第26讲 平移.docx

第二十六讲 平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、 轴对称与轴对称图形： 1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形 那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫 2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：关于某条直线对称的两个图形 对应点连接被对称轴 【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 个具有特殊形状的图形；2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转： 1、平移：定义：在平面内，把某个图形沿着某个 移动一定的 这样的图形运动称为平移性质：、平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形 、平移前后的图形对应点所连的线段平行且 【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】2、旋转：定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角旋转的性质：、旋转前后的图形 、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都 ，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都 【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做 2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做 3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分【名师提醒：1、中心对称是指 个图形的位置关系，而中心对称图形是指 个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称有 、 、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等3、所有的正n边形都是 对称图形，且有 条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是 对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】 考点一：轴对称图形例1 （株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）A等边三角形B矩形C菱形D正方形例2 （遵义）已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则ab的值为 25点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律例3 （重庆）作图题：（不要求写作法）如图，ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-4，5），C（-5，2）（1）作ABC关于直线l：x=-1对称的A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标对应训练1（2013山西）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A1条B2条C4条D8条2（2013铜仁地区）点P（2，-1）关于x轴对称的点P的坐标是 （2，1）3（2013郴州）在图示的方格纸中（1）作出ABC关于MN对称的图形A1B1C1；（2）说明A2B2C2是由A1B1C1经过怎样的平移得到的？考点二：中心对称图形例4 （2013永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）ABCD思路分析：先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；故选B点评：本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合例5 （深圳）在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）A33B-33C-7D7思路分析：先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a与b的值，再代入计算即可解：点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，a=-13，b=20，a+b=-13+20=7故选D点评：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数对应训练4（营口）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD5（常州）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是 （-3，2），点P关于原点O的对称点P2的坐标是 （-3，-2）考点三：最短路线问题例6 （2013资阳）如图，在RtABC中，C=90，B=60，点D是BC边上的点，CD=1，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是 思路分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，先求出BC和BE长，代入求出即可解：连接CE，交AD于M，沿AD折叠C和E重合，ACD=AED=90，AC=AE，CAD=EAD，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，DEA=90，DEB=90，B=60，DE=1，BE=，BD=，即BC=1+，ACB=90，B=60，CAB=30，AB=2BC=2（1+）=2+，AC=BC=+2，BE=AB-AE=2+-（+2）=，PEB的周长的最小值是BC+BE=1+=1+，故答案为：1+点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中对应训练6（2013钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 10考点四：平移例7 （2013绵阳）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是 （3，3）例8 （宜宾）如图，将面积为5的ABC沿BC方向平移至DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为 15思路分析：设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可得解解：设点A到BC的距离为h，则SABC=BCh=5，平移的距离是BC的长的2倍，AD=2BC，CE=BC，四边形ACED的面积=（AD+CE）h=（2BC+BC）h=3BCh=35=15故答案为：15点评：本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质对应训练7（贵阳）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若1=50，则2的度数是（）A40B50C90D1308（陕西）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，1）、B（1，3），将线段AB通过平移后得到线段AB，若点A的对应点为A（3，2），则点B的对应点B的坐标是 （6，4）考点五：旋转的性质例9 （2013南京）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD的位置，旋转角为（090），若1=110，则= 20思路分析：根据矩形的性质得B=D=BAD=90，根据旋转的性质得D=D=90，4=，利用对顶角相等得到1=2=110，再根据四边形的内角和为360可计算出3=70，然后利用互余即可得到的度数解：如图，四边形ABCD为矩形，B=D=BAD=90，矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形ABCD，D=D=90，4=，1=2=110，3=360-90-90-110=70，4=90-70=20，=20故答案为20点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了矩形的性质例10 （益阳）如图1，在ABC中，A=36，AB=AC，ABC的平分线BE交AC于E（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角（0144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CE=BF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CEAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由思路分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：EAC=FAB，AE=AF，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，当点E的像E与点N重合时，求出即可解答：（1）证明：AB=BC，A=36，ABC=C=72，又BE平分ABC，ABE=CBE=36，BEC=180-C-CBE=72，ABE=A，BEC=C，AE=BE，BE=BC，AE=BC（2）证明：AC=AB且EFBC，AE=AF；由旋转的性质可知：EAC=FAB，AE=AF，在CAE和BAF中，CAEBAF，CE=BF（3）存在CEAB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点， 如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，BAM=ABC=72，又BAC=36，=CAM=36当点E的像E与点N重合时，由ABl得，AMN=BAM=72，AM=AN，ANM=AMN=72，MAN=180-272=36，=CAN=CAM+MAN=72所以，当旋转角为36或72时，CEAB点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键对应训练9（铁岭）如图，在ABC中，AB=2，BC=3.6，B=60，将ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.610（扬州）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90至CE位置，连接AE（1）求证：ABAE；（2）若BC2=ADAB，求证：四边形ADCE为正方形10证明：（1）ACB=90，AC=BC，B=BAC=45，线段CD绕点C顺时针旋转90至CE位置，DCE=90，CD=CE，ACB=90，ACB-ACD=DCE-ACD，即BCD=ACE，在BCD和ACE中，BCDACE，B=CAE=45，BAE=45+45=90，ABAE；（2）BC2=ADAB，而BC=AC，AC2=ADAB，DAC=CAB，DACCAB，CDA=BCA=90，而DAE=90，DCE=90，四边形ADCE为矩形，CD=CE，四边形ADCE为正方形考点六：图形的折叠例11 （河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为 或3思路分析：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，所以点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，如图，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得x=，BE=；当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故答案为：或3点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解对应训练11（上海）如图，在ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 解：过点A作AQBC于点Q，AB=AC，BC=8，tanC=，=，QC=BQ=4，AQ=6，将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B点作BEBC于点E，BE=AQ=3，=，EC=2，设BD=x，则BD=x，DE=8-x-2=6-x，x2=（6-x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：故答案为：考点七：简单的图形变换的应用例12 （眉山）如图，在1111的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC关于直线l对称的A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）作出ABC绕点C顺时针方向旋转90后得到的A2B2C；（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长（结果保留）思路分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90后的A2、B2的位置，然后顺次连接即可；（3）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据弧长公式列式计算即可得解解：（1）A1B1C1如图所示；（2）A2B2C如图所示；（3）根据勾股定理，BC=，所以，点B旋转到B2所经过的路径的长=点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键对应训练12（绥化）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将ABC向右平移3个单位后得到的A1B1C1，再画出将A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90后所得到的A2B1C2；（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长12解：（1）如图所示：（2）点C1所经过的路径长为：=2考点八：几何变换综合题例13 （2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由（1）思路梳理AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线根据 SAS，易证AFG AEF，得EF=BE+DF（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系 B+D=180时，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程思路分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，再证明AFGAEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）B+D=180时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，根据旋转的性质，可知AECABE得到BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，根据RtABC中的，AB=AC得到EBD=90，所以EB2+BD2=ED2，证AEDAED，利用DE=DE得到DE2=BD2+EC2；解：（1）AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线，在AFG和AEF中，AFGAEF（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（2）B+D=180时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC+B=180，FDG=180，点F、D、G共线，在AFG和AEF中，AFGAEF（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，AECABE，BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，在RtABC中，AB=AC，ABC=ACB=45，ABC+ABE=90，即EBD=90，EB2+BD2=ED2，又DAE=45，BAD+EAC=45，EAB+BAD=45，即EAD=45，在AED和AED中，AEDAED（SAS），DE=DE，DE2=BD2+EC2点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明AFGAEF此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫对应训练13（义乌）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换如图ABC，DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（2，0），F（，-）（1）他们将ABC绕C点按顺时针方向旋转45得到A1B1C1请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；（2）他们将ABC绕原点按顺时针方向旋转45，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2x2+bx+c上，请你求出符合条件的抛物线解析式；（3）他们继续探究，发现将ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标13解：（1）A1（2-，1+），B1（2+，1+）A1C和DF的位置关系是平行（2）ABC绕原点按顺时针方向旋转45后的三角形即为DEF，当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：，解得。y=2x2-12x+8；当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：，解得。y=2x2-11x+7；当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：，解得。y=2x2-13x+10（3）在旋转过程中，可能有以下情形：顺时针旋转45，点A、B落在抛物线上，如答图1所示：易求得点P坐标为（0，）；顺时针旋转45，点B、C落在抛物线上，如答图2所示：设点B，C的横坐标分别为x1，x2易知此时BC与一、三象限角平分线平行，设直线BC的解析式为y=x+b，联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即x2-x-b=0，x1+x2=1，x1x2=-bBC=1，根据题意易得：|x1-x2|=，（x1-x2）2=，即（x1+x2）2-4x1x2=，1+4b=，解得b=-x2-x+=0，解得x=或x=点C的横坐标较小，x=当x=时，y=x2=，P（，）；顺时针旋转45，点C、A落在抛物线上，如答图3所示：设点C，A的横坐标分别为x1，x2易知此时CA与二、四象限角平分线平行，设直线CA的解析式为y=-x+b，联立y=x2与y=-x+b得：x2=-x+b，即x2+x-b=0，x1+x2=-1，x1x2=-bCA=1，根据题意易得：|x1-x2|=，（x1-x2）2=，即（x1+x2）2-4x1x2=1+4b=，解得b=-x2+x+=0，解得x=或x=点C的横坐标较大，x=当x=时，y=x2=，P（，）；逆时针旋转45，点A、B落在抛物线上因为逆时针旋转45后，直线AB与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；逆时针旋转45，点B、C落在抛物线上，如答图4所示：与同理，可求得：P（，）；逆时针旋转45，点C、A落在抛物线上，如答图5所示：与同理，可求得：P（，）综上所述，点P的坐标为：（0，），（，），（，），（，）【聚焦山东中考1（日照）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）ABCD2（泰安）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（）A13B11C10D83（烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）ABCD4（青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）ABCD4D5（潍坊）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD5A6（莱芜）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）等边三角形；矩形；等腰梯形；菱形；正八边形；圆A2B3C4D57（济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）ABCD8（烟台）如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A的坐标是（）A（6，1）B（0，1）C（0，-3）D（6，-3）9（泰安）在如图所示的单位正方形网格中，ABC经过平移后得到A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A（1.4，-1）B（1.5，2）C（1.6，1）D（2.4，1）10（东营）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90至AOB的位置，点B的横坐标为2，则点A的坐标为（）A（1，1）B（，）C（-1，1）D（-，）11（济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A（0，0）B（0，1）C（0，2）D（0，3）12（淄博）如图，菱形纸片ABCD中，A=60，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE则DEC的大小为（）A78B75C60D4513（滨州）如图，等边ABC沿射线BC向右平移到DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：AD=BC；BD、AC互相平分；四边形ACED是菱形其中正确的个数是（）A0B1C2D314（枣庄）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 15（莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= 16（2013聊城）如图，在等边ABC中，AB=6，D是BC的中点，将ABD绕点A旋转后得到ACE，那么线段DE的长度为 17（济宁）如图，ABC和ABC是两个完全重合的直角三角板，B=30，斜边长为10cm三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转，当点A落在AB边上时，CA旋转所构成的扇形的弧长为 cm18（2013潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD，旋转角为a（1）当点D恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0a90，求证：GD=ED；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，DCD与CBD能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由18（1）解：长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD，CD=CD=2，在RtCED中，CD=2，CE=1，CDE=30，CDEF，=30；（2）证明：G为BC中点，CG=1，CG=CE，长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD，DCE=DCE=90，CE=CE=CG，GCD=DCE=90+，在GCD和DCE中，GCDECD（SAS），GD=ED；（3）解：能理由如下：四边形ABCD为正方形，CB=CD，CD=CD，BCD与DCD为腰相等的两等腰三角形，当BCD=DCD时，BCDDCD，当BCD与DCD为钝角三角形时，=135，当BCD与DCD为锐角三角形时，=360-=315，即旋转角a的值为135或315时，BCD与DCD全等19（临沂）如图，矩形ABCD中，ACB=30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F（1）当PEAB，PFBC时，如图1，则的值为 ；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转（060）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当6090，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论19解：（1）矩形ABCD，ABBC，PA=PC；PEAB，BCAB，PEBC，APE=PCF；PFBC，ABBC，PFAB，PAE=CPF在APE与PCF中，APEPCF（ASA），PE=CF在RtPCF中，=tan30=，=（2）如答图1，过点P作PMAB于点M，PNBC于点N，则PMPNPMPN，PEPF，EPM=FPN，又PME=PNF=90，PMEPNF，=由（1）知，=，=（3）答：变化证明：如答图2，过点P作PMAB于点M，PNBC于点N，则PMPN，PMBC，PNABPMBC，PNAB，APM=PCN，PAM=CPN，APMPCN，得CN=2PM在RtPCN中，=tan30=，=PMPN，PEPF，EPM=FPN，又PME=PNF=90，PMEPNF，=的值发生变化【备考真题过关】一、选择题1（广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（）ABCD2（柳州）如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（）A形状没有改变，大小没有改变B形状没有改变，大小有改变C形状有改变，大小没有改变D形状有改变，大小有改变3（杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）ABCD4（桂林）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD5（珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（）A（3，-2）B（-3，2） C（-3，-2） D（2，-3）6（湘西州）如图，在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A的坐标是（）A（-2，-3）B（-2，6） C（1，3） D（-2，1）7（遂宁）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A，点A关于y轴对称的点的坐标是（）A（-3，2）B（-1，2） C（1，2）D（1，-2）8（红河州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（-1，-2），则点P关于原点对称的点的坐标是（）A（-1，2） B（1，-2） C（1，2）D（2，1）9（莆田）如图，将RtABC（其中B=35，C=90）绕点A按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A55B70C125D14510（2013凉山州）如图，3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1的度数为（）A30B45C60D7511（大连）P是AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）AOP1OP BOP1=OP2 COP1OP2且OP1=OP2 DOP1OP212（天津）如图，在ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将ADE绕点E旋转180得CFE，则四边形ADCF一定是（）A矩形B菱形C正方形D梯形13（自贡）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）A9-3B9C9- D9- 14（苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）ABC D2 15（深圳）如图，有一张一个角为30，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）A8或2B10或4+2C10或2D8或4+2二、填空题16（黔东南州）平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A的坐标为 （-2，0）17（天水）已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是 （-1，1）18（随州）如图是一圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的 俯视图（填“主”，“俯”或“左”）19（岳阳）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 140m20（厦门）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且ABBO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是 21（衡阳）如图，在直角OAB中，AOB=30，将OAB绕点O逆时针旋转100得到OA1B1，则A1OB= 7022（2013广州）如图，RtABC的斜边AB=16，RtABC绕点O顺时针旋转后得到RtABC，则RtABC的斜边AB上的中线CD的长度为 823（莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 524（山西）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为 25（鄂州）如图，AOB中，AOB=90，AO=3，BO=6，AOB绕顶点O逆时针旋转到AOB处，此时线段AB与BO的交点E为BO的中点，则线段BE的长度为 26（达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10设AE=x，则x的取值范围是 2x627（安徽）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E，F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A处，给出以下判断：当四边形ACDF为正方形时，EF=；当EF= 时，四边形ACDF为正方形；当EF= 时，四边形BACD为等腰梯形；当四边形BACD为等腰梯形时，EF= 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）三、解答题28（钦州）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标（2）画出A1B1C1绕原点O旋转180后得到的A2B2C2，并写出点A2的坐标28解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，-4）；（2）如图所示，点A2的坐标（-2，4）29（南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（-1，5），B（4，2），C（-1，0）三点（1）点A关于原点O的对称点A的坐标为 （1，-5），点B关于x轴的对称点B的坐标为 （4，-2），点C关于y轴的对称点C的坐标为 （1，0）（2）求（1）中的ABC的面积29解：（1）A（-1，5），点A关于原点O的对称点A的坐标为（1，-5）B（4，2），点B关于x轴的对称点B的坐标为（4，-2）C（-1，0），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）故答案分别是：（1，-5），（4，-2），（1，0）（2）如图，A（1，-5），B（4，-2），C（1，0）AC=|-5-0|=5，BD=|4-1|=3，SABC=ACBD=53=7.5，即（1）中的ABC的面积是7.530（柳州）如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（-6，12），B（-6，0），C（0，6），D（-6，6）以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90（1）画出旋转后的小旗ACDB；（2）写出点A，C，D的坐标；（3）求出线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积30解：（1）小旗ACDB如图所示；（2）点A（6，0），C（0，-6），D（0，0）；（3）A（-6，12），B（-6，0），AB=12，线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积=3631（武汉）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）（1）将ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的A1B1C1；平移ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，-4），画出平移后对应的A2B2C2；（2）若将A1B1C1绕某一点旋转可以得到A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标31解：（1）如图所示：（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（，-1）；（3）POAC，=，OP=2，点P的坐标为（-2，0）32（哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；（2）请直接写出四边形ABCD的周长32解：（1）如图所示：（2）四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=+2+3=2+533（福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到OBD（1）AOC沿x轴向右平移得到OBD，则平移的距离是 2个单位长度；AOC与BOD关于直线对称，则对称轴是 y轴；AOC绕原点O顺时针旋转得到DOB，则旋转角度可以是 120度；（2）连结AD，交OC于点E，求AEO的度数33解：（1）如图，连接OD，点A的坐标为（-2，0），AOC沿x轴向右