高二数学变化率与导数.doc

中国领先的个性化教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：gz6lj257 年 级： 高 二 课时数及课时进度：3（39/78）学员姓名：万冠源 辅导科目： 数 学 学科教师： 曹 庆学科组长签名及日期课 题 变化率与导数教学目的（1）理解函数平均变化率的意义及几何性质；（2）理解导数与平均变化率的关系，会求简单函数某点的导数值.教学内容【知识新授】一、问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数,那么分析: (1)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为hto 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算: 和的平均速度；在这段时间里,；在这段时间里,.思考: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？分析: 如图是函数的图像,结合图形可知,所以.虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?【例1】 已知函数的图象上的一点及临近一点则 .解: 【例2】 求在附近的平均变化率.解: 所以；即在附近的平均变化率为.【牛刀小试】1. 质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .2. 物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.3. 已知一物体运动的速度V（m/s）与时间t（s）满足关系：V（t）10t2，求V（t）从t1秒到t2秒的平均变化率.三、导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是:，我们称它为函数在出的导数,记作或，即.说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率； (2),当时,所以.【例3】 (1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求,再求,最后求.解: (1)法一 定义法(略) 法二 (2) 【例4】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义；所以.同理可得:.在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,说明在第附近,原油温度大约以的速率下降；在第附近,原油温度大约以的速率上升.注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.【牛刀小试】1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.2.求曲线在时的导数.四、曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ (2)切线的斜率为多少？容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即.说明: (1)设切线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.五、导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.六、导函数由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.记作:或,即.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.【例5】 (1)求曲线在点处的切线方程.(2)求函数在点处的导数.解: (1)所以,所求切线的斜率为；因此,所求的切线方程为即.(2)因为所以,所求切线的斜率为,因此,所求的切线方程为即.【例6】如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、附近的变化情况.解: 我们用曲线在、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减. (3)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.【牛刀小试】1.求曲线在点处的切线.2.求曲线在点处的切线.【家庭作业】一、选择题1、在平均变化率的定义中，自变量的增量是（ ）A B C D2、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（ ）A BC D3、已知函数的图象上一点及附近一点，则等于（ ）AB C D4向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是（） 5、如果质点按规律运动，则在一小段时间中相应的平均速度是（ ）A B C D6、如果质点按规律运动，则在时的瞬时速度是（ ）AB C D7、在中，不可能（ ）A大于 B小于 C等于 D大于或小于8、曲线在处的切线方程是（ ）A B C D9、函数在处的切线方程是（ ）A B C D10、曲线在点处切线的倾斜角是（ ）ABCD11、一质点运动的方程为，则在一段时间内相应的平均速度是（ ）A B C D12、函数在处的导数的几何意义是（ ）A在点处的斜率B在点处的切线与轴所成夹角的正切值C曲线在点处切线的斜率D