锐角三角函数值的定义.doc

銳角三角函數值的定義 陳譽偉 相似三角形的性質中，一直角三角形某兩邊的比值，以及另一個相似直角三角形之對應邊的邊長，即可求得另對應邊的長直角三角形ABC(其中C為直角)，相異兩邊的比值有下列六個：BACa(A的對邊)c(斜邊) b(A的鄰邊) 為了便於稱呼及書寫，我們將這六個比值分別用數學符號表示如下： 當A的度數為時，我們常用sin、cos、tan、cot、sec與csc分別表示sinA、cosA、tanA、cotA、secA、cscA。 如此一來，給定一個的值(090)，則sin、cos、tan、cot、sec與csc的值都隨之定，因此，它們都是的函數，依序稱為正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數與餘割函數，這六個函數統稱為三角函數。若三角形ABC中，C=90，A的度數為，以 =a，=b與 =c就有，。，。，。，。，。，。三角函數的基本關係 倒數、商數、平方關係 由上一節的討論，我們不難發現，這六個三角函數並非毫不相干的，他們彼此相互關聯我們稱此為倒數關係 我們稱此為商數關係 此外我們還可由畢氏定理得出下述平方關係：+ 平方關係proof： 餘角關係 sin、cos、tan、cot、sec及csc這六個三角函數之間除了有上述倒數關係、商數關係以及平方關係之外，尚有下面的餘角關係：設ABC中，C=90，A=。因A+B=90，所以B=90-，又因B的對邊是A的鄰邊，B的鄰邊是A的對邊，所以有，故有sin(90-)=cos。同理可推得下述餘角關係： 若045，則4590-90。 因此我們只要知道介於0與45之間之銳角的三角函數值，即可求出它的餘角90-的三角函數值。同界角同界角有相同的三角函數值三角函數在四個象限之正負關係：第一象限第二象限第三象限第四象限，三角函數的圖形在這一節裡，我們將引進角的另一種度量單位，以便把三角函數看作實數間的對應關係，並在座標平面上描繪其圖型，研究這些函數的特性。弧度讓我們先來回顧一下，我們是怎麼量出ABC是多少度的？ 由於角的大小完全由其兩邊張開的程度來決定，與其兩邊的長度是無關的。以任意長為半徑畫一圓O，將其圓周等分為360格，那麼每一格的弧所對的圓心角就是1，一個圓周角就是360。如果我們將ABC的頂點B放在圓心O上，並設其兩邊與(或其延長線)分別與圓O交於P與Q點，那麼ABC的度數及等於POQ的度數，且，因此ABC=POQ=(1)由於圓O的周長為，故ABC=POQ= 。在上式中，為一常數，我們規定此常數為一弧度。亦即360= 弧度。因此，1= 弧度，故有 ()=1弧度，弧度 由(1)式可得(2) POQ= 弧度根據(2)式可得 POQ=1弧度的意思即PQ的弧長=圓O的半徑扇形的弧長與面積由以上討論，我們知道：若圓O的半徑為r，P與Q為圓周上兩點，則POQ= 弧度。由此可知：若圓心角POQ=弧度，則PQ的弧長=r設POQ=弧度，則PQ的弧長為r，因此PQ的弧長為圓O周長之比，故扇形POQ面積= 圓O的面積= = 因此我們有若POQ=弧度，則扇形POQ面積=要特別注意：當我們用弧度為單位表示依角的大小時，習慣上常把弧度兩字省略不寫。 要注意：sin不可簡記為sin，因為根據習慣表示法，sin的意思是sin(弧度)，亦即為sin180，而非sin。三角函數的圖形及其特性正弦函數的圖形及其特性描繪函數圖形最直接的方法就是描點法：先求出某些特殊的值，並列表如下：-0-0在依此標出其上的一些點，然後依次用平滑曲線將這些點連起來。 函數的週期一個函數的圖形若每隔一固定單位長都一樣，亦即可找到固定的正數a， 使得對於其定義域中每一元素，恆有，我們就稱這個函數為一週期函數。如果又可找到滿足上述性質的最小正數，我們就說這個週期函數的週期為。由於對於任意實數，我們恆有，而且又滿足這個性質的最小正數，所以正弦函數是一週期函數，他的週期為。正弦函數的特性(1)正弦函數的定義域為(2)正弦函數的值域為-1(3)正弦函數的週期為餘弦函數的圖形及其特性我們同樣可以用描點法描繪的圖形，因為對於任意實數，恆有，所以將正弦函數的圖形向右平移單位，即可畫出的圖形。 餘弦函數的特性(1)餘弦函數的定義域為(2)餘弦函數的值域為-1(3)餘弦函數的週期為正切函數的圖形與特性使用描點法描繪正切函數的圖形時，因為對於任意實數x，恆有，所以我們只要描繪區間x上正切函數的圖形，然後逐次向右或向左平移單位，即可得出的全部圖形。(注意：時，是無意義的) 正切函數的特性(1)只有當時，無意義；對於其他的實數x，的值都可確定，因此正切函數的定義域為x，。(2) 正切函數的值域為R(3)正切函數的週期為餘切函數的圖形與特性因為對於任意實數，恆有，所以我們只要將正切函數的圖形向左平移單位，再將所得的圖形對軸鏡射，即得餘切函數的全部圖形： 餘切函數的特性(1)只有當，時，無意義，因此餘切函數的定義域為x，。(2) 餘切函數的值域為R(3)餘切函數的週期為正割函數的圖形與特性由倒數關係知道：當0時，。因此由餘弦函數的圖形，約略可得到正割函數的圖形。 正割函數的特性(1)正割函數的定義域為x，。(2) 正割函數的週期為(3)正割函數的值域為餘割函數的圖形與特性因為對於任意實數，恆有，所以只要將正割函數的圖形向右平移單位，即得餘割函數的全部圖形。 餘割函數的特性(1)餘割函數的定義域為x，。(2)餘割函數的週期為(3)餘割函數的值域為或三角形面積任意畫一三角形，並自其中一頂點作對邊的垂線，設垂足為點。（注意：當時，點與點重合，=。）如下圖所示： 為方便起見，我們仍以，和分別表示，和的對邊長，則。因為的面積=，所以就有的面積=，同理可得，把這些結果綜合起來，就有三角形面積公式：由三角形面積公式，我們可以推得正弦定理： 由正弦定理知=，這個比值到底是多少呢？ 我們先做出的外接圓。由於圓內等弧所對的圓周角恆相等，我們讓三個頂點之一，例如點，在圓周上移動，當點移動到點，通過圓心時，=圓的直徑，弧長恰為半圓，故=，因此就有，但在中，而，因此就有。固正弦定理可進一步寫成：餘弦定理餘弦定理中的可以用下面方法導得： （1）當為銳角時，自A點作的垂線，設垂足為點，則， ， 故，在直角三角形中，我們有， 所以= （2）當為鈍角時，同樣自點作的垂線，設垂足為點， 則，故， 在直角三角形中，我們有，所=（3）當為直角，由畢氏定理知，但因，所以 也成立。 同理可證得：，？我們先考慮的情形：作，然後在邊上任取一點，再自點作邊的垂線，設垂足為。 因，所以。另我們自點作的垂線，設垂足為，再自點作的垂線，設垂足為，則。因，故我們來看看是否也能像一樣可以用與，的三角函數值來表示。自點作的垂線，設垂足為，則因四邊形為一矩形，所以，又（同角的餘角相等），故，因此由之得， 故？對於任意角與， ？因對於任意角，恆有，所以我們知道對於任意角與， ？又因對於任意角，所以由可得？由正弦、餘弦函數的和角公式，可導出正切函數的和角公式： 和角公式 由和角公式，我們知道：對於任意角與，。因此，當=時，我們就有。由於，所以。同樣利用正弦、正切函數的和角公式，可進一步推得：二倍角公式 ， 知道的值，利用二倍角公式可求得，以及的值。知道的值，利用二倍角公式亦可求得，以及的值。由於=，所以，因此。另一方面，所以，因此。由，當（為任意奇數時），綜合上述討論：半角公式 (取法視) 讓我們回顧一