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从毕氏学派到欧氏几何的诞生蔡聪明 前言欧氏几何的创立,是数学史也是人类文明史上破天荒的大事。古埃及与巴比伦的直观、个案的经验几何知识,传到古希腊,Thales 首先尝试用逻辑加以组织。接着是毕氏学派,采用原子论 (atomism) 的观点,将几何建立在算术基础上面。毕氏学派主张:点是几何的原子,其长度 d 0,因而任何两线段皆可共度。由此证明了长方形的面积公式、勾股定理与相似三角形基本定理。不幸的是,毕氏的门徒 Hippasus 发现了不可共度线段,震垮了毕氏学派的几何学。后来虽有 Eudoxus 的比例论来补救,但欧氏已不走毕氏的旧路,改采公理化的手法,以几何公理来建立几何。这一段历史非常珍贵,不论是在知识论、科学哲学或教育上,都深具启发性。 当代著名的科学哲学家拉卡托斯(I. Lakatos, 19221974),在论分析与综合方法一文中说得好(详见参考资料 1): 我认为对于希腊几何所能做的最精采工作,是分析欧氏之前的几何 (pre-Euclidean geometry) 及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色。大部分的欧氏几何,在欧氏 (Euclid) 给出公理与定义(公元前300年)之前已经存在,正如数论在 Peano 给自然数作出公理化(1889年)之前、微积分在实数系建构(1870年,Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass 等人的工作)之前、机率论在 Kolmogorov 公理化(1933年)之前,都已经存在。问题在于为何需要公理化?公理化对于数学的进一步发展有什么帮助?在数学史上,欧氏几何是第一个公理化的知识系统,由定义与公理出发,推导出一系列的定理。我们读欧氏几何都接受这样的推展程序。 然而,公理是怎么得来的呢?为什么要选取这样的公理?公理并不是天经地义的。显然,它们都是经过长期的试误 (trial and error) 才演化出来的。公理有如宪法,都是人们制订出来的,可以挑战,更可以修订或重订。这是欧氏几何产生出非欧几何 (non-Euclidean geometry),牛顿力学被修正成为相对论与量子力学,导致科学进展的理由。 本文我们尝试对欧氏之前的几何学,作合理的重建工作 (rational reconstruction),最主要是重建毕氏学派的几何研究纲领 (the research program of geometry),以及欧氏做出欧氏几何的分析过程。毕氏这一工作虽然没有完全成功,但是却可比美于他为了追寻音律而用单弦琴 (monochord) 所作的第一个物理实验(见参考资料 18),并且也为欧氏几何的诞生铺路。成功是踏着前人的失败走过来的。 一、经验与逻辑物理学家爱因斯坦认为,西方文明对人类的两大贡献是: 1. 古希腊哲学家发明的演绎系统,即采用逻辑推理来组织知识的方法:先追寻出基本原理,再论证并推导出各种结论,总结欧氏几何。 2. 文艺复兴时代(十五、六世纪)发展出来的实证传统 (positivistic tradition),即透过有目的与有系统的实验观察,以找寻真理与检验真理的态度。 爱因斯坦直指本心地点明出:经验与逻辑是西方文明的骨干,它们是建立科学与数学的两块基石,缺一不可。知识在眼见(经验)加上论证(逻辑)的双重锤炼下,才变成真确可信。这是其它民族所欠缺或没有奠下的基础。 经验与逻辑是科学的两只眼睛,它们在十七世纪紧密结合起来,透过刻卜勒、伽利略与牛顿等人的伟大工作,终于产生了近代的科学文明。 希腊奇迹一般而言,一门学问的发展都是先从累积直观的、实用的、经验的知识开始,储存丰富了之后,才进一步地组织成比较严谨的知识系统。这是因为经验知识难免会有错误、含混、甚至矛盾,所以需要加以整理,去芜存菁。德国哲学家康德(I. Kant, 17241804)说的好: 所有的人类知识起源于直观经验 (intuitions),再发展出概念 (concepts),最后止于理念 (ideas)。 最令人惊奇的是,古希腊人将古埃及与巴比伦长期累积下来的经验几何知识,用逻辑锤炼成演绎系统,由一些基本原理(公理)推导出所有的结论(定理)。从实用,转变成论理之完全质变,这就是历史上所称的希腊奇迹(the Greek miracle) 之一。 古希腊人将数学提升到可以证明并且要讲究证明的境界,使得数学变成最严密可靠的知识,而有别于其它学问。这是数学的魅力之一。英国逻辑家罗素(B. Russell, 18721970)说数学最让我欣喜的是,事物可以被证明。(What delighted me most about mathematics was t hat things could be proved.) 古希腊人从编造神话故事来解释世事(神话诗观),进展到亚里斯多德 (Aristotle) 的有机目的观:一切事物都趋向其目的地而运动。在数学中,更进步到欧氏几何的公理化体系,利用直观自明的公理来解释所有观测到的经验几何知识。这是知识的巩固,也是进一步发展的基础。 直观经验几何几何学起源于测地、航海、天文学,以及日常生活的测积(长度、面积、容积)与铺地板等等。换言之,大自然与生活是几何学乃至是数学的发源地。 几何观念的来源 根据希腊历史学家希罗多德(Herodotus, 约公元前485425年)的说法,几何学开始于测地。古埃及的尼罗河每年泛滥,湮没田地,因此需要重新测量土地。几何学Geometry一词就是由Geometrein演变而来的,其中geo是指土地,metrein是指测量。测量土地的技术员叫做操绳师 (rope-stretchers),因为绳子是用来帮忙测量的工具。原子论大师德谟克瑞塔斯(Democritus, 公元前460370年)曾提到,当时的操绳师具有精湛的测量技术与丰富的几何知识,几乎快要跟他一样好。德谟克瑞塔斯自夸道:在建构平面图形与证明方面,没有人能超过我,?顸O埃及的操绳师也不例外。 几何观念的第二个来源是航海与天文学。哲学家康德说: 有两样事物充满着我的心,并且产生永不止息的敬畏。那就是:在头上灿烂的星空,以及心中的道德法则。 人类长久以来对星空的观察,除了敬畏与订历法之外,还从中抽取出点、线、三角形、多边形、圆、方向、角度、距离等几何概念,以及三角形的测量。更重要的是,从行星井然有序与周而复始的运行中,产生了规律感与美感 (the sense of orders and beauty),这是科学发展的必要条件。数学家兼哲学家怀海德(Whitehead, 18611947)说得好: 活生生的科学是不可能产生的。除非人们具有普遍而本能地深信:事物存在有规律;或特别地,大自然存在有规律。科学追寻大自然的内在秩序与规律。同理,几何追求几何图形的内在秩序与规律。它们最早都是从天文学得到启示。天文学是数学的故乡与发源地。毕氏学派将几何学、天文学、算术与音乐并列为四艺,是有远见的(中世纪时,再加上文法、修辞与辩证 (Dialectic),合称七艺)。 几何学的第三个来源是日常生活的测积。由此引出了长度、面积、容积、体积、表面积、重心等概念,也归结出一些计算公式。 这些直观的、实验的、经验的几何概念与知识,世界上各古老民族都出现过,并不限于古埃及与巴比伦。除了实用之外,更要紧的是,人们从中看出(或发现)了几何图形的一些规律。我们仅择几个重要的介绍,分别于各小段说明。 铺地板只有三种样式 根据普罗克拉斯(Proclus, 410485)的说法,毕氏学派已经知道,用同样大小且同一种的正多边形铺地板时,只能用正三角形、正方形与正六边形,得到三种图案(见图一图三)。读者可以用劳作剪纸片或积木游戏加以证实。然而,数学史家阿尔曼 (Allman) 却认为,古埃及人习价用这三种正多边形来铺地板,并且从长期的生活经验中,观察而发现勾股定理与三角形三内角和定理。 图一 图二 图三 如果各种不同的正多边形(边长都相等)可以混合使用,并且要铺成对称的图案,则可得到 13 种样式,这是一个很好的思考论题。 三角形三内角和定理 古埃及人又从铺地板中,发现三角形三内角和为一平角(即180度)。在图一中,绕一顶点的六个角,合起来一共是一周角(即360度),因此正三角形三内角和为一平角。这虽只是特例,但却是进一步发现真理的契机。在图二中,绕一顶点的四个直角,合起来一共是一周角,因此正方形四?茪漕予M为一周角。作正方形的对角线,得到两个相同的等腰直角三角形,从而得知等腰直角三角形三内角和为一平角。将正方形改为长方形,前述论证也成立,因此任何三角形都可以分割成两个直角三角形(作一边的高),所以任意三角形三内角和为一平角。 这个结果美得像物理学的一条守恒定律 (conservation law),令人激赏。奇妙的是,它也可以用剪刀劳作看出来:将三角形的三个角剪开来(见图四),再将三个角排在一起,就得到一个平角(见图五),著名的伟大科学家巴斯卡(Pascal, 16231662)小时候就是如此这般重新发现这个定理。 图四 图五 图六 我们也可以利用折纸的实验,发现这个定理(见图六)。即沿着 DE、DG、EF 把三角形折成长方形 DEFG,那么 叠合于 A 点,成为一平角。 利用旋转铅笔的实验,也可看出这个定理(见图七)。 图七 勾股定理这是关于直角三角形三边规律的定理:对于任意的直角三角形都有 c2 = a2 + b2(见图八)。 图八 古埃及人仍然是从铺地板中看出其端倪。在图九中,直角三角形 ABC 斜边 AB 上的正方形面积,等于两股上正方形面积之和。这是勾股定理的一个特例。 图九 我们可以利用几何板 (geoboard),玩出更多勾股定理的特例。图十与图十一就是两个例子。 图十 图十一 另一方面,巴比伦人与中国人都观察到一个木匠法则。即木匠在决定垂直、直角及边长时,发现边长为 3, 4, 5 的三角形,三边具有 32 + 42 = 52 的关系并且为直角三角形(毕氏逆定理之特例)。 这些线索好象是矿苗,人们很快就发现了勾股定理之金矿。这只需用剪刀劳作(够直观经验吧!)就可以看出来。在图十二中,以边长 a+b 作两个正方形;左图剪掉四个直角三角形,剩下两个小正方形,面积之和为 a2 + b2;右图从四个角剪掉四个直角三角形,剩下一个小正方形之面积为 c2;等量减去等量,其差相等。因此 a2 + b2 = c2。 图十二 相似三角形基本定理 如果两个三角形的三内角分别对应相等,则对应边成比例。亦即,在图十三中,若 , , ,则 这个结果是直观显明的。因为两个三角形三内角分别对应相等,表示它们之间有一个是另一个的放大或缩小,所以它们的大小不同但是形状相同,叫做相似。从而对应边成比例,比值就是放大率或缩小率。我们注意到:三角形在作放大或缩小时,只有角度是不变的。 根据历史记载,泰利斯(Thales, 公元前640?546)当年游学古埃及时,就曾利用这个定理推算出金字塔的高度。另外,他也推算出海面上的船只到岸边的距离。 柏拉图五种正多面体 正多边形有无穷多种,但是正多面体不多也不少恰好有五种。这是很美妙的结果。小孩子玩积木片(例如市面上流行的百力智能片)的拼凑游戏就可以做出来,是真正可以看得见、摸得到的。在图十四中,总共有正四面体 (tetrahedron),正六面体 (cube)、正八面体 (octahedron)、?县Q二面体 (dodecahedron) 以及正二十面体 (icosahedron)。 根据数学史家奚斯(Heath, 18611940)的看法,毕氏学派可能已知这五种正多面体。数学家魏尔(H. Weyl, 18851955)认为正多面体的发现,在数学史上是独一无二的精品,是最令人惊奇的事物之一。柏拉图拿它们来建构他的宇宙论,从正四面体到正二十面体分别代表火 (fire)、土 (earth)、气 (air)、宇宙 (universe) 与水 (water)。 图十三 图十四 二、泰利斯:几何证明的初试古埃及与巴比伦人,由于长期(约三千年)的生活实践,累积了大量直观的、经验的、实验的几何知识可能对也可能错。然后传到了古希腊(Thales、Pythagoras、Democritus这些希腊先哲都曾到过埃及与巴比伦旅行、游学,带回了许多几何知识),加上希腊人自己所创造的几何遗产,经过一群爱智、求完美、讲究论证、追根究柢、为真理奋斗的哲学家们之增益与整理,开始发酵而产生质变。 在古希腊文明的早期,希腊人编造许多神话来解释各种现象。但是当他们面对几何时,毅然决定给经验注入论证与证明,迫使神话与独断让位给理性 (myth and dogma gave way to reason),这是数学史也是文明史上了不起的创举,最重大的转折点。 古希腊人花了约三百年的时间(从公元前600300年),才将经验式的几何精炼成演绎式的几何。首先由泰利斯(Thales, 公元前约625546年,被尊称为演绎式几何之父)发端,他试图将几何结果排成逻辑链条 (logical chain);排在前面的可以推导出排在后面的,因而有了证明的念头。 根据亚里斯多德的学生欧德孟斯(Eudemus, 公元前330年左右)的说法,泰利斯曾游学埃及,他是第一位将埃及的几何知识引进希腊的人。他自己也发现了许多命题,并且勤教后进,展示其背后的原理。他有时采用一般方法,有时则采取较经验的手法来论证。 古埃及、巴比伦人面对的是个别的、具体的这个或那个几何图形。泰利斯开始加以抽象化与概念化,研究图形本身并且给出普遍叙述的几何命题。这是几何要成为演绎系统的必要准备工作。 举例说明:在日常生活中,我们看见车轮子是圆的、中秋节的月亮也是圆的、于是逐渐有了圆形的概念 (concept)。圆形绝不曾跟方形混淆。最后抽象出圆的理念 (idea):在平面上,跟一定点等距离的所有点,所成的图形叫做圆;定点叫做圆心,定距离叫做半径,通过圆心且两端在圆上的线段叫做直径。另一方面,如图十五,我们观察到车轮子由直径裂成相等约两半,化成理念得到:直径将圆等分成两半。这是一个普遍的几何命题,生存在柏拉图的理念与形的世界(the world of ideas and forms)。古埃及与巴比伦人只见到这个或那个具体的圆形,而希腊人思考的是抽象理念的圆形本身。 图十五 一般而言,数学史家公认下面六个几何命题应归功于泰利斯: 命题一、两直线相交,则对顶角相等。 命题二、一个圆被其直径等分成两半。 命题三、等腰三角形的两个底角相等。 命题四、半圆的内接角为一个直角。 命题五、两个三角形若有两个角及其夹边对应相等,则两个三角形全等。 命题六、两个三角形若三个内角对应相等,则其对应边成比例。 这些命题都相当直观而显明。据猜测,古埃及与巴比伦人可能也都知道这些结果,不过是以孤立的经验几何知识来存在。 为何需要证明?最主要的理由是经验知识可能错误,即眼见不完全足凭。例如,关于半径为 r 的面积,泰利斯从巴比伦人得到的是 3r2,又从埃及人学到 的答案,两者不同,因此至少必有一个是错误的。又如,在莱因纸草算经(Rhind papyrus) 中说,四边为 a, b, c, d 之四边形,其面积为 ,这只有在长方形的情形才成立。人类常会看走了眼,明明眼见地静与地平,怎么又有地动与地圆的争论呢?色盲者所见的世界跟一般人不尽相同。对于同一个历史事件或物理事实,立场不同的人可以英雄所见完全不同。鸟瞰的世界与人看的世界当然不同。人是诠释者,也是权衡者。证明就是要以理说服自己,然后再说服他人。在下面的图中,我们再举几个常见的、易起不同看法或错觉的图形,见图十六十七。 图十六:一图两种看法(右图王雨荷画的) 图十七:两线段相等,但看起来不等。 图十八:并行线,但看起来不平行。 因此,感官经验虽是知识的根源,但是若要得到正确的知识,必须再经过论证与证明,才能分辨对错。这是泰利斯深切体会到的。因此,亚里斯多德说: 对于泰利斯而言,他的主要问题并不在于我们知道什么,而是在于我们是怎么知道的。 进一步,泰利斯要问:为何(why) 知道?这里涉到知识论的两个基本问题: (i)如何看出或发现猜测 (conjectures)? (ii)如何证明或否证一个猜测? 有了猜测才谈得上证明,否则证明什么呢?能够通过证明的猜测,才成为定理。 对于命题一至六,泰利斯如何给予证明呢?根据数学史家的看法,当时的证明包括两种:直观的示明 (visually showing the truth of a theorem) 与演绎的示明 (deductive argument)。前者如苏格拉底教男童倍平方问题就是一个例子(详见参考资料 19)。我们不要忘了,泰利斯是为演绎数学立下哥伦布的蛋的第一人,因此瑕疵在所难免。 命题一之证明: 如图十九所示, = 平角 = ,两边同减去 得 。同理可证 ,证毕。 图十九 命题二之证明: 沿着直径将圆折叠起来,两半恰好重合。这只是实验与直观的验证而已。 后来欧几里得将这个命题当作一个定义,他说:一个圆的直径是指通过圆心而止于圆周上的任何线段,并且此线段等分此圆。 命题三之证明: 如图二十所示,沿着中线 AD 将三角形折叠起来,两半恰好重合,因此 。证毕。 图二十 这个命题又叫做驴桥 (asses bridge) 定理,意指笨蛋的难关,对初学者已构成困难。 图二十一 命题四之证明: 如图二十一所示,连结 A 点与圆心 O,则 与 都是等腰三角形。由命题三知 又因为三角形的三内角和为一平角,所以 证毕。 泰利斯非常喜爱这个定理,据说他是观察到长方形的对角线互相平分而得到的。他为此而特别宰了头牛庆祝一番。因此这个定理又叫做泰利斯定理,再推广就是圆周角定理。 命题五之证明: 利用移形的方法,可以使两三角形完全叠合在一起,所以它们是全等的,证毕。 命题六之证明: 见前节的相似三角形基本定理。 总结上述之证明,所用到的基本原理计有:等量代换法、等量减法、移形叠合法、标尺作中线、两点决定一直线与三角形三内角和为一平角等等。 关于泰利斯将几何定理排成逻辑链条一事,历史上并没有实例。下面我们试举一个例子: 移形叠合公理命题三 三角形三内角和定理泰利斯定理(命题四) 泰利斯的生平点滴泰利斯是爱奥尼亚学派 (Ionian school) 之首,亦是希腊的七贤之一。他是探讨宇宙结构与万物组成的第一人,提出了万有皆水(All is water) 的主张。他相信在大自然的混沌中,有秩序可寻;并且将希腊人面对大自然所采取的神话诗观(mythopoetic view, 超自然的),转变成以自然的原因来解释自然的科学观,这是了不起的进步。 由于热衷于天文学,泰利斯曾经因为专心天文观测,而掉进水沟里,被女仆嘲笑说:泰利斯的眼睛只注视着天上,而看不见身边的美女。 他预测了公元前585年会发生日蚀对此,今日有历史学家持怀疑的态度。泰利斯多才多艺,他也是一位商人,经常以一头驴子运盐,渡过一条河。有一次驴子不小心滑倒了,盐在水中溶化掉一部分,当驴子重新站起来时,感觉轻了许多,很高兴;后来驴子常如法泡制。泰利斯为了惩罚牠,改载海绵。这次驴子又故技重施,结果却因海绵吸了很多水,驴子淹死了。 好朋友索龙 (solon) 问泰利斯:为何不结婚?为了回答索龙,他在第二天派专人传话说:索龙钟爱的儿子意外地被杀死了。泰利斯随后赶去安慰这位悲痛欲绝的父亲,并道出真相说:我只是想告诉你为什么我不结婚的理由。 科学哲学家波柏 (K. Popper) 认为泰利斯更重要的贡献是,为古希腊开创了一个自由讨论与批判的传统 (the tradition of critical discussion),这是学术发展的先决条件。泰利斯意识到真理都不是最终的,必须开放批判,以求进步。我们的知识与学说不过是一种猜测、一种假说而已,而不是确定不移的最后真理,只有批判的讨论才是唯一使我们更接近真理的方法。这就是大胆猜测,然后小心求证,鼓励批判与创新。这个传统开启了理性的或科学的态度。 两、三个世纪之后,亚里斯多德的学说开始盛行,又跟宗教结合,威权性格日重,主导西方世界约两千年之久。直到文艺复兴时,才重新回复泰利斯的批判传统,其中伽利略扮演了关键性的角色,因而被尊称为近代科学之父。 从泰利斯开始,古希腊哲学家为人类开启了第一道理性文明的曙光,经过两千多年的努力经营,终于照亮大地。 毕氏学派的几何研究纲领在泰利斯的工作基础上,毕氏学派提出了更深刻的几何研究纲领。毕氏是泰利斯的学生,他采用原子论 (atomism) 的观点来研究几何。 点有多大? 如果采用连续派的观点,主张线段可以经过无穷步骤的分割,最终得到一个点,令其长度为 d,那么对于 d 可以提出两种假说: (i) d=0, (ii) d 为无穷小 (infinitesimal)。 东方的老子说:至大无外,至小无内,可为脚注。 如果采用离散派的观点,主张线段只能作有限步骤的分割,线段经过(很大的)有穷步骤分割后,得到一个点,其长度 d 虽然很小很小,但是不等于 0,那么自然就有第三种假说: (iii) d0 毕氏分析(i)与(ii)两个假说:如果 d=0,由于线段是由点组成的,那么就会产生由没有长度的点累积成有长度的线段;这种无中生有(something out of nothing) 是不可思议之事。毕氏无法打开这个困局。如果说 d 是无穷小,那么什么是无穷小?显然它不能等于 0,否则又会落入无中生有的陷阱。(不过,老子却认为天下万物生于有,有生于无。)它可以是某个很小很小而大于 0 的数吗?这也不行,因为这会变成线段是由无穷多个正数加起来的,其长度是无穷大!这也是一个矛盾,换句话说,无穷小不能等于 0,并且要多小就有多小。这简直就是老子所说的搏之不得名曰微。因此,无穷小更诡谲深奥。 然而,在实数系中,不等于 0与要多小就有多小,这两个概念是不兼容的。因为一个正数,若是要多小就有多小,那么它必为 0。另一方面,一个不为 0 的正数,根本不可能要多小就有多小。因此,无穷小不能生存在实数系之中,它像个活生生的小精灵 (demon),云游于无何有之乡,令人困惑。 经过上面的分析,毕氏采用(iii)的大胆假说,叫做 毕氏假说: 点有一定的大小,其长度 d0。 换言之,在毕氏学派的眼光里,世界万物是离散的。线段是由具有一定大小的点排列而成的,像一条珍珠项链。 任何两线段皆可共度 在毕氏假说之下,可以推导出: 定理一: 任何两线段 a 与 b 都是可共度的 (commensurable),即存在共度单位 u0,使得 且 ,其中 m 与 n 为两个自然数。 定理二: 任何两线段 a 与 b 可共度 为一个有理数。 上述定理一是显然的,因为至少一个点的长度 d 就是一个共度单位。通常共度单位取其尽可能大,最大共度单位就是 m 与 n 的最大公因子,它可以用辗转相除法求得。 要言之,毕氏学派大胆地(直观地)假设点的长度 d 0,于是自然得到任何两线段皆可共度。两线段辗转互度时,只需有穷步骤就可以度量得干净,不曾没完没了。 在实际作两线段的辗转互度时,由于人类眼睛的精确度有限且误差不可避免,因此原则上有限步骤就会停止,而得到最大共度单位。读者可做一下实验。 我们也可以采用度量的观点来看,什么是度量?我们人为地取一个单位长度,例如公尺,用它来度量一个线段。如果量三次恰好量尽,那么我们就说线段长是三公尺。如果量不尽呢?把剩下的部分,用小一点的单位,例如公寸,再去量。如果量七次恰好量尽,那么我们就说线段长是三公尺七公寸。如果还是量不尽呢?按上述要领,用公分再去量。这样一直做下去,会不会永远没有量完的时候呢?毕氏学派回答说:不会,因为任何两线段皆可共度! 因此,度量只会出现有理数(rational numbers,又叫做比数)。再加上毕氏的另一个神奇发现:乐音的弦长成为简单的整数比,例如两弦长之比为 2:1 时,恰为八度音程;比例为 3:2 时,为五度音程;比例为 4:3 时,为四度音程(毕氏音律)。这使得毕氏欣喜而情不自禁地宣称: 万有皆整数与调和!(All is whole number and harmony)。 这意思是说,所有存在事物最终都可以用自然数及其比值来表达,世界的内在结构是数学的,具有高度的单纯性与规律性。整数是构成宇宙的最终之真实!毕氏不让其师泰利斯的万有皆水专美于前。毕氏的天空简单明朗、晴空万里、仙乐飘飘。 物质由原子构成,就像几何图形由点构成一样。行星之间的距离成简单整数比,因此运行时奏出星球的音乐(the harmony of spheres):哲学是最上乘的音乐,思想灵动所发出的音乐;以及勾3股4弦5。这一切似乎在诉说着:万有皆整数与调和,并且为其作证。 进一步,毕氏学派用整数及其比值的算术,相当成功地建立了几何学,我们不妨称之为几何学的算术化、有理化。其主要的内容是: (i) 利用任何两线段皆可共度推导出长方形的面积公式,从而给出勾股定理一个算术的证明。 (ii) 利用任何两线段皆可共度,推导出相似三角形基本定理。 (iii) 提出平行的概念,证明三角形三内角和定理,从而推导出:用同样的正多边形铺地板只有三种样式,以及正多面体只有五种。 长方形的面积公式 首先注意到,面积是长度的导出量。如果我们取 u 为长度单位,那么就用 u 为边的正方形面积作为面积单位。于是一个长为 m 单位,宽为 n 单位的矩形 ,其面积就是 平方单位。对于边长为 a, b 之任意长方形,其面积又如何呢? 定理三: 长方形的面积 长 宽 证明: 由于 a 与 b 可共度,故可取到共度单位 u,使得 用 u 将长分割成 m 等分,宽分割成 n 等分,立即看出长方形的面积为 个 u2 单位,恰好就是 。 如果我们用事先取定的面积单位 v2 来度量长方形 (a,b),那么我们可以找到共度单位 u 使得 已知长方形的面积为 个 u2 单位,即 个 v2 单位,而这恰好是 ,证毕。 有了长方形的面积公式,于是平行四边形、三角形、梯形、等等的面积公式也都顺理成章地推导出来了。 平形与三角形三内角和的定理 毕氏学派也发展出并行线理论,并且证明了三角形三内角和的定理。在一平面上,永不相交的两直线叫做并行线。 平行公理:过直线 L 外一点 P,可作唯一的一直线通过 P 点并且跟 L 平行。 补题:两并行线被第三条直线所截,则内错角相等,即 ,见图二十二。 图二十二 定理四:三角形三内角和为一平角。 证明:如图二十三,过 A 点作一直线 DE,使其平行于 BC。因为并行线的内错角相等,故 且 ,从而 证毕。 在图二十三中,DE 堪称是是乾坤的一根补助线,这个定理告诉我们,三角形的六个要件(三个边与三个内角)并不是独立的。事实上,只要适当的三个条件,如 s.a.s.、a.s.a.、s.s.s.、a.a.s. 就可以唯一决定三角形。 图二十三 推论:n 边形 () 的内角和为 n-2 个平角。 定理五:用同样的正多边形磁砖铺地面,恰好可铺成三种图案。 证明:假设用同样的正 n 边形磁砖可以铺成地面,并且在一个顶点的接连处用了 m 块磁砖,则 亦即 (n-2)(m-2)=4 且 这两个式子的正整数解只有三组: (i) n=3, m=6 (ii) n=4. m=4 (iii) n=6, m=3 分别代表三种图案。证毕。 定理六:正多面体恰好有五种。 证明:设正多面体绕着一个顶点共有 m 个正 n 边形,则 m, n 必须满足 亦即 (n-2)(m-2) 0 及自然数 m,n 使得 在 AB 与 DE 边上取 AB1 = u 且 DE1=u,以 u 长将 AB 与 DE 分别分割成 m 与 n 等分。由分点作线段平行于底边,则 且并行线也将 AC 与 DF 分割成 m 与 n 等分(参见下面补题), AC1 = DF1 = v 为 AC 与 DF 的共度单位。于是 从而 同理可证 证毕。 补题:三角形 中,设 B1, B2 为 AB 的三等分点,过 B1 与 B2 作 B1 C1 与 B2 C2 平行于 BC,则 C1、C2 也是 AC 的三等分点。 证明:在图二十五中,过 C1 与 C2 作 C1 D1 / AB,且 C2D2 / AB,则 从而 AC1=C1C2=C2C,证毕。 图二十五 定理八:(勾股定理) 直角三角形斜边的平方,等于两股平方和,如图二十六所示,即 c2=a2+b2 图二十六 图二十七 证明一:根据三角形三内角可知,在图二十七中较小四边形是一个正方形,并且可以看出 大正方形小正方形四个全等直角三角形 亦即 所以 c2=(a+b)2-2ab=a2+b2,证毕。 注意:这里用到了长方形的面积公式。 证明二:因为 ,参见图二十八,所以 两式相加得 AC2 + BC2 = AB2, 证毕。 图二十八 注:Loomis 收集有勾股定理的370种证法(详见参考资料 12),简直是天下奇观!证法显然继续在增加之中。 爱因斯坦在12岁时,独立地证明勾股定理,就是采用上述的第二种证法。下面就是他在自传中描述他第一次接触到欧氏几何的惊奇与感动: 在12岁时,我经验了第二次完全不同的惊奇;第一次是四或五岁时,对罗盘针恒指着南北向感到惊奇:在新学期的开始,一本讲述欧氏平面几何的小书到达我的手上,里面含有命题,例如三角形的三个高交于一点,这绝不显明,但却可以证明,而且是如此地明确以致于任何怀疑都不可能产生。这种清澈与确定带给我不可名状的印象。至于公理必须无证明地接受,这对我并不构成困扰。无论如何,如果我能够将证明安置在似乎不可怀疑的命题上,我就很满意了。例如,我记得在神圣几何小书到达我的手上之前,有一位叔叔曾告诉我勾股定理。经过了许多的努力,利用相似三角形的性质,我终于成功地证明了这个定理。在做这项证明工作时,我用到:直角三角形的边之关系,必由其一锐角完全决定。我认为这是很显明的(evident)。 如果据此就断言:我们可以透过纯粹思想而得到经验世界的真确知识,那么这个惊奇就放置在错误上面了,然而,古希腊人首次向我们显示,至少在几何学里,只需透过纯粹的思想,人们就能够获致如此这般真确与精粹的知识,这对于第一次经验到它的人,简直是既神奇又美妙。 整理摘要 我们将上述结果 ,整理成如下的逻辑网络 。 三、不可共度线段的发现毕氏学派为几何建立基础的成果似乎是丰硕的。然而,好景不常,毕氏学派的天空飘来了乌云,暴风雨就要发生。毕氏学派发现:正四边形与正五边形,其边与对角线都是不可共度的 (incommensurable),亦即在图二十九中,AB 与 AC 不可共度。 图二十九 如何证明呢?对于正四边形的情形,由勾股定理知 对于正五边形的情形,也不难推知 因此我们只需证明 与 都不是有理数,就可以否定掉 AC 与 AE 之可共度性。 下面我们仅做 不是有理数之证明。据笔者所知,这至少有15种证法,基本上是归谬法(Hardy 所称的弃局战术)的各种主题变奏,其中有费玛的无穷递降法 (method of infinite descent)、毕氏弄石法 (the pebble method)、良序原理 (the well-ordering principle),以及两种传统教科书常见的证法等。每一种方法都各有千秋与巧妙。 让我们来介绍有趣的毕氏弄石法。 定理九: 不是有理数。 我们要证明:不存在自然数 m , n 满足 n2 = 2m2,亦即对任意自然数 m , n,恒有 。这个算术的命题,应该有算术的证明才对。 毕氏学派对于数有很奇特的看法,也们将数用小石子排列成各种形状,例如 10 粒小石子可以排成三角形或矩形(见图三十): 图三十 叫做三角形数或矩形数,因此,数都赋有形状,从而有形数 (figurate numbers) 之称。有些数可以排成正方形,并且有些正方形数又可重排成两个小正方形数之和,例如图三十一。 图三十一 对毕氏学派而言,数与形是一家的:万有都是整数,每个整数都有形。 算或calculus的古字,在西方相当于 Pebble,意指弄石(今日医学上 calculus 是指结石,仍然保留古意);在东方是筭,意指弄竹。对古人而言,算术就是摆弄小石子或竹签(畴算)以作计算的技术。因此,用小石子或竹签来代表数是很自然的事。东方盛产竹子,就地取材,顺应自然。 n2=2m2 是说,一个正方形数可以重排成两个相同的较小的正方形数。这可以办得到吗?我们要证明办不到。 我们作几个简单的观察与尝试,考虑 72=49 与 52+52=50 的图形(见图三十二): 图三十二 图三十三 显然 。如果 A 可以重排成两个相同正方形 B 与 C 之和,那么 A 扣掉 B,所剩的 ,必可排成 C,如图三十四: 图三十四 亦即零头的小石子恰可填满 x 之正方形。记 x 之正方形为 A1,两个相同的零头正方形为 B1 与 C1。注意到,B1 与 C1 必为正方形(见图三十五)。 图三十五 定理十:(毕氏弄石定理) 若正方形数 A 可重排成两个相同的小正方形 B 与 C,则必可将某个较小正方形数 A1 重排成两个相同的且更小的正方形 B1 与C1。 按此要领不断做下去,会没完没了,终究出现矛盾。换个方式来说,若 ,则 。今因 ,且 ,溯源而上,必可到达 ,乃至到达:任意正方形数不能表达成两个相同较小正方形数之和。这就证明了 不是有理数。我们猜测,这才是喜好弄石的毕氏学派之原版证法。 两千多年后,费玛将此法精炼成无穷递降法,变成一种证明的利器。 不可共度线段的发现,意义非凡,有危机也有转机。 (i) 危机:震垮了毕氏学派的几何学研究纲领。无穷步骤与无理数扑面而来,躲都躲不掉。他们恐惧,坚持天机不可泄漏。这就是数学史上所谓的数学的第一次危机或希腊人对无穷的恐惧(the Greek horror of the infinite) 或希腊天空中的暴风雨(the storms in Greek Heavens)。有一位门徒 Hippasus 因为泄漏天机而被谋杀于海上,这就是所谓的逻辑丑闻(the logical scandal) 事件。 (ii) 转机:希腊人首次发现到几何线段不是离散的,而是连续的,线段是由不具有长度的点所组成的。他们真实地面对无穷与连续统(continuum) 这两个深奥无比的宝藏。一代一代的数学家都曾受到它们的困惑,但是又都从中挖掘到珍珠,开拓出数学的新天地。 毕氏学派建立在可共度上面的比例论、长方形面积公式、相似三角形基本定理、万有皆整数都受到了空前的挑战,也可以说是对整个希腊文明的挑战。希腊人费了约300年的时间才成功地响应这个挑战优多诸斯(Eudoxus, 公元前408355)创立比例论(解决不可共度的情形)以及欧几里得(Euclid, 公元前300)建立公理化的欧氏几何。前者是修补漏洞;后者是另起炉灶,重建几何学。 毕氏学派对数学的贡献算术(数论)、音乐、几何学与天文学是毕氏学派所推行的四艺学问。我们说明如下。 数论 (A)数的分类 (i)奇数与偶数 (ii)形数的概念 三角形数:由自然数之和所形成的数 正方形数:奇数之和的数,例如 五边形数:如下图之数 用小石子将抽象的数加以图解,得到形数,这很方便于发现一些公式,例如 (iii) 完美数 (the perfect numbers):一个数等于其全部的真因子之和,例如 6=1+2+3,28=1+2+4+7+14。 过剩数 (the abundant numbers):一个数小于其全部的真因子之和。 不足数 (the deficient numbers):一个数大于其全部的真因子之和。 (iv)亲和数 (the amicable numbers):两个数 a, b 为亲和数,如果 a, b 分别等于 b 或 a 的所有真因子之和,例如 (B) 毕氏三元数 (Pythagorean triples) 三个整数,若构成直角三角形的三边,就叫做毕氏三元数。换言之,x2+y2 = z2 的正整数解就是毕氏三元数。毕氏给出如下的公式: 其中 n 为自然数,但是这并没有穷尽所有的解答。 (C)平均的理论 设 a, b 为两正数,则 分别叫做算术平均、几何平均与调和平均,它们具有 的性质。等号成立 。 (D)质数以及两数互质的概念 音乐 毕氏用单弦琴(monochord)作实验,定出毕氏音律: 音阶:C,D,E,F,G,A,B,C 弦长: 这是历史上有记载的第一次物理实验。 毕氏也是一位音乐家。他曾说过:哲学是最上乘的音乐。据说毕氏临终之言是勿忘勤弄单弦琴! 几何学 (i) 勾股定理。 (ii) 三角形三内角和等于一平角及其证明。 (iii) 黄金分割之作图:将一直线段分割成 a,b 两段,使得 a+b :a=a:b,则称为黄金分割。由此可以作出正五边形。注意:黄金分割之名是后人给的。 (iv) 用同样大小的正多边形铺设地板,只能是正三角形、正方形以及正六边形三种情形。 (v) 正多面体恰好只有五种。 (vi) 正方形或正五边形的一边及其对角线不可共度。 (vii) 给定甲、乙两个多边形,求作一个多边形使其面积等于甲并且跟乙相似。 (viii) 长方形的面积公式与相似三角形基本定理的不完全证明(只证可共度的情形)。 天文学 (i)毕氏是最先知道行星与地球是球形的人,而且沿着圆形轨道运行,因为圆与球分别是平面与空间中最完美的图形。他可能是观测到月蚀时,地球投射在月球上的影子是圆形的,因而推断地球是球形的。 (ii)毕氏也是最先知道早晨的启明星就是傍晚的太白金星的人之一。 (iii)宇宙最外层是固定在球面上的星星,往内逐次是五个行星,太阳与月亮,然后才是地球,再加上中心之火(the central fire)与反地球(the counter earth),总共有10个星球,最后两者是看不见的, (iv)星球在空中运行时,会发出声音。距离地球越远的星球运动得越快,声音也越高,于是行星运动就合奏出星球的音乐。 总之,毕氏学派的数(算术、数论)与形(几何学)是一家的,并且数学与科学(音乐与天文学)亦然,他们为追究学问而学问 (to pursue for its own sake),绝不把实利放在眼里。在几何学中,毕氏引了公理(axiom) 与证明(proof) 的概念。今日我们熟悉的术语,如数学、理论与哲学(爱智之学)也都是毕氏学派的贡献。 余波荡漾:季诺、柏拉图与亚里斯多德毕氏学派尝试为几何建立基础,但由于不可共度线段的出现而告失败。这对于希腊文明来说,好象经历了一场大地震,而且余震一波接着一波。古希腊人如何响应这个挑战呢? 本段我们先来简述季诺 (Zeno)、柏拉图与亚里斯多德三个人的响应。 由于无穷可分(infinitely divisible, 连续派)存在有不易克服的难题,而毕氏学派较直观经验的有穷可分(finitely divisible, 离散派)也导致矛盾。这真是一个进退维谷的困境。 在这种风雨飘摇的局面下,哲学家季诺(约公元前450年,生平不详)进一步发明四个诡论 (paradox),用来论证运动的不可能性。他巧妙地运用无穷(无穷大、无穷小与连续性)来造诡论,以彰显不论是连续派或离散派都具有矛盾性。这四个诡论如下: (i)二分法诡论(The Dichotomy Paradox) 如果单位长的线段可作无穷步骤分割,那么运动 (motion) 是不可能发生的,因为一个人要从右端点走到左端点,必须走过中点, 点, 点,没完没了,永远到达不了左端

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