与波函数的区别 波函数是波程x和时间t的函数 描写某一时刻任意位置处质点振动位移 振动方程是时间t的函数 2 当x d 常数 时 为距离原点为d处一点的振动方程 为某一时刻各质点的振动位移 即波形 拍照 四 波函数的物理意义 19 4 注意相速度 即波速 与质点振动速度的区别 机械波的相速度由介质本身的性质决定 与波的频率 振幅无关 而质点振动速度和振动的频率 振幅时间及所研究的质点的位置均有关 5 波动方程的标准形式为 20 解法 将y x t 改写为标准式 参量比较法定物理量 先确定y 0 0 的值和v 0 0 的正负 再由u的方向 定x 0处曲线的弯曲方向 进而由 的大小 画出t 0波形曲线并平移 将x0的值代入y x t 得到y x0 t 即为振动方程 与波动方程相关的几种题型 21 已知某时刻t0 如t0 0 的波形曲线及波速 求y x t 22 例1 已知波函数 求 A u 解 由 23 例题2一平面波沿 x方向传播 u 3m s 若x 1m处的p点振动曲线如图 求 O点 x 0 的振动方程和波动表达式 解 设 24 解法2 25 例题3一平面简谐波的波动式为 1 画出t 0时刻的波形图 2 画出t T 8时刻的波形图 3 距原点o为100m处质点的振动式与振动速度表达式 26 3 100m处质点振动式 振动速度表达式是 27 例题4一平面简谐波在介质中以速度u 20m s自左 向右传播 已知在波线上的某点A的振动式为y 3cos 4 t SI 另一点D在A点右方18米处 1 若取x轴方向向左并以A为坐标原点 试写出波动式 并求出D点的振动式 2 若取x轴方向向右以A点左方10m处的o点为x坐标原点 重新写出波动式及D点的振动式 28 2 x0 10m x轴向右 可得波动式为 SI 代入上式有 SI 29 解 原点 波函数 波长 频率 30 相位差 即5m处的质点滞后原点相位20 即原点完成10个全振动后 P点开始振动 x 5m处质点振动与原点的相位差 原点 5m处 31 例6 如图所示 平面简谐波向右移动速度u 0 08m s 求 原点处的振动方程 波函数 P点的振动方程 a b两点振动方向 解 原点 t 0时 o点处的质点向y轴负向运动 原点的振动方程为 32 P点的振动方程 a b振动方向 作出 t后的波形图 波函数 33 例7 如图 是一平面简谐波在t 0秒时的波形图 由图中所给的数据求 1 该波的周期 2 传播介质O点处的振动方程 3 该波的波动方程 解 X 5 m 处 由旋转矢量法可知其初始相位为 1 利用旋转矢量法求出O点的初位相为 34 2 O点的振动方程为 3 波动方程 例8在x 1m处有一波源发出平面简谐波 波源的振动方程为 波速为U 3 0m s 求在x 1m区域的波动方程 解 35 例题8 已知 t 0的波形如图所示 求 振幅 波长 波速和波的周期 波动式及质元振动速度表达式 解 36 三 波的能量 平面简谐纵波在直棒中传播 1 动能 质元的振动速度 质元的振动动能 37 2 势能 应力与应变成正比 胡克定律 弹性势能 38 又 比较动能 39 3 质元的机械能 结论 机械波的能量与振幅的平方 频率的平方以及介质的密度成正比 在孤立振动系统中 Ek EP相互交换 系统总机械能守恒 而对于波动来说 由于媒质中各部分由弹性力彼此相联 使得振动在其中传播 任一质元总机械能随时间周期性的变化 波动能量中Ek EP同时达到最大 同时为零 总能量随时间周期变化 系统总机械能不守恒 波动的能量与振动能量的区别 40 4 能量密度 单位体积介质中的波动能量 平均能量密度 对于某一体元 它的能量从零达到最大 这是能量的输入过程 然后又从最大减到零 这是能量输出的过程 周而复始 平均讲来 该体元的能量密度保持不变 即媒质中并不积累能量 因此说波是能量传播的一种形式 波动的能量沿波速方向传播 41 5 能流 单位时间内通过介质中某面积的波动能量 显然能流是随时间周期性变化的 但它总为正值 平均能流 一个周期内能流的平均值 能流密度 波的强度 垂直通过单位面积的平均能流 能流密度的矢量式 能流密度是矢量 方向与波速方向相同 42 例1在截面积为S的圆管中 有一列平面简谐波 其波动的表达式为y Acos t 2 x 管中波的平均能量密度为w 则通过截面S的平均能流是多少 解 例2一球面