题解第5章 数理统计的基本概念.doc

习题 5.11. 为了解2010年云南省某师范学院新生的每月消费情况，调查了该校50名新生。试问：（1）研究的总体是什么？（2）研究的样本是什么？（3）样本容量是多少？解 （1）总体为该师范学院所有新生的每月消费。（2）样本为50名该师范学院新生的每月消费。（3）样本容量为50。2. 某厂生产的灯泡使用寿命服从参数为的指数分布，为了研究其平均寿命，从中抽取一个样本容量为的样本,试写出该样本的密度函数。解 因为总体的密度函数为所以，样本的密度函数为 3. 设某厂大量生产某种产品，其次品率未知，每件产品包装为一盒，为了检查产品的质量，任意抽取盒，查其中的次品数，试在这个统计问题中说明什么是总体，样本以及它们的分布。解 总体表示一盒产品中的产次品数,服从参数是的二项分布。这是由于产品的批量很大，次品率为，从大批产品中取件，可以认为每件产品的取出是相互独立的，从而次品数服从二项分布。样本表示所抽取的n盒产品中的次品数。由样本的独立性与代表性得的联合分布列为= = = .4. 从总体中抽取了一个容量为5的样本，样本值为，试求的经验分布函数。解 经验分布函数为 5. 研究某地区小学五年级男生身高的分布，抽取了100名男生进行测量。得到如下数据（单位：cm）取，,试将区间等分,作出频数、频率分布表和频率直方图。解 根据题设要求知各小区间的长度为，经统计计算可得下面的频数、频率（及频率密度）分布表：组序分组区间组中值频数频率频率密度1124.520.020.0042129.580.080.0163134.5210.210.0424139.5340.340.0685144.5200.20.046149.590.090.0187154.550.050.018159.510.010.002频率直方图如下： 122 127 132 137 142 147 152 157 1626. 某公司对其250名职工上班所需时间进行调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间（单位：分） 频率010 0.101020 0.2420303040 0.184050 0.14（1） 试将频率分布表补充完整；（2） 该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解 （1）完整的频率分布表为：所需时间（单位：分） 频率010 0.101020 0.242030 0.343040 0.184050 0.14（2）该公司上班所需时间在半小时以内有：（人）.7. 根据调查,某集团公司的中层管理人员的月薪数据如下(单位：百元)试画出茎叶图。解 根据所给数据,可以作出茎叶图如下： 8. 经验分布函数作为分布函数其类型是离散型的吗？如果是，写出其对应的分布列。解 经验分布函数作为分布函数其类型是离散型的，它所对应的分布列为取值 概率 习题 5.21. 设总体服从泊松分布，其中未知，为取自的一个样（1）试指出，, ,中哪些是统计量，那些不是？（2）当样本容量，且为样本的一个样本值时，试计算样本均值和样本方差。解 （1），, 是统计量，,不是统计量。（2）样本均值； 样本方差.2. 证明：对于容量为2的样本值，其样本方差为.证明 因为，所以 .3. 设是从均匀分布中抽取的样本，试求和.解 因为则，所以.4. 设是从均匀分布中抽取的样本，试求样本均值的渐进分布。解 因为则，所以从总体中抽取样本容量为30的样本 ，其样本均值的渐进分布为.5. 设是从二点分布中抽取的样本，试求样本均值的渐进分布。解 因为则，所以从总体中抽取样本容量为25的样本 ，其样本均值的渐进分布为.6. 设是从正态分布中抽取的样本，试求样本均值的标准差。解 因为，所以从总体中抽取样本容量为10的样本 ，其样本均值的分布为,即的标准差为.7. 设总体为离散均匀分布，分布列从中抽取容量为3的样本，分别写出次序统计量的分布列，验证次序统计量不独立。解 从总体中抽取容量为3的样本，其一切可能观测值取值有种，对应有的观测值，且取每一组观测值的概率相同。所以0 1 20 1 2 0 1 2 从而可求，的联合分布列为0 1 2 07/27 9/27 3/27 10 4/27 3/27 2 0 0 1/27因为，而两者不等。即和是不独立的。8. 设总体的密度函数为现从中抽取容量为5的样本，试计算.解 总体的分布函数为 由定理（5。2。5）得出的密度函数 ， ；对于的其它值，于是 .9. 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量7次，测得温度（）为：112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6计算这组数据的均值与方差。解 令：（表示原数据，表示新数据）得到新数据0 14 -8 0 25 9 16 .则 所以原数据的值为 新数据方差为原数据方差为 .10. 有一个频数分布表如下： 区 间 组中值 频数 （145, 155） 150 4 （155,165） 160 8 （165,175） 170 6 （175,185） 180 2试求该样本的样本均值、样本标准差、样本偏差和样本峰度。 解 样本均值为 =由于 从而样本方差为 于是样本标准差为 .样本三阶中心距为 所以样本偏度为样本峰度 .11. 对下列数据构造箱线图：解 根据所给数据可以算得样本最小值为 ，样本第一4分位数 ，样本中位数 ，样本第三4分位数 样本最大值为 .由此，可以作出箱线图如下：12. 样本的k阶原点矩，k阶中心矩的观察值与总体的经验分布函数的矩有什么关系，根据这种关系你能说明样本均值，样本方差与总体均值，总体方差之间的联系吗？解 经验分布函数所对应的分布列为取值 概率设随机变量的分布函数为上面所述的经验分布函数，则由上面的分布列知经验分布函数的k阶原点矩，k阶中心矩分别为它们正好分别是样本k阶原点矩和k阶中心矩的观察值，另一方面，由格里文科定理知，经验分布函数是总体分布函数的一个良好近似，因此，经验分布函数的矩就应该是总体相应矩的近似。基于上面的分析可知，样本均值，样本方差分别是总体均值，总体方差的一个良好的近似。 习题 5.31. 假设随机变量服从正态分布，若，求的值。解 从分布定义知 直接查表可得，从而 .2. 设相互独立，且都服从N（0,1）分布，试证明.证明 由于相互独立，且都服从N（0,1）分布，因此且相互独立，从而由F分布的生成知. 3. 证明：若,则.证明 由于,根据t分布的生成知，存在两个相互独立的随机变量,， ，使得从而因为，且与相互独立，于是由F分布的生成知.4. 设总体服从正态分布，从中抽取出一个容量为25的样本，试求.解 由正态分布的性质及分布的生成知，于是 .5. 某大型罐头厂出口的鲜片蘑菇罐头的净重量服从正态分布，其中,今从中随机抽取25个罐头，（1）试求样本均值超过184.5克的概率；（2）若要以0.9713的概率保证不低于某一额定重量b，试求b的值。解 由题设条件可知（1）.（2）由=0.9713查表知1.9，即.6. 已知用卡尺测量某物体的长度，其结果服从均值为a(mm),标准差为2（mm）的正态分布，试求应重复测量多少次，才能保证：（1）的概率不小于99.2%；（2）解 假定重复测量n次，则依题设条件有(1)由即查表知 ，故 n2831.(2) 因为，由 .7. 在总体中随机的抽取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多大？解 设是样本均值，因样本中相互独立，且与同分布，所以 这里 =80，=，=100， 即 ,所以.因此8. 若总体，假设要以99.7%的概率保证偏差，试问在=0.5时，样本容量应取多大？解 因为 即 =0.997.得 ， 所以 故 ，可取 。9. 假设样本和分别取自两个独立总体与，计算.解 依题意，与独立，且， = =.10. 假设一种轴承能够承受的压强（单位：g/）服从正态分布，从中取出