理论力学2 质点组力学.ppt

理论力学 主讲人 谢文法 第二章质点组力学质点组力学问题比起质点力学的一些问题要复杂得多 它不仅要了解质点组整体的运动特征 有时还要了解质点组内部各质点相对运动的特征 解决质点组问题所依赖的基本理论仍然是动力学三大定理及与之相对应的三个守恒定律 2 1质点组相互连系着的质点所组成的系统叫做质点组 质点组中质点间相互作用的力 叫做内力 质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力 叫做外力 质点组中诸内力的总和必等于零 如果一个质点组不受任何外力作用 则叫做孤立系或闭合系 在质点组中恒存在一特殊点 它的运动很容易被确定 如果以这个特殊点作为参照点 又常能使问题简化 我们把这个特殊点叫做质点组的质量中心 简称质心 假定由n个质点组成的质点组 各质点的质量是m1 m2 mn 位于P1 P2 Pn诸点 这些点对于某一指定的参照点O的位矢是 则质心C对此同一点的位矢满足以下关系 在直角坐标系 质量连续分布的体系 在直角坐标系 如果质心恰好在坐标原点 则质心位矢为 0 质心和重心的区别 质心 重心 从定义上 质点组的全部质量可认为集中在某一点上 这一点我们就叫做质点组的质心 作用于质点系是重力的合力的作用点 二者不是同一点 特殊地 在地球表面附近 认为重力加速度是常矢量时 物体的质心和重心相互重合 例一 p150 2 1求均匀扇形薄片的质心 此扇形的半径为 所对的圆心角为 并证半圆片的质心离圆心的距离为 2 2动量定理与动量守恒定律2 2 1动量定理与质心运动定理假定由n个质点组成的质点组 各质点的质量是m1 m2 mn 位于P1 P2 Pn诸点 这些点对于某一指定的参照点O的位矢是 作用在质点Pi上诸力的合力为 其中内力以表示 外力以表示 由牛顿第二定律 质点Pi的运动微分方程为 由牛顿第三定律 内力总和为零 上式变为 上式左端所以有即质点组的动量对时间的微商 等于质点组中诸外力之矢量和 这就是质点组的动量定理 对质点组中每一质点写出这样的微分方程 共得到n个微分方程 将n个方程相加 得 由质心定义可得 上式两端对时间微分于是有上式表明 质点组质心的运动 就好像一个质点的运动一样 此质点的质量等于整个质点组的质量 作用在此质点上的力 等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和 这就是质心运动定理 故质点组受已知外力作用时 每一质点究将如何运动虽然无法知道 但此质点组质心的运动却可完全确定 2 2 2动量守恒定律如质点组不受外力或外力矢量和为零 则 因此 恒矢量 即 恒矢量外力为零时 质点组的动量是一恒矢量 它的质心作惯性运动 这个关系 叫做质点组的动量守恒定律 例一 p151 2 7质量为 半径为的光滑半球 其底面放在光滑的水平面上 有一质量为的质点沿此半球面滑下 设质点的初位置与球心的联线和竖直向上的直线间所成的角为 并且起始时此系统是静止的 求此质点滑到它与球心的联线和竖直向上直线间所成之角为时之值 2 3动量矩定理与动量矩守恒定律2 3 1动量矩定理由质点组动力学方程出发对等式两端左面矢乘得到 诸内力成对出现 量值相等 方向相反 并在同一直线上 所以对定点O的力矩之和为零 又故上式可写成 等式左端用表示 等于诸质点的动量对定点O动量矩的矢量和 等式右端用表示 等于诸外力对同一定点O的力矩的矢量和 这样上式可简写为 质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商 等于诸外力对同一点的力矩的矢量和 这种关系叫做质点组的动量矩定理 2 3 2动量矩守恒定律如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点O的合力矩为零 由动量矩定理可得 恒矢量质点组不受外力作用时 或虽受外力作用 但这些力对某定点的力矩的矢量和为零 则对此定点而言 质点组的动量矩为一恒矢量 这个关系称作质点组动量矩守恒定律 2 3 3对质心的动量矩定理假定由n个质点组成的质点组 各质点的质量是m1 m2 mn 位于P1 P2 Pn诸点 这些点对于某一指定的参照点O的位矢是 对质心C的位矢为 而质心C对O的位矢则为 选取一原点在质心上随质心平动的动坐标系 则由非惯性动力学 质点组中任一点的动力学方程为 等式右端最后一项为惯性力 应当作外力看待 将等式两端左面矢乘 并对i求和 则内力矩仍互相抵消 可得 因C为质心 故 上式最终简化为 将用表示 代表质点组对质心的动量矩 将用表示 代表所有外力对质心的动量矩之和 则上式简化为 即质点组对质心的动量矩对时间的微商等于所有外力对质心的力矩之和 这就是质点组对质心的动量矩定理 可见 在质心坐标系中 内力矩与惯性力矩互相抵消 跟对固定点的动量矩定理形式相同 只多一撇号 例一 p152 2 11在光滑的水平桌面上 有质量各为的两个质点 用一不可伸长的绳紧直相连 绳长为 设其中一质点受到一个与绳正交的冲量的作用 求证此后两质点将各作圆滚线运动 且其能量之比为 式中为冲力作用时间 2 4动能定理与机械能守恒定律质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所作元功之和 即对整个质点组而言 即质点组动能的微分 等于诸内力及诸外力所作元功之和 这关系叫质点组的动能定理 内力所作元功之和一般不能互相抵消 如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力 则有 这就是质点组机械能守恒定律 选取质心坐标系 质点组中某一质点对定点O的位矢为 而C对O的位矢则为 则质点组中的动能为 质心坐标系中 所以上式变为 质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和 这个关系叫柯尼希定理 对质心坐标系来讲 任一质点的动力学方程为 用相对于质心系的位移标乘上式中的各项 并对i求和 得 因为故得 即质点组对质心动能得微分 等于质点组相对于质心系位移时内力和外力所作元功之和 例一 p153 2 13长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上 其方向与桌面边缘垂直 此时链条的一半从桌上下垂 起始时 整个链条是静止的 试用两种不同的方法 求此链条末端滑到桌子的边缘时 链条的速度 2 5两体问题关于行星运动得开普勒定律的得出是将太阳当作静止的 行星在有心力的作用下绕太阳作运动 但实际上太阳并不是静止的 太阳和行星都有运动 保持静止的是太阳和行星组成的质点组的质心 图中S代表太阳 P代表行星 C代表质心 O 则太阳的动力学方程为 1 行星对同一坐标系的动力学方程为 2 式中 用 得 3 因为 所以上式变为 4 消去M 则行星相对于太阳的运动方程为 5 上式又可写为 6 与我们以前推出的公式 7 相比行星质量减小为 称之为折合质量 此即为对开普勒定律的修正 2 6变质量物体的运动设一物体的质量在t时为m 速度是 同时一微小质量以速度运动 并在时间内与m相合并 合并以后的共同速度是 如果作用在m及上的合外力为 则由动量定理得 略去上式中得二阶微量 除以 并使之趋于零 得变质量物体动力学方程为 例一 火箭 火箭是用逐渐把燃烧过得废气向外喷出的方法来增加火箭本身运动的速度 属于变质量物体运动的问题 根据变质量物体动力学方程 可得 即式中是放出物质相对于运动物体的速度 是每秒中放出的质量 对于火箭 可以把放出物质的相对速度看作是沿着运动物体轨道切线的负方向 因此式中是沿轨道切线的单位矢量 现考虑一种简单的情况 即火箭在空间运动是不受任何外力作用 并且放出物质的相对速度的量值不变即为常数 且与运动质点速度共线而反向 则火箭运动方程简化为 或设质量随时间的变化关系可写成 式中为起始质量 则火箭运动方程变为 积分得 设初始条件为 t 0时 则 因而 1 这就是研究火箭运动问题得一个主要关系式 对 1 式积分即可得到火箭运动的轨迹方程 2 函数代表质量的变化规律 在近代实验工作和理论研究中 常采用下列两种变化规律 1 直线律 式中 为常数 将表达式代入 2 得 2 指数律 将表达式代入 2 得 从以上讨论可看出 火箭速度和排气性能有密切关系 排气速度越大 喷出得质量越多 火箭得到的速度越大 另外 质量比也能影响到火箭的速度 所以 抗高温的难熔轻金属钛是制造火箭外壳比较理想的材料 实际情况下 还应考虑火箭所受的重力与空气阻力 以及火箭本身的大小 因此 问题远比这里讨论的复杂 例二 p153 2 18 原始总质量为M0的火箭 发射时单位时间内消耗的燃料与M0正比 即 为比例常数 并以相对速度v喷射 已知火箭本身的质量为M 求证只有当时 火箭才能上升 并证明能达到的最大速度为能达到的最大高度为 例三 p153 2 14一条柔软 无弹性 质量均匀的绳索 自高处竖直地下坠至地板上 如绳的长度等于 每单位长度的质量等于 求当绳索剩在空中的长度等于时 绳索的速度及它对地板的压力 设开始时绳索的速度为零 它的下端离地面高度为 例四 p153 2 16 雨滴下落时 其质量的增加率与雨滴的表面积成正比 求雨滴速度与时间的关系 2 7维里定理设所研究的质点组是由n个质点组成 其中某一质点的质量是 位矢为 所受的力为 则其基本运动方程为 定义新的物理量将对时间取微商 得 1 上式右方第一项可改写为 右方第二项则为 因此 将上式对t从0到 积分再除以 得 或如为周期运动 且 为一周期 则上式右方为零 即使运动不是周期性的 只要所有质点的坐标和动量都保持为有限值 则G有一最高限 故如取 足够长 则上式右端可变为任意小 在此两种情况下 我们有 克劳修斯把叫做维里 也叫均功 故上式叫做维里定理 由上式可看出 维里定理适用于大数目质点组 具有统计性质 其具体表述为 在很长时间间隔内 质点组的动能对时间的平均值取负号等于作用在此质点组上的力的维里 第二章小结 1质心 2动量定理 质心运动定理与动量守恒定律 2 1质点组的动量定理质点组的动量对时间的微商 等于质点组中诸外力之矢量和 2 2质心运动定理质点组质心的运动 就好像一个质点的运动一样 此质点的质量等于整个质点组的质量 作用在此质点上的力 等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和 2 3质点组的动量守恒定律外力为零时 质点组的动量是一恒矢量 它的质心作惯性运动 恒矢量 3动量矩定理与动量矩守恒定律 3 1质点组的动量矩定理质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商 等于诸外力对同一点的力矩的矢量和 3 2质点组动量矩守恒定律质点组不受外力作用时 或虽受外力作用 但这些力对某定点的力矩的矢量和为零 则对此定点而言 质点