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一、定义描述（8）1、群：设G是一个非空集合， 是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算 做成一个群。2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果： （1）R对加法作成一个加群； （2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。4、极大理想：设N是环R的一个理想，且NR .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F x 都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K 0到非负整数集的映射存在； （2）这个对K中任意元素a及b0，在K中 有元素q，r使a=bq + r，r=0或（r）（b），则称R关于作成一个欧氏环。-7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果abP = aP或bP，其中a，bR，则称P是R的一个素理想。显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想 0是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。8、主理想：设R是一个环，任取aR，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为 .9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有 rR，aN = raN，则称N是环R的一个左理想；如果 rR，aN = arN，则称N是环R的一个右理想；如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用符号N R表示。否则记为N R .10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为G/N .11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F x都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z x不是一个主理想整环。二、填空（30）1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，方程ax=b , ya=b在G中都有解。4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是： （1）a，bH = abH ; （2）aH = a-1H.5、设H,k是群G的两个子群，则HKG HK=KH.6、整数加群Z是无限循环群。7、无限循环群有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有（n）个生成元，其中（n）为Euler函数。例如，4、5、6阶循环群分别有（4）=2 ，（5）=4 ，（6）=2 个生成元。8、设是任意一个循环群。 （1）若|a|=，则与整数加群Z同构； （2）若|a|=n，则与n次单位根群Un 同构。9、循环群的子群仍为循环群。10、不相连循环相乘时可以交换。11、k循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。12、（J.L.Lagrange，17361813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。14、左陪集的重要性质 （1）aaH . （2）aH aH=H . （3）baH aH=bH . （4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中 a-1bH（或b-1aH）。 （5）若aHbH，则aH=bH .对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。15、循环群的商群也是循环群。16、（第一同构定理）设是群G到G的一个同态满射，又Ker N G，N=（N）， 则G/N G/N .17、（第二同构定理）设G是群，又HG，N G .则HN H，并且HN/NH/(HN) .18、（第三同构定理）设G是群，又N G，HG/N .则 （1）存在G的惟一子群H N，且H=H/N ； （2）又当H G/N时，有惟一的H G使H=H/N且G/HG/NH/N .19、设G是一个群，aG，则（1）a：x axa-1 （xG）是G的一个自同构，称为G的一个内自同构；（2）G的全体内自同构作成一个群，称为群G的内自同构群，记为Inn G；（3）Inn G Aut G .20、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：a，bS = a - bS ， a，bS = abS .21、如果p是素数，则环Zp是一个域；如果n是合数，则环Zn有零因子，从而不是域。22、（环同态基本定理）设R与R是两个环，且R R . 则（1）这个同态核N，即零元的全体逆象，是R的一个理想；（2）R/N R23、设P是交换环R的一个理想。则P是R的素理想的充分与必要条件是，商环R/P无零因子，即为整环。24、整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想。25、整环K中的元素一定是不可约元。26、设K是任意一个惟一分解整环。则p是K的元素当且仅当p是K的不可约元。27、设K是有单位元的整环。如果（1）K中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；（2）K中的不可约元都是素元；则K是一个惟一分解整环。28、Gauss整环Z i是主理想整环。29、整数环Z是欧氏环。30、域F上多项式环F x是一个欧氏环。31、欧氏环必是主理想环，因而是惟一分解整环。（反之不成立）32、主理想整环是惟一分解整环。（反之不成立）33、群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G里的指数，记（G：H）.34、设pK .p0，且p不是单位。如果p|ab就必有p|a或p|b，则称p是K的一个元素。35、同态：反身、传递 （不满足对称） ； 同构：反身、传递、对称。例一、设=（14）（235），=（153）（24）. 求-1 =？ 解：由定理可知： -1 = （1）（5）（3）（2）（4） = （425）（24）.例二、证明：K=（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23） 作成交代群A4 的一个交换子群。这个群（以及与其同构的群）称为Klein（C.L.Klein，1849-1925）四元群。证 显然K4 中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2，而且其中任二个相乘等于第三个，即K4 对置换的乘法封闭。从而K4 是A4的一个子群，且显然是一个交换子群。 （证毕）例三、证明：Z i=a + bi|a，bZ 作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss整环），并 且其单位群是1，i . 证 Z i 作成有单位元的整环显然。又显然1，i均为其单位。下证：Z i 没有别 的单位。 设=a + bi 是Z i的任一单位，则有 Z i 使 =1，|2|2 =1 . 这只有|2 =a2 + b2=1，从而只有a=1，b=0；或a=0，b=1 . 即只能是1及i . 因此，1和i是环Z i 的全部单位。故 U（Z i ）=1，i .例四、在模8剩余类环Z8 中 ，令= 0 , 4 ，=0 , 2 ,4 , 6 ，则不是Z8的素理想 （因为22=4，但是2），也不是Z8的极大理想（因为 Z8）. 但是，易知既是Z8的素理想也是Z8的极大理想。例五、设G= 为6阶循环群。给出G的一切生成元和G的所有子群。 解： a，a5 ； （6）=2 .例六、试求下列各置换的阶：1=（1378）（24）；【4】 2=（1372）（234）；【6】 3= 1 2 3 4 5 6 6 4 1 5 2 3 ；【3】 4= 1 2 3 4 5 6 7 5 7 6 3 1 4 2 ；【6】例七、设=（327）（26）（14），=（134）（57）. 则 -1 = （13）（2654） ； -1 =（265）（34） . 三、判断（10）1、在环R中，当a不是左零因子时，则 ab =ac ，a0 = b=c ； （1） 当a不是右零因子时，则 ba= ca ，a0 = b=c . （2）2、无零因子的交换环称为整环