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机械振动全章复习资料一、简谐运动的基本概念1.定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F回= -kx（判断一个振动是否是简谐运动的方法）振动的位移必须是指偏离平衡位置的位移（实质与位置对应）。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。简谐运动的位移随时间变化的规律是正弦函数（判断一个振动是否是简谐运动的方法）。回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。例1.简谐运动的判断方法。两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。2简谐运动的规律：(1)在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。(2)在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。(3)振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。(4)几个重要的物理量间的关系简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系：如果弄清了上述关系，就很容易判断各物理量的变化情况。做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。由定义知：Fx，方向相反。由牛顿第二定律知：Fa，方向相同。由以上两条可知：ax，方向相反。v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。例2、弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ）A振子所受的回复力逐渐增大 B振子的位移逐渐增大C振子的速度逐渐减小 D振子的加速度逐渐减小。分析与解：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确。3从总体上描述振动的物理量振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f.周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐振动都有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。4.简谐运动的图象：(1)图像定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是反映质点的位移随时间的变化规律。作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑线连接各点便得图线。图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。(2)简谐运动图象的应用：可求出任一时刻振动质点的位移。可求振幅A：位移的正负最大值。可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。可确定任一时刻加速度的方向。可求任一时刻速度的方向。可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。例3.一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm。振子的平衡位置位于x轴上的O点，图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向。图中给出的四条振动图线，可用于表示振子的振动图象的是( AD )A、若规定状态a时，t=0，则图象为 B、若规定状态b时，t=0，则图象为C、若规定状态c时，t=0，则图象为 D、若规定状态d时，t=0，则图象为解析选A、D。若规定状态a时，t=0。则此时质点位移x=3cm，速度v0，即为图象。 若规定状态b时，t=0，则此时质点位移x=2cm，速度v0，没有与此相应的图象。 若规定状态c时，t=0，则此时质点位移x=-2cm，速度v2Eb。例9.如图所示，光滑的弧形槽的半径为R（R远大于弧长MN），A为弧形槽的最低点。小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点。同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应为多大？错解:对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求C球到达O点的时间：对B球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点.要求两球相碰，则应有tB=tC,即，解得：。分析纠错：上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为C球在圆形轨道上自C点释放后可以做往复的周期性运动，除了经过TC/4时间可能与A相碰外，经过t=TC/4+NtC(N=0,1,2)的时间都可以与A相碰。正确答案是： (n=1,2,3,4)例10.单摆测山高（单摆与万有引力）有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。分析与解：设单摆摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为据单摆的周期公式可知,由以上各式可求得例11.单摆与碰撞如图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（ ）A、如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧；B、如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧；C、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右侧；D、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左侧 。分析与解:由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，无论两摆球的质量之比是多少，从此次碰撞到下一次碰撞之间经历的时间是都是半个周期，只能发生在平衡位置。即CD选项正确。三、受迫振动与共振1.阻尼振动：振幅不断减小的振动.若阻尼振动具有周期性.2.受迫振动物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。3.共振(1)共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。(2)产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千、收音机、防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢、例12.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是（ ）A.降低输入电压 B.提高输入电压 C.增加筛子质量 D.减小筛子质量解：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固 f驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。例13.将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断：t0.2s时刻摆球正经过最低点；t1.1s时摆球正处于最高点；摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；摆球摆动的周期约是T0.6s。上述判断中正确的是（ ） A. B. C. D.解：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球