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小波分析技术在滤波消噪中的应用研究 目录摘要2ABSTRACT3第一章 导论41.1 小波分析介绍41.2 MATLAB技术介绍6第二章 小波分析与信号处理72.1双正交小波72.1.1 双正交小波的定义72.1.2基于双正交小波的分解和重构82.2 Daubechies小波介绍82.3小波分析应用于信号处理92.3.1概述92.3.2常用信号的小波分析102.3.3信号的特征提取182.3.4信号处理19第三章小波分析与MATLAB233.1一维离散平稳小波分析233.2应用一维小波分析进行信号消噪滤波处理30参考文献32摘要 这是一个信息的时代，信息与人们的生活息息相关信息的一个重要传输介质就是信号，对信号进行实时采样是很重要的环节。但由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特别在小信号采集和测量中，噪声干扰显得尤其严重。因此，如何消除实际信号中的噪声，从混有噪声的信号中提取有用信息一直是信息学科研究的焦点之一。傅里叶变换是一种经典方法，适用于诸多场合。 文章在MATLAB与小波分析技术的前提下，介绍了一些小波分析的知识，以及小波分析在信号处理中的应用，重点介绍了小波分析在滤波消噪中的应用。提供了一些仿真程序还有MATLAB仿真。最后是一个小的小波分析的研究。关键词：小波分析，MATLAB,信号去噪，DB小波。ABSTRACTThis is an era of information, information and peoples life of information transmission medium is an important signal for real-time signal sampling, is an important link. But because of signal transmission in motivation, and process, the possible different degrees of random noise pollution, especially in small signal acquisition and measurement, the noise is especially serious. Therefore, how to eliminate the noise, the signal from the noise signal mixed with extract useful information has been the focus of research subjects of information. A Fourier transform is a classical method, suitable for various occasions.Based on the MATLAB wavelet analysis technique with the premise, and introduces some knowledge of wavelet analysis and wavelet analysis in signal processing, this paper introduces the application of wavelet analysis in filtering de-noising application. Provides some simulation program and MATLAB simulation. Finally, a small study of wavelet analysis.Keywords: wavelet denoising MATLAB, and DB wavelet.第一章 导论1.1 小波分析介绍 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十进（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间尺度分析和多分辨的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。(1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。1.2 MATLAB技术介绍MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB在数学类科技应用软件中在数学计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。其具有以下特点: (1)友好的工作平台和编程环境 （2）简单易用的程序语言,强大的科学计算机数据处理能力 (3)出色的图形处理功能 应用广泛的模块集合工具箱 (4)实用的程序接口和发布平台）应用软件开发（包括用户界面）。 第二章 小波分析与信号处理 由于小波分析基础知识比较多，这里就不做明确解读。我们这里只介绍下我们本章和下章需要用到的基本知识。本章主要内容是： 1 双正交小波定义及其性质 2 Daubechies小波介绍 3 小波分析应用于信号处理2.1双正交小波 2.1.1 双正交小波的定义 22.1.2基于双正交小波的分解和重构 这就是说在正交小波情况下，信号的分解与重构采用不同的基。由于对偶关系式对等的，因而原则上，用函数负基序列做分解基，而用正基做重构基也是不行的，但从应用观点看，由于重构信号的平滑性主要取决于重构基的平滑性，因为如果平滑性是重要的，那么在两组函数中应选用比较平滑的一组做重构基，而另一组做分解基。下面用图来表示下正交小波的分解和重构。 图2-1 了解了双正交小波的性质，我们下面简单介绍下Daubechies小波。以后的研究会多次涉及到此波。2.2 Daubechies小波介绍 Daubechies小波是由世界著名的小波分析学者Ingrid Daubechies构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数和尺度函数中的支撑区为2N1，小波函数的消失矩为N。除N=1外，dbN不具有对称性（即非线性相位）。dbN没有明确的表达式（除了N=1外，即哈尔小波）。 Daubechies小波具有以下特点：（1）在时域上是有限支撑的，即小波函数长度有限，且N值越大，小波函数的长度就越长（2）在频域上小波函数在0频率点处有N阶零点（3）小波函数和它的整数位移正交归一（4）小波函数可以由尺度函数求出以下是dbn小波的波形，如下： 图2-22.3小波分析应用于信号处理2.3.1概述 众所周知，在信号处理领域中有着许多的方法和工具，其中最为常用的就是傅里叶变换。显然其能将信号的时域和频域特征联系起来，且能分别从信号的时域和频域中对其进行观察，但是它却不能将二者有机结合起来这主要是因为在信号的时域波形中不包含其频域信息，而信号的傅里叶谱是信号的统计特性，它是整个时间域内的积分，它不具有局部化分析信息的功能，后来所发展的短时傅里叶变换，其基本思想史：把信号划分成许多小的时间间隔，再用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定时间间隔内所包含的信号频率。短时傅里叶变换用来分析平稳信号时，其效果尚可。对于非平稳信号，在波形变化比较平稳时，其主频是低频，此时则要求要高的频率分辨率：而在波形变化比较剧烈时，其主频是高频，此时则要求有较高的时间分辨率。但是短时傅里叶是一个窗口固定分析方法。因此在这种非平稳信号的情况下，其不可能兼顾上述两方面的要求，暴露出它的不足。小波变换是一种窗口大小不变但形状可变，即时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，即在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，因此小波分析被誉为数学显微镜，正式这种特性，使它具有对信号的自适应性，因为越来越广泛地被应用于工程实际。由于小波变换本质上是一个范围可变的窗口方法，它可以用较长的时间间隔来获取更精确地低频信息，用较短的时间间隔来获取高频信息，又由于小波分析具有局部分析和细化的功能，所以小波分析可以揭示其他信号分析方法所丢失的数据信息，而且与传统的信号分析技术相比，小波分析还能再没有明显随时的情况下，对信号进行消噪和压缩。由于小波的滤波去噪应用十分广泛，毕竟我学有止境，也由于时间的关系重点研究在小波对信号的滤波消噪应用。2.3.2常用信号的小波分析以下会介绍一些常用信号的小波分析然后处理并附图 。 这个信号是由周期大约为200,20和2且幅值为1的三种正弦波叠加而成，其采样周期为1。在此，用用db3小波对其进行5层分解，所得到的结果如图1所示。可以从图中看出，细节d1显示了周期最小的正弦波，细节d4显示了周期为20的正弦波，而周期为200的正弦波则出现在近似a4中。之所以有这样的结果，是因为利用小波对信号分解时，它将信号分解为低频部分和高频部分。在图中，也表示出了小波分解可得到的其他结果，如近似a3和a4之间出现了不连续。利用小波分析，可以对类似的叠加信号进行一下几个方面的研究： a间断点检测 b波形未来发展趋势的检测 c各分信号的频率识别 d信号从近似到细节的迁移 图2-3(2) 分段信号： 该信号时由周期大约为2的较快正弦波和周期为20的较慢正弦波一连续的方式连接未成，如图2-4所示。 图2-4在此，利用db5小波对该信号进行5层分解。很明显，在细节d1和d2中清晰地显示出了该信号的频率间断，但是如果应用FT检测的话，不能够辨别出这个信号频率的顺便，在近似a4和a5中，较慢的正弦波被分离出来小波分析对该信号的有效处理有以下两方面a信号抑制b信号未来发展趋势的检测 (3)对称区间上的均匀白噪声： b1(t) t属于-0.5,0.5所有噪声信号，一般都不是不规则的对于该类信号的处理，传统的方法较为繁琐，这里应用db3小波对居于白噪声信号5层分解，其结果如图2-5所示。在途中近似和细节的各层上，都能发现噪声信号，且表现出的信息业师部规则的，我们自信观察途中左列的各层近似和有列的各层心结，讲会发现噪声信号的不一致性在两个相邻层之间按照倍数关系递减，还应该清楚，近似和细节信号不是白噪声，而且这些信号之间的相依性会随着分解的递减而增加。另一方面，小波系数是随机的，不相关的变量。 图2-5图2-6中给出了有色噪声的小波分析结果，由于非白噪声的频谱主要集中在较高的频率部分，因此，这种噪声信号一般可在小波分解的细节d1中分辨小波分析在处理噪声喜好时的有效范围为： a噪声处理 b相关性与分歧的分析 c细节中所包好频率与近似中所包含频率的比较 d不同细节在信号处理中的相对重要性 e在连续分析下，便是有色噪声的错乱 图2-6 （4）噪声的多项式信号： 在图5中的信号s是由一个二阶多项式和一个白噪声叠加而成的，分别应用db2和db3小波对该信号进行4层分解，所得到结果如图2-7所示： 图2-7 由于在这种信号情况下，小波分解的近似和信号本身的差别特别小，在此不予列出，对小波有兴趣的人可以通过MATLAB自行查验。由于db2小波随着分解层级的增加，其正则性增加的原因，它抑制了该多项式信号的零阶和一阶部分，而仅对该信号的二阶部分及噪声进行了分解，因此，我们发现图的左列部分，出了细节d1中包含了该染噪信号的不规则性，其余各层细节中的信号周期性随着层级的增加而增大。相反地，由于db3小波正则性较差，所以它抑制了该信号的多项式部分，而析出了它的噪声部分。应用小波分析可以较好的对该类信号进行抑制。(5) 阶跃信号： 应用小波对这个信号进行分析，是一个利用小波进行信号突变检测最简单的实例。 如图2-8所示，在小波分解的各个近似与细节层上都显示出了阶跃变化的时刻。 小波分析对阶跃信号的有效方面： a间断点的检测 b信号抑制 c信号未来发展趋势的检测 d辨识细节和近似的变化范围 图2-8 (6)染噪的斜坡信号： 如图2-9所示，信号s是一个被白噪声污染了的斜坡信号。利用db3小波对该信号进行6层分解，图的左列显示了小波分解的近似。可以看出，随着噪声的减少，斜坡的近似形式越来越精确。在第6层近似上已经显示了对斜波的较好重构。另外，虽然噪声影响了所有适度上的分析结果，但是也能够较好地从染噪信号中分离出有用的斜坡信号。这是由于在较低层上的近似，是得噪声的影响能足够快地减小。 图2-9图2-10给出了被有色噪声污染了的斜坡信号的小波分析结果。小波分析对该类信号有效地分析领域有：a间断点的检测b噪声处理c信号未来发展趋势的检测d分离信号组分e辨识信号的近似与噪声f信号抑制 图2-10 （7） 染噪的正弦信号： s(t)=sin(0.03t)+b(t) 该信号是由一个正弦信号和白噪声信号叠加而成，如图2-11所示，应用db5对其进行5层分解。在这里，很好地体现了小波分解的线性特性。两个信号之和的分析等于两个信号分析的和，即相应的细节部分在白噪声的分解部分被表示出来了。 图2-11 （8）三角波与正弦波的线性信号： 这里应用db5小波对一个由三角波和正弦波合成的信号进行小波分析，如图2-12所示。在图10的左列，近似a6清晰地显示出三角波的形状，在右列，细节d1和d2是非常小的，表明了再信号中没有包括哪些相对于采样周期非常短的周期，细节d3特别是d4表示出了正弦波，细节d6则表示了边沿效应。小波分析对该信号有效地分析范围有：a信号未来发展趋势的检测b分离信号组合c辨识周期性信号的频率 图2-12在此，仅对一些常用信号的某类小波分析做出了一定的分析。2.3.3信号的特征提取 在进行信号的分析时，如何提取信号是一个关键的技术难点，信号的突变点王畹是它的重要特征。除此之外，信号的频率普和它的幅值等表征了信号的许多信息。因此，在进行信号特征提取的研究中，信号的连续性(即信号的奇异性）分析、信号的频率谱和幅值分析等内容是不可或缺的。 应用小波分析进行信号特征提取时，主要有两种处理方法，即边界的处理和滤波。小波分析中，对外界的处理使用了延拓的方法，如对称延拓、周期延拓。从理论上来说，对于有限区间a,b上的数据，应构造中的尺度函数与小波，从而得到上的小波基，这是的小波基往往带有边界条件。 在信号分析中，当对信号进行采样后，就得到在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波分解。其实质就是把采到的信号分成两个信号，即高频部分和低频部分，而低频部分通常包含了信号的主要信息。根据分析的需要，可以继续对所得到的低频部分进行分解，如此又得到了更低频部分的信号和频率相对较高部分的信号。当然，也可以对高频部分进行分解，不过这里用于分解的工具是小波包而已。这即是二进多尺度小波分解方法，这种方法把一个混频信号分解为若千个互不重叠的频带中的信号，这样就可以完成滤波或检测的工作，达到了提取信号特征的目的。2.3.4信号处理 (1)信号的奇异性检测信号中不规则的突变部分和奇异点往往包含有比较重要的信息，它是信号重要特征之一，在故障诊断中，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图心电图中的异常，以及地下目标的位置和形状等，都对应于测试信号的突变点，因而对突变点的检测在故障诊断中有着非常重要的意义。长期以来，傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具。但是傅里叶变换缺乏空间局部性，它只能确定一个函数奇异性的整体性质，而难以确定奇异点在空间的位置和分布情况。小波分析具有空间局部化性质，因此，利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异性的位置和奇异度的大小比较有效地。这里有必要一如小波变换模极大值（或过零）点同信号突变点之间的关系。首先我们简单地介绍一下模极大值和一些相关的概念。模极大值： 在某一尺度下，如果存在一点使得，则对称点是局部极值点，且在上有一个模极大值（过零）点。如果对的某一邻域内的人一点y，有，则称为小波变换模极大值点。尺度空间中所有的模极大值点的连续陈伟模极大值线。关于模极大值与信号的突变点有下面的论述。 设n为一个严格的整数，为具有n阶消失矩，n次连续可微和紧支集的小波，为某一实数区间），若存在尺度，使得。没有局部极大值点，则在区间上是一致Lipschitz(为任意小的正数）。一般来讲，函数在某一点的Lipschitz指数表征了改点的奇异性大小，越大，改点的光滑度越高；越小，改点的奇异性越大。我们知道，当小波函数可看做某一平滑函数的一阶导数时，信号小波变换模的局部极值点对应于信号的突变点（或边缘）：当小波函数可看做某一平滑函数的二阶导数时，信号小波变换的过零点，也对应于信号的突变点（或边缘）。因此，采用检测小波变换系数模的过零点和局部极值点的方法可以检测信号的边缘位置。比较来说，用局部极值点进行检测更具优越性。通常情况下，信号的奇异性可分为两种情况：一种是信号在某一时刻，起幅值发生突变，一起信号的不连续，信号的突变出是第一种类型的间断点；另一种是信号外观上很光滑，其幅值没有突变，但是信号的一阶微分上有突变产生，且一阶微分是不连续的。称此为第二种类型间断点。(2) 信号自相似性的检测在进行分析之前，先介绍一下小波系数与自相似性的关系。直观上说，小波分解可通过进算信号和小波之间的“自相似指数”得到。这里的自相似指数也就是小波系数，如果自相似指数大，则信号的自相似程度就高，反之依然。如果一个信号在不同的尺度上都相似于它本身，那么，其“自相似指数”，或者小波系数在不同的尺度上也是相似的。因此，通过例子来说明小波分析是如何检测信号的自相似性的。【例】利用小波分析来检测一个给定信号的自相似性，这里所用信号为一个经过反复迭代生成的合成信号。 load vonkoch; s=vonkoch; subplot(2,1,1); plot(s); title(原始信号); subplot(2,1,2); f=cwt(s,2:2:128,coif3,plot); title(小波分解自相似指数图); Xlabel(时间）； Ylabel(变换尺度); 由于信号的自相似性也是信号分形特征，所以这里我顺便提到下。在网上搜索该项资料表明，采用小波分解，可以很好地研究信号的分形特征。经过专业人士的的实践表明，小波分析工具非常实用与分形的实际研究和分形的生成。(3)信号发展趋势识别通常一些染噪信号的发展趋势是难以分辨的，由于噪声的污染，对我们有用的信号的发展趋势在时域中看不出来，但是，通过小波分解，可以去除干扰信号，成功滤波去噪，得到纯净的源信号。小波分析就是将信号频率中相对较高频率去掉以达到提取和重构的目的。但是，有一点需要注意，如果信号中包含很大突变，显示出的信号会和原始信号有很大差别，因为突变被当做相对高频给滤掉了。 (4)信号抑制和衰减 这里首先引入一个概念。 单的叙述就是，如果（是小波函数）（k取非负整数）的平均值为0，那么该小波有n+1个消失矩，并且可以利用该小波对n次多项式信号进行抑制。 利用小波分析进行信号抑制是小波分析应用于实际的重要方面之一，具体方法是用K次多项式逼近一个信号。所以对信号的多项式幅值的一致是对信号抑制的重中之重。由于小波具有过零点这个数学特征，过零点简单说就是一种平均值的外延。如果一个小波平均值为零，那么它至少存在一个过零点。 如果小波函数是一个至少具有n+1个过零点且信号s是一个k次多项式，那么这种小波函数就可以自动的抑制多项式信号，此时的信号s次数可随时间变化，但是不能大于非负整数k。由于能力上的问题，一些知识不能理解，如果有不明白的地方，还请谅解。下面我们重点来看一下信号的消噪与提取弱信号。 (5)信号消噪与提取弱信号 这里要讲到研究的重点了，这里我研究还算详细。下面阐述下小波分析对信号消噪的基本原理。 我们知道，一个含早的一位信号模型可表示为如下形式： 其中，s（k）为含噪信号，f（k）为有用信号，e（k）为噪声信号。这里我们认为e（k）是一个非常简单的变现为高频信号的噪声，f（k）为低频信号或是一些平稳信号。因此我们可按如下方法进行消噪处理：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号包含在具有较高频率的细节中，从而我们可以利用门限阀值等形式对所分解的小波系数进行处理，然后对信号进行重构以达到滤波消噪的目的。对信号滤波消噪实际上是抑制信号的无用部分，恢复信号有用部分（即低频部分). 一般地，信号消噪的过程可分为如下3个步骤： a信号的小波分解，选择一个小波并确定分解层次，然后进行分解计算; b小波分解高频系数的阀值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阀值进行量化处理。 c 小波重构。根据小波分解的最底层低频系数和各高频系数进行小波重构。 噪声分解了会是什么样？下面我们来说明一下。 总体上，对于一维离散信号来说，其高频部分所影响的是小波分解的第一层细节，其低频部分所影响的是小波分解的最深层和低频层，如果对一个仅有白噪声所组成的信号进行分析，可得出：高频系数的幅值随着分解层次的增减而迅速衰减，且其方差也有同样的变化趋势。在这里用表示对噪声用小波分解后的系数，其中，j表示尺度，k表示时间，对离散时间信号引入如下的属性：a如果所分析的信号s是一个平稳、零均值的白噪声，那么它的小波分解系数是相互独立的。b如果信号s是一个高斯型噪声，那么其小波分解系数是互不相关的，且服从高斯分布。c如果信号s是一个平稳、有色、零均值的高斯噪声序列，那么它的小波分解系数也是高斯序列。并且对每一个分解尺度j，其相应的系数是一个平稳、有色的序列。如果选择对分解系数具有解相关性的小波是一个很困难的问题，目前也没得到很好解决。 第三章小波分析与MATLAB 前一章我们介绍了小波分析在信号处理的一些应用，那么这章我们来介绍下在MATLAB辅助下的小波分析的方法和技巧。这章主要用一个事例来说明。这章我们还会用到dbn波。本章主要内容是：1一位离散平稳小波分析2应用一维小波分析对信号进行滤波消噪处理3.1一维离散平稳小波分析 由于二维小波主要用于图像的处理，这里我们用一维小波的例子来说明。例子如图3-1，例波： 图3-1 (1)装载信号 在MATLAB命令窗口中输入： load noisdopp; s=noisdopp; (2)完成信号的但尺度一维离散平稳小波分解 采用db1基本小波来分解信号： swa,swd=swt(s,1,db1); 这就产生了低频系数swa和高频系数swd,他们和原始信号具有相同的长度： whos Name size Bytes Class Noisdopp 11024 8192 double array s 11024 8192 double array swa 11024 8192 double array swd 11024 8192 double array这里对单尺度一维离散平稳小波变换函数swt做一介绍。其格式为： a b c d 说明：其中X为被分析的离散信号，wname为分解所用到的小波函数，Lo_D、Hi_D为分解滤波器。格式1,2中SWC返回变换后的系数向量SWG(i，；）,包含了第i层的高频系数，SWC(N+1,;)包含了第N层的低频系数。格式3， 4中SWA和SWD分别返回平稳小波变换的系数。(3)显示低频和高频部分 为了显示第一层分解结果，键入： subplot（1,2,1），plot（swa）； title（Approximantion cfs) subplot(1,2,1),plot(swd); title(Detail cfs) 结果如图3-2： 图3-2 (4) 由平稳小波逆变换重构信号 键入命令： A0=iswt(swa,swd,db1); 查看重构误差： err=norm(s-A0) err= 2.1450e-014 其中iswt为单尺度一维离散小波逆变换函数。格式为： 说明：对格式1、3它是用小波函数进行重构，对于格式2,4， 是用重构滤波器进行重构。Lo_R和Hi_R的长度是相等的。X为重构后信号的向量。 (5)从系数构建低频和高频部分为了从系数swa和swd中构建第一层的低频和高频部分，键入： nulcfs=ze(os(size(swa); A1=iswt(swa,nulcfs,db1); D1=iswt(nulcfs,swd,db1); (6) 显示低频和高频部分为了显示上面的重构结果，键入 subplot(1,2,1),plot(A1); title(ApproximationA1); subplot(1,2,2),plot(D1); Title(Detail D1);结果如图3-3：图3-3 (7) 多层平稳小波分解为了完成一个三尺度的分解（仍用db1),键入： swa,swd=swt(s,3,db1);观察swa和swd的结构： clear A0 A1 D1 err nlcfs whos Name size Bytes Class Noisdopp 11024 8192 double array s 11024 8192 double array swa 31024 24576 double array swd 31024 24576 double array (8) 显示低频和高频系数 kp=0; for i=1：3 subplot(3,2,kp+1),plot(swa(i,：); title(Approx,cfs level,num2str(i) subplot(3,2,kp+2),plot(swd(i,:); title(Detail cfs level;,num2str(i) kp=kp+2; end结果如图3-4 图3-4 (9) 从系数重构第3层的低频信号键入： mzero=zeros(size(swd); A=mzero; A(3,;)=iswt(swa,mzero,db1);(10) 重构第1、2、3层的高频信号键入： D=mzero; for i=1;3 swcfs=mzero; swcfs(i,;)=swd(i,;); D(i,;)=iswt(mzero,swcfs,db1); end(11) 从第3层的低频部分和第2、3层的高频部分重构1、2层的低频部分键入： A(2,;)=A(3,;)+D(3,;); A(1,;)=A(2,;)+D(2,;);(12)阀值去噪为了去除信号中的噪声，我们用ddencmp来计算一下默认的全局阀值，用wthresh来对高频系数进行阀值处理，然后用函数iswt来获得消除噪声后的信号： thr,sorh=ddencmp(den,wv,s); dswd=wthresh(swd,sorh,thr); clear=iswt(swa,dswd,db1);显示原始信号和去除了噪声的信号，如图3-5： subplot(2,1,1),plot(s); title(Original signal) subplot(2,1,2),plot(clean);title（De-noised signal) l 图3-5从上图可以看出，去除噪声的信号仍然有一定噪声，这可通过将原来的三层次分解改为五层次的分解重复上面步骤，所得结果如图3-6。图3-6对函数swt和iswt还有和上面不容的格式来完成相容的功能： Lev=5; swc=swt(s,lev,db1); swcden=swc; swcden(1;end-1,;)=wthresh(swcden(1;end-1,;),sorh,thr); clean=iswt(swcden,db1);用上面步骤中的命令得到同上图所以一样的结果。3.2应用一维小波分析进行信号消噪滤波处理这是我所写论文的最后一节，这里我们对简单的一维小波分析进行信号滤波消噪处理做一次研究。首先介绍两个非常有用的函数wden和wdencmp。信号消噪的主要函数wden的最简单