从欧式几何到非欧几何.docx

马哲作业从欧式几何到非欧几何欧几里得几何学，通常又称为初等几何学，它是古希腊数学家欧几里得（约公元前330-前260）创立的。如同恩格斯所指出：“科学的发生和发展一开始就是由生产决定的。”欧几里得几何学正是古代劳动人民在生产实践中积累的数学知识的结晶，同时也是欧几里得运用公理化方法所建构的一部具有严密逻辑结构的经典理论体系。由于生产活动的需要，人类很早就掌握了一些几何识。在古代埃及，尼罗河水经常泛滥，被淹没的地界需要重新测定，早期的几何学就伴随着土地测量而产生了。古埃及人还建造了许多金字塔，规模宏大的建筑工程也推动着人们对几何知识的探求。古埃及的几何知识后来传到了古希腊，在那里又得到进一步的发展。古希腊人不仅掌握了更多的几何定理和公式，而且还逐渐注意到这些定理和公式彼此之间的联系。古希腊学者亚里士多德系统地总结了关于形式逻辑的规则，从而为探讨几何命题之间的联系提供了推理工具。在这些条件下，一些数学家开始进行综合整理几何知识的工作，欧几里得就是其中一位最杰出的代表。欧几里得的主要贡献在于他创立了几何学，著有几何原本一书（共13卷），从而把先前分散的几何知识误解逻辑地建构起来，使它们形成一个严密系统的理论体系。正是这部数学巨著，在其后两千多年的时间里，一直成为一切几何教科书的蓝本。在中国古代印刷术传入西欧之前，此书凭借手抄世代相传已有一千八百年之久；有了印刷术之后，它又以各种文字刊印了一千多种版本。在西方文明发展的历史上，它的流传之广仅次于圣经，欧几里得的这一著作对系统传播几何知识发挥了巨大的作用。后来人们就把经过他整理并建构的几何学体系称为欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。欧几里得取得这样辉煌的成就，和他成功地运用了公理化方法是分不开的。所谓公理化方法，简单地说，就是在某种科学已经积累了相当丰富的理性知识的基础上，根据已知的各种概念和命题之间的逻辑联系，选择其中一些概念作为“原始概念”，选取一些命题作为“公理”，从这些原始概念和公理出发，应用逻辑规则定义其他概念，推导出其他命题，从而构成系统的理论体系，这种建构理论体系的方法就叫做公理化方法。欧几里得怎样运用公理化方法来整理几何知识并建构其理论体系的呢？首先，他挑选出反映现实世界空间形式的最基本的元素点、线、面等作为原始概念，其他的几何概念都用这些概念来定义。其次，他选择了一些最基本的命题作为公理。他的公理共有十条，其中有：通过两点可以引一条直线；直线的两端可以无限延长；给出圆心和半径可以作一个圆；凡直角都相等等等。这些命题之所以被称作公理，是因为它们叙述了一些十分明显的事实，人人都可以理解和接受，也可以说是公认的直理。作为公理的命题不需要加以证明，而它们则是证明其他命题定理的依据。然后，欧几里得就以这些原始概念和公理为出发点，通过严格的逻辑推理，一步一步地导出467个几何定理。他使大量分散的几何知识由浅入深、由易到难、环环相扣、秩序井然地构成了一个有机的系统整体。同时对每个概念给出清晰的定义，对每个定理给予严格的证明。他像是一位卓越的建筑大师，通过精心缜密的构思，为人类修造了一座庄严宏伟的几何大厦。从欧氏几何问世直到19世纪以前，在这两千多年的时间里，数学家们一致认为欧氏几何是唯一正确的几何体系。如果说白璧还有微瑕的话，那么人们只是对其中的平行公理尚存些许怀疑。平行公理又称“第五公设”，它的内容是：如果一条直线和两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小两直角，那么两直线延长后必定在那两内角的一侧相交（把平行公理换成较通俗的表达形式，就是前面提到的：过已知直线外一点可以而且只能引一条和它平行的直线）。为什么数学家们对这条公理表示疑问呢？这是因为在欧氏几何中其他定理都是简单明了的，而平行公理却显得冗长，含义也不太明确，使人觉得它不像一个公理，倒像是一个定理。人们还注意到，欧几里得最先推导的28个定理都是不需要引用平行公理的，似乎他本人也想尽量不用这条公理，是不是因为欧几里得没有找出证明方法，才不得不把它当作“公理”呢？根据这些理由，人们把平行公理看做欧氏几何的一个污点，而且决心为这白璧除去微瑕。许多数学家千方百计想要证明平行公理是一条定理，他们采用的证明方法可以分为两类：一类叫做直接证明，也就是想从其他公理推导出平行公理，经过无数次试验，方知此路不通。因为要想求证平行公理，总要引入新公理，但经仔细推敲，发现新公理不是与平行公理等价就是需要用平行公理来证明。另一类叫做间接证明，也称反证法，也就是先假设与平行公理相矛盾的命题，如过线外一点可以引一条以上的平行线，或者是通线外一点不能引平行线。然后以这些命题为前提进行推导，如果推导出错误的结果，这就从反面证明了平行公理是正确的。在这条道路上探索的结果，虽然没有解决“平行公理的证明问题”，但是却创立了一门与欧氏几何不同的新几何学，就是非欧几何。非欧几何是几何学发展到新的时代的产物。历史进入到19世纪20年代，德国数学家高斯（1777-1855）、俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）和匈牙利数学家J鲍耶（1802-1860）在先驱者们工作的基础上分别独立地创立了非欧几何。他们都认为第五公设是不可证明的，并由否定第五公设的其他公理代替第五公设，即假定“过线外一点至少可作两条直线与已知直线平行”。由这条公理出发，不改变欧几何的其他公理，通过逻辑推理，形成了不同于欧氏几何但又能自圆其说的完整而严密的几何体系，即非欧几何。高斯是近代数学的伟大奠基者之一，他幼年时代就开始思考平行线的道理，后来独立得到非欧几何的原理，但他生前从来没有发表过一篇这方面的文章或著作。在他去世之后，人们才从他的信件和遗稿中了解到他大约在1816年就推导出了非欧几何。高斯之所以没发表，是因为提心一些因循守旧的愚人会大喊大叫地反对他。最早发表非欧几何著作的是罗巴切夫斯基。1826年2月23日，他在喀山大学第一次报告了自己的论文简要叙述平行线定理的一个严格证明，这一天被视为非欧几何的诞生日。学校将他的论文交付审查，结果是石沉大海，连原稿也遗失了。好在主要内容被收集在著作几何原本之中，1829-1830年发表在喀山通报中。这是世界上最早的非欧几何文献。罗巴切夫斯基研究成果不但没有得到同代人的赞扬，反而遭到嘲弄和打击，新几何学被称为“笑话”、“对有学问的数学家的讽刺”等等。所有这一切，丝毫没有使罗巴切夫斯基动摇和灰心，他一生为新几何学的生存权利而大声疾呼，接着又陆续发表了一些非欧几何专著，直到晚年他的又目几乎失明，还口接了最后一部著作。鉴于罗巴切夫斯基的贡献，这种非欧几何被称作罗巴切夫斯基几何。为了纪念罗巴切夫斯基和他的学说，喀山于1893年树立起罗巴切夫斯基的雕像。J鲍耶所创立的非欧几何，也同样经历了一段相当艰苦的斗争过程。他的父亲F鲍耶（1775-1856）也是一位数学家，与高斯是同学和好友，多年来一直从事平行公理的证明，结果一无所获。当他得知自己的儿子也醉心于第五公设的证明时，表示坚决反对。他写信给J鲍耶：“希望你不要再作克服平行线理论的尝试了。你会花掉所有的时间而终生不能证明这个问题。它会剥夺你一切余暇、健康、休息和所有的幸福。这个地狱般的黑暗将吞吃成千个像牛顿那样的巨人。这是永远留在我心里的巨创。”但是J鲍耶没有退缩，继续坚持研究，终于在1825创立了新几何体系，当时他只有23岁。由于各方面的阻力，他的论文直到1832年才作为他父亲著作的附录发表。1854年，德国数学家黎曼（1826-1866）又创立了另一种非欧几何，被称为黎曼几何，又称椭圆几何。在黎曼几何中没有互相平行的直线，所有直线长度相同。非欧几何学在创立后的几十年时间里被人不理解、讥笑甚至反对。直到1868年意大利数学家贝特拉米（1835-1899）在非欧几何学的解释与尝试一书中证明，非欧几何可以在欧氏空间的曲面上得到解释。此后，非欧几何学的基本思想开始为人们所接受。到了20世纪上半叶，非欧几何学的空间概念在爱因斯坦的广义相对论中得到应用，以及在天体范围观测和原子微观领域研究中得到证实后，人们就不得不承认它是更深刻地反映现实世界空间形式的一种科学真理了。具体要求：用真理的相对性与绝对性的辩证关系原理、真理的标准问题以及实践标准的确定性与不确定性等认识论的原理，分析案例。1你是如何看待欧氏几何与非欧几何之间的关系的？试结合本案例予以说明。2从欧氏几何到非欧几何的发展历程说明了什么？真理是人们对于客观事物及其规律的正确认识。欧氏几何是人们基于客观规律所建立起来的几何体系。它是把一些简单和容易被人们接受的一些客观事实当成公理所建立起来的，而且在现实生活中是有实际应用的，所以很容易被人们接受；而非欧几何虽然也是真理，但却是在实际生活中没有应用，所以很难被人们接受。任何真理都具有客观性，是不容改变的，但同时又具有绝对性和相对性。就像欧式几何、非欧几何都是真理，所以它们都是客观存在的，他们都包含同客观对象相符合的客观内容，都同谬误有原则的界限，都不能被推翻。但是在一定条件下，人们对事物的客观规律及其发展规律的正确认识总是有局限性的、不完全的。就像非欧几何，由于在现实生活中，我们对第五公设总觉得是对的，但是却又总觉得有些疑问。因为这条被欧几里得当成公里的第五公设不像其他的公理一样简明。比较像一条定理，但是却不能被人证明。真理的绝对性和相对性是辩证统一的关系。具有绝对性的真理和具有相对性的真理是相互渗透和相互包含的。一方面相对之中有绝对，绝对寓于相对之中；真理的相对性之中，也包含有绝对性的颗粒。欧氏几何是人们从实际生活中所总结出来的，所以它具有绝对性，但同时由于人们认识世界的不完全性导致第五公设的正确与否问题。所以欧氏几何同时包含绝对性和相对性，而对于非欧几何，首先它是客观存在的，不是人们随手编出来的，它也是一门完整的科学，但是人们很少在实际生活认识和应用它，所以导致有很长一段时间它不能被人接受，这也证明了真理的绝对性和相对性的的相互依存的关系；另一方面，真理的绝对之中有相对，真理的绝对性通过相对性表现出来，也就是说，从真理的两重性来看，任何真理既是绝对的又是相对的，是两者的统一。欧氏几何和非欧几何很好的诠释了这一点。具有相对性的真理和具有绝对性的真理是辩证转化的，真理永远处在有相对想绝对的转化和发展中，这是真理发展的规律。欧氏几何刚开始是由人们从现实生活逐渐认识的，刚开始人们对这些事物的认识都是相对的，后来由欧几里得整理并建立了一套理论体系，完成了从绝对性到相对性的转变。非欧几何也是如此，刚开始非欧几何不被人接受，后来由于建立了欧氏几何到非欧几何的关系，后来才逐渐被人接受，最后才发展成完整的理论体系，这也符合了从相对到绝对的转化的规律。人类认识是一个不断深化的过程，也是从相对性真理走向绝对性真理、接近绝对性真理的过程。任何真理性的认识都是由相对性真理向绝对性真理转化过程中的一个环节。检验真理的唯一标准就是实践，从真理的本性看，真理是人们对客观事物及其发展规律的正确反映，它的本性在于主观和客观相符合。欧氏几何和非欧几何被人接受在于它们都在现实生活中有实际的应用。所以才很容易被人接受。从实际的特点看，实践是