高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的几何性质一课件新人教b版选修2_1

第二章2 2椭圆 2 2 2椭圆的几何性质 一 1 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质 并正确地画出它的图形 2 根据几何条件求出曲线方程 并利用曲线的方程研究它的性质 图形 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一椭圆的范围 对称性和顶点坐标 观察椭圆 a b 0 的形状 如图 你能从图中看出它的范围吗 它具有怎样的对称性 椭圆上哪些点比较特殊 答案 1 范围 a x a b y b 2 对称性 椭圆关于x轴 y轴 原点都对称 3 特殊点 顶点A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 思考2 在画椭圆图形时 怎样才能画的更准确些 答案 在画椭圆时 可先画一个矩形 矩形的顶点为 a b a b a b a b 梳理 椭圆的简单几何性质 c 0 0 c a b a b 2a 2b 思考 知识点二椭圆的离心率 如何刻画椭圆的扁圆程度 答案 用离心率刻画扁圆程度 e越接近于0 椭圆越接近于圆 反之 越扁 梳理 1 椭圆的焦距与长轴长的比e 称为椭圆的离心率 2 对于 b越小 对应的椭圆越 反之 e越接近于0 c就越接近于0 从而b越接近于a 这时椭圆越接近于圆 于是 当且仅当a b时 c 0 两焦点重合 图形变成圆 方程变为x2 y2 a2 如图 扁 题型探究 类型一由椭圆方程研究其简单几何性质 解答 例1求椭圆9x2 16y2 144的长轴长 短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 椭圆的长轴长和短轴长分别是2a 8和2b 6 四个顶点坐标分别是 4 0 4 0 0 3 和 0 3 引申探究本例中若把椭圆方程改为 9x2 16y2 1 求其长轴长 短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 解答 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上 再利用a b c之间的关系和定义 求椭圆的基本量 反思与感悟 跟踪训练1求椭圆9x2 y2 81的长轴长 短轴长 焦点坐标 顶点坐标和离心率 长轴长2a 18 短轴长2b 6 解答 类型二椭圆几何性质的简单应用 命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2如图所示 已知椭圆的中心在原点 它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1 B2的连线互相垂直 且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为 求这个椭圆的方程 解答 由椭圆的对称性知 B1F B2F 又B1F B2F B1FB2为等腰直角三角形 反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a b c所应满足的关系式 进而求出a b 在求解时 需注意椭圆的焦点位置 跟踪训练2根据下列条件 求中心在原点 对称轴在坐标轴上的椭圆方程 1 长轴长是短轴长的2倍 且过点 2 6 解答 同样地可求出当焦点在y轴上时 2 焦点在x轴上 一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直 且半焦距为6 解答 用 y 代替方程x3y x2y2 xy3 1中的 y 得 x3y x2y2 xy3 1 它改变了原方程 因此方程x3y x2y2 xy3 1所表示的曲线不关于x轴对称 同理 方程x3y x2y2 xy3 1所表示的曲线也不关于y轴对称 而用 x 代替原方程中的 x 用 y 代替原方程中的 y 得 x 3 y x 2 y 2 x y 3 1 即x3y x2y2 xy3 1 故方程x3y x2y2 xy3 1所表示的曲线关于原点对称 命题角度2对称性问题例3讨论方程x3y x2y2 xy3 1所表示的曲线关于x轴 y轴 原点的对称性 解答 反思与感悟 研究曲线关于x轴 y轴 原点的对称性 只需用 y 代替方程中的 y 用 x 代替方程中的 x 或同时代替 若方程不变 则得到相应的对称性 跟踪训练3曲线x2 2y 1 0的对称轴为A x轴B y轴C 直线y xD 无法确定 保持y不变 以 x 代替方程中的 x 方程不变 故该曲线关于y轴对称 答案 解析 解答 命题角度3最值问题 反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 这就是几何法 解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义 并能借助相应曲线的定义及对称知识求解 2 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数 则可首先建立起目标函数 再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值 常用方法有配方法 判别式法 重要不等式法及函数的单调性法等 跟踪训练4已知点F1 F2是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点P是该椭圆上的一个动点 那么 的最小值是 答案 解析 故选C 类型三椭圆离心率的求解 例5已知椭圆 a b 0 的两个焦点分别为F1 F2 斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A B 与y轴的交点为C 且B为线段CF1的中点 若 k 求椭圆离心率e的取值范围 解答 依题意得F1 c 0 直线l y k x c 则C 0 kc 反思与感悟 求e的取值范围有以下几个步骤 1 切入点 已知 k 求e的取值范围 需建立关于e的不等式 2 思考点 e与k有什么关系 建立e与k的等量关系式 利用B在椭圆上且为CF1的中点 构建关于e与k的等式 如何求e的范围 先用e表示k 再利用 k 求e的取值范围 3 解题流程 先写出l的方程 求出B点的坐标 由点B在椭圆上 建立e与k的关系式 再求e的范围 跟踪训练5已知点P m 4 是椭圆 a b 0 上的一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 若 PF1F2的内切圆的半径为 则此椭圆的离心率为 答案 解析 当堂训练 1 已知椭圆的方程为2x2 3y2 m m 0 则此椭圆的离心率为 答案 解析 1 2 3 4 5 2 与椭圆9x2 4y2 36有相同焦点 且短轴长为2的椭圆的标准方程是 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 若椭圆的对称轴为坐标轴 且长轴长为10 有一个焦点坐标是 3 0 则此椭圆的标准方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 4 已知点 m n 在椭圆8x2 3y2 24上 则2m 4的取值范围是 答案 解析 5 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为 1 2 3 4 5 由题意知椭圆焦点在y轴上 且a 13 b 10 答案 解析 规律与方法 1 可以应用椭圆的定义和方程 把几何问题转化为代数问题 再结合代数知识解题 而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密 因此 涉及线段