数学建模作业实验2微分方程实验.docx

数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解答解：（1）由平衡点的定义可得，f（x）=x=0，f（y）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为，显然其特征值为；由根与系数的关系可得：且，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f（x）=-x=0，f（y）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为，显然其特征值为；由根与系数的关系可得：，平衡点（0，0）是不稳定的。自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f（x）=y=0，f（y）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为，显然其特征值为；由根与系数的关系可得：，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f（x）=-x=0，f（y）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为，显然其特征值为；由根与系数的关系可得：且，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。自治系统相应轨线为：2种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N，单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解答解：由题意可得N满足的微分方程为：，令=0，可求得方程的两个平衡点N1=0,N2=，分析可得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以N1=0是不稳定的，N2=为稳定的。求二次微分可得：，令 得N=，该点即为曲线的拐点。方程的解族如下图所示：由图形也可以看出，对于方程的两个平衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=是稳定的。3单种群开发模型考虑单种群开发方程用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率为E*=解答解：本题不需要解出方程，而只需得到x的动态变化过程和、渔场稳定的鱼量和保持稳定的条件本质上是要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。令解得的两个平衡点为：，易得由课件定理2.1可得：若，则是稳定的；若，则不是稳定的。应用上述近似判别法，所以有当Er时，是不是稳定平衡点，是； 所以，当捕捞适度(即：Er）时，渔场产量将减至，破坏性捕捞，从而是不可持续的。令求导可得：所以，最优捕捞率为。4Gompertz模型设渔场鱼量自然增长服从Gompertz模型：其中r为固有增长率，N为最大种群数量。若单位时间捕捞量为讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。解答解：令由，解得该方程的平衡点为，可得平衡点是稳定的，而平衡点不稳定.最大持续产量的数学模型为：由前面的结果可得，令可得最大产量的捕捞强度，从而得到最大持续产量，此时，渔场鱼量水平。5有限资源竞争模型微分方程是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设c1a1，c2a2。试用微分方程稳定性理论分析：（1）如果，则（2）如果则（3）用图形分析方法来说明上述两种情况。解答解：（1）令得方程的平衡点为P0（0,0），P1（,0），P2（0, ）.对平衡点P0（0,0），系数矩阵又c1a1，c2a2则p=-(c1-a1)+(c2-a2) a1，c2a2，则q0，且q0稳定，此时说明物种1最终要灭亡。(2)如果的情况下，方程在P1（,0）稳定，其他点不稳定，此时说明物种2最终会灭亡。(3)对于线性方程组，其中，直线将第一象限分成三个区域。 当时，P2点稳定，通过分析的单调性可得下图： 此时说明物种1最终要灭亡。 当时，P1点稳定，通过分析的单调性可得下图：此时说明物种2最终要灭亡。6蝴蝶效应与混沌解考虑Lorenz模型其中，且初值为,，为一个小常数，假设，且。（1）用函数ode45求解，并画出x2x1,x2x3,x3x1的平面图；（2）适当地调整参数，值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重复一的工作，看有什么现象发生。解答解： （1）分别创建lorenzeq.m和huatu26.m两个文件，在lorenzeq.m文件中编写下面的语句：f=(t,x)-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);在huatu26.m文件中，编写下面的语句：t_final=100;x0=0;0;1e-10;t,x=ode45(f,0,t_final,x0);subplot(2,2,1),plot(x(:,2),x(:,1)xlabel(x_2);ylabel(x_1);subplot(2,2,2),plot(x(:,2),x(:,3)xlabel(x_2);ylabel(x_3);subplot(2,2,3),plot(x(:,3),x(:,1)xlabel(x_3);ylabel(x_1);运行程序，可得下面的图形：（2）修改此题的参数，令，且初值为，其中保持不变，运行上面的程序，可得下面的图形：可以发现，修改参数和初始值，图形会发生很大变化。7血液中的药物浓度测定考虑口服某种药物后，该药物在血液中的浓度，以便更好地确定治疗方案。假定给测试者口服某种药物，并每隔一段时间，测试该药物在血液中的浓度，用这种方法得到药物在血液中浓度的变化曲线。所述的生物系统可看成两个房室肠道和血液，其模型可以描述如下设和分别是t时刻药物在肠道和血液中的浓度，是药物从肠道转移到血液的速率，是药物从血液向外界转移的速率。并且在初始时刻（t=0），肠道中的药物浓度为，血液中的药物浓度为0。（1）试建立相应的微分方程模型。（2）假定测得某测试者血液中的药物浓度如下：测试时刻t123468101216血液中药物浓度0.71.21.41.41.10.80.60.50.3试确定参数的估计值。提示：可先求出微分方程的表达式，再选择优化参数，求参数的最小二乘解。解答解： （1）由题意可得微分方程为：（2）首先求解微分方程的解在d27的.m文件中编写下面的语句：x,y=dsolve(Dx=-a*x,Dy=a*x-b*y,x(0)=c,y(0)=0)可以得到下面的结果： d27 x = c*exp(-a*t) y = exp(-a*t)*exp(-b*t)*(a*c*exp(a*t)/(a - b) - (a*c*exp(b*t)/(a - b)最后采用最小二乘曲线拟合的方法求解参数：在d272的.m文件中编写下面的语句：t=1 2 3 4 6 8 10 12 16;y=0.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3;f=(a,t)exp(-a(1)*t).*exp(-a(2)*t).*(a(1)*a(3).*exp(a(1)*t)/(a(1)-a(2) - (a(1)*a(3).*exp(a(2)*t)/(a(1)-a(2);a=1;2;3;a,b,c=lsqcurvefit(f,a,t,y)可以得到下面的结果： d272Local minimum possible.lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the default value of the function tolerance.a = 0.1830 0.4347 5.9981b = 0.0356c =0.1080 -0.0039 -0.0652 -0.0691 0.0333 0.0741 0.0432 -0.0384 -0.0707所以：参数的估计值为：2.3加分实验（餐厅废物的堆肥优化问题）一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这此混合原料，变成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力购置新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表2.1所示)，建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生产的建议。解答解： 1.问题假设1) 每次堆肥的质量不同2) 所给的几次堆肥混合物的比例仅由当天的实际情况决定3) 所有分离堆肥仓工作条件相同4）每磅蔬菜所提供的氧气量相同5）细菌消耗的溶解氧完全由蔬菜叶提供6）每天提供的废料混合物中的化学成分大致相同7）废料混合物在喂给细菌前混合均匀并保持良好的通气环境。2.问题分析堆肥是利用微生物的分解作用将有机废物转化成无害稳定形式的生物化学过程，要提高堆肥常量方法之一是通过强细菌的生长繁殖能力提高分解率 细菌群体的增长一般要经历延滞期，加速生长期，对数生长期，减速生长期，稳定期，加速死亡期和对数死亡期，其它典型生长曲线如图1所示：细菌数目的对数 倍增速率579+0-时间abcdefg图1其中对数生长期培养基中所有养分都过剩，细菌可以充分繁殖，其倍增速率恒定，取决于底物浓度，温度，水活度，供养量。对于当前该餐厅来说底物浓度由每天的剩余食物，蔬菜叶和碎纸屑决定。碎纸屑是吸收水分的调理剂，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜叶提供，水活度可以通过测定相对湿度来决定，其关系式是相对湿度B=P/P0 100%水活度aw =p/po其中P为该溶液蒸气压；Po为纯水蒸气压在这个堆肥系统中，可供微菌消耗营养底物和溶解氧都是有限的，它们的消耗会对微菌生长率产生重要影响。一种微菌消耗营养底物的速率和底物浓度之间的关系曲线如图2所示：比生长速率底物浓度底物浓度和微菌浓度的关系为ds/dt=(-kmsx)/(ks+s)式中ds/dt表示为底物的有效消耗率：x表示为微菌浓度；km表示最大有效系数，在高浓度营养底物中最大的物料消耗率（物质质量/微菌天的质量）；ks表示半速系数（质量/体积）；S 表示为有限底物的浓度（质量/体积）微菌生长过程是一个生物化学反应过程。其生长率和温度之间满足公式：K=Ae-Ea/RT式中K表示为反应速度常数；T 表示反应的绝对温度；R 表示气体常数；Ea 表示反应活化能；A 表示频率因子。对于大多数微菌来说，如果以比生长速度常数（dx/Xdt）的对数对1/T作图，可得下面的曲线图（图3）403020102460.00320.00330.00340.00350.00360.0037线形低温高温11/T（K）因此各种微菌都有一格最适圣战个we浓度。如温度控制在最适值时微菌生长速率最高微菌生长对水湿度也有一定的要求，与微菌最高生长速率相对的有一最适水活度。 优化堆肥意味着尽可能短的时间内生常出高质量的肥料，参数的优化依赖于所应用的系统。3.模型的建立模型1假设每天投入的肥料比是随意的，仅仅取决于当天的情况，首先从已知数据中得到经验最佳比例，由于假设各次堆肥后肥料质量相同，因此堆肥时间较短就对应了较好的肥料配比，装12组数据按其堆肥日期及完全堆肥时间分成三组，每组中较优比例如表2表2分组每组中的最短天数比例14N0.4:26203:82:058N0.5:3379:28:0912N0.9:4982:44:9上述经验默想显然过于粗糙模型2营养底物和氧气是细菌生长的两种底物，物耗公式为：dSi /dt=-kmixsi/(Ksi+Si) (1)i=1时代表营养底物中可降解的有机物。i=2时代表氧气1）在高浓度底物中，物料的转化过程很迅速，仅一步增加第五浓度就不再营区底物转化率的提高，可假设S1Ks1,S2Ks2则（1）式简化为：X-1=-Kmi (2)这是关于底物浓度的零级反应，消去X得到dS1= dS2 (3)积分后得：S1(t)= S2(t)+( S1(0)- S2(0) (4)2）在低浓度底物中，可假设S1Ks1,S2Ks 时，简化方程为（4） 且Km1 =其中R=8.31J/(mol.K)Ea=51.3KJ/molT=25摄氏度=298K 时，Km1=12克底物/（克微菌.天）可确定当T=322K时，可得=55.7不同微生物的耗氧速度不同，此处可取86，经过单位换算，可估算出=20.548从而=2.711下面从已知数据中选取几组典型的数来定性说明（4）式在不同情况下的物理意义。设废食浆中含有40%的有机挥发性物质，有几物的降解为66%，并设波蔬菜叶中含有25%的氧气。a)对于第二组数据：=11240%60%=22.704=7925%=19.75=2.711-23.974当=0时，有=8.84,这表明在此情况下废食浆中所含有的可降解的有机物可以全部被降解，氧气的量是充足的。b)对于第五组数据：=20.856m=7=2.711+1.879在时间足够长的情况下，=0，=1.879这表明氧气的量是不充足的，废食浆中所含有可降解有机物只能有（）/=91%被降解。由此我们可以确定出废食浆和蔬