计算方法课程设计任务书.doc

课程设计任务书学 院理学院专 业数学与应用数学学生姓名班级学号课程名称计算方法课程设计题目三样条插值函数的编程计算一、基本理论：当插值节点很多时,插值多项式的次数就会很高,这不仅增大了计算量,还会影响结果的精确度.虽然可以采用上述分段插值,但是主要缺点就是个分段接头处不光滑,插值函数的导数不连续,因此想构造这样的插值:既能分段的低次插值,又能保证接头处的光滑,就产生了三次样条插值函数.二、研究方法：给定相关数据，使用MATLAB软件对边值条件进行确定，实现三样条插值计算程序，经过对给定值的计算得到三次样条插值函数。.3、 预期结果通过给定数值在MATLAB程序中计算，得出满足相应条件下的三样条插值函数。4、 参考资料：1陈辉，李文宇，张传芳 数值计算方法 哈尔滨 哈尔滨工业大学出版社，20092李庆扬，易大义，王能超. 现代数值分析. 北京 高等教育出版社，19953刘春风，何亚丽，应用数值分析 北京 冶金工业出版社 20054郝红伟，MATLAB 6 北京 中国电力出版社 20015姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验， 科学出版社，20046薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 五、时间安排：课程安排一周，分 3 次完成：第一次（1-2天）：查找资料，到图书馆，网上找有关资料第二次（3-4 天）：进行设计，定初稿，编程第三次(1-2天)：进行验证，运行，并对word进行排版 指导教师（签字）： 年 月 日专业负责人（签字）： 年 月 日前言 插值逼近方法是不断发展变化的，其发展的根本动力来自以下几个方面：(1)理论内部的矛盾；（2）实践与理论的矛盾；(3)理论之间的矛盾；(4)主观与客观的矛盾。最初研究插值逼近理论时，用到拉格朗日插值方法但在增加插值点时 前面运算的值不能用到新的运算。于是拉格朗日方法就需要发展改进，在这样的情况下，牛顿插值公式诞生了。在增加数据点时，牛顿插值方法利用前面的计算结果 通过差商概念的提出和利用 这个方法更有利于计算编程在本质上以上两种方法的理论依据是一样的 他们的误差大小是一样的，可是牛顿插值提出了差商的概念 通过差商把连续曲线函数离散化，可一直利用离散数据计算，这有利于计算编程，实际生活中的函数大多是以数据形式出现的，由于随着实际计算的要求需要提高函数曲线的误差精度按照以前拉格朗日与牛顿插值方法所用的泰勒公式及线性代数等理论，需要提高插值多项式的次数，可当用拉格朗日和牛顿插值方法计算时，著名科学家龙格找到了一个特例函数，发现与推理的结果相反次数增加在插值区间内误差并没有减少局部误差增大很多倍 更不稳定。这一特例的出现引发了数学理论的发展 需要用新的理论来解释这一现象，并构造出更好的方法来解决问题。于是提出了分段低次插值方法，这种方法用多项式来做插值基函数，把整个插值区间分段，在每一段上用较低次数的多项式进行插值这样就保证了曲线的稳定性，并提高了误差的精度。同时还进一步考虑到了不但曲线本身，而且其切线方向也应与已知方向相同 就构造出了埃尔米特插值方法。但当插值接很多时,插值多项式的次数就回很高,这不仅增大了计算量,还会影响结果的精确度.虽然可以采用上述分段插值,但是主要缺点就是个分段接头处不光滑,插值函数的导数不连续,因此想构造这样的插值:既能分段的低次插值,又能保证接头处的光滑,就产生了三次样条插值函数.目 录摘 要11三样条插值函数概论2 1.1 定义5 1.2 构造52 具体实例分析3 2.1 计算思想5 2.2 主程序代码5 2.3 程序结果53结论语11参 考 文 献12摘 要本文细致的讲解了三次样条插值函数的产生及在实际中解决的问题，通过MATLAB的程序编写，可以将复杂的计算省去，直接的给出了三次样条插值的结果与实际结果间的误差，验证实际结果和理论值的一致性。避免了求解方程中的不必要计算，使求解效率得到显著的提高。 关键词 插值函数 三次样条插值 MATLAB1 三次样条插值函数概论当插值节点很多时,插值多项式的次数就会很高,这不仅增大了计算量,还会影响结果的精确度.虽然可以采用上述分段插值,但是主要缺点就是个分段接头处不光滑,插值函数的导数不连续,因此想构造这样的插值:既能分段的低次插值,又能保证接头处的光滑,就产生了三次样条插值函数.1.1 定义设函数市区间a,b上的二次连续可微函数，在区间a,b上给处一个划分。设函数是区间a,b上的一个划分如果函数满足条件（1）在每个小区间（k=1,2,.,n）上是一个部超过m次的多项式。（2）在节点（k=1,2,.,n）处具有m-1阶的连续导数。（3）1.2三次样条差值函数的构造由于三次样条插值我、函数s(x)的插值节点处的二阶导数存在，因此令各节点处的二阶导数为 （1.01） 根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是s(x)在每一个小区间 上市不超过三次的多项式。在每一个小区间上，其二阶导数为线性函数，即 （1.02） 对式（2.14）积分两次，则得到 （1.03）其中为任意常数。又根据样条插值函数定义中的条件（3），即可以确定与为= （1.04） 将式（1.04）中与的值代入表达式（1.03后，就可以得到样条插值函数在区间上的表达式为 （1.05）其中与分别为区间两端点处的二阶导数值。由此可以看处，只要能确定各点处的二阶导数值，则子渠道间上的三次样条插值函数也确定了。在区间a,b上的一阶导数连续，在各节点的左右两子区间上的s(x)虽然不同，但在连接点处的导数存在，即在连接点处的左右导数相等，有 （1.06）为了利用条件（2.18），在x属于时，县求为 （1.07）当x属于时， （1.08）整理得： （1.09）其中2 实际问题举例分析例：求满足下列数据的三次样条插值函数S(x)x-101f(x)-1010-12.1计算思想设先求分段Hermite插值.在-1,1上,易知二次函数满足 为使得三次函数S(x)满足,令有.由得,从而在0,1上,易得有显然及及又由有从而求导得最后有得2.2主要程序代码及命令Function m=naspline(x,y,dy0,dyn,xx)%用途:三样条插值(一阶导数边界条件)%格式:m=naspline(x,y,dy0,xx) x为节点向量,y为数据,dy0,dyn为左右%两短点的一介倒数值,如果xx 缺省,则输出各节点的一阶导数值,m 为xx%的三样条插值n=length(x)-1;h=diff(x);lemda=h(2:n)./(h(1:n-1)+h(2:n);mu=1-lemda;g=3*(lemda.*diff(y(1:n)./h(1:n-1)+mu.*diff(y(2:n+1)./h(2:n);g(1)=g(1)-lemda(1)*dy0;g(n-1)= g(n-1)-mu(n-1)*dyn;%求解三对角方程dy=nachase(lemda,2*ones(1:n-1),mu,g);m=dy0;dy;dyn;if nargin=5s=zeros(size(xx);for i=1:nif i=1,kk=find(xxx(n);elsekk=find(xxx(i)&xx=x(i+1);endxbar=(xx(kk)-x(i)/h(i);s(kk=alpha0(xbar)*y(i)+alpha1(xbar)*y(i+1)+h(i)*beta0(xbar)*m(i)+h(i)*beta1(xbar)*m(i+1);endm=s;endfunction x=nachase(a,b,c,d)n=length(a);for k=2:nb(k)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);d(k)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);endx(n)=d(n)/b(n);for k=n-1:-1:1x(k)=(d(k)-c(k)*x(k+1)/b(k);endx=x( : );function y=alpha0(x)y=2*x.3-3*x.2+1;function y=alpha1(x)y=-2*x.3+3*x.2;function y=beta0(x)y=x.3-2*x.+x;function y=beta1(x)y=x.3-x.2;2.3结果演示naspline(-1 0 1,-1 0 1,0,-1) %输入m的值ans=01.7500-1.0000naspline(-1 0 1,-1 0 1,0,-1,-1:0.25:1)ans=-1.0000 -0.9258 -0.7188 -0.4023 0 -2.2444 -1.631 -1.10981 -0.75003 结束语 随着计算机技术及硬件设施的不断发展，计算机语言的演化从最开始的机器语言到汇编语言，最后到支持面向对象技术的面向对象语言。这就要求提供的计算方法也不断发展。同时在实践也给旧的插值逼近方法不断提出问题，这就要求新的插值逼近方法要更复杂，误差精度更高，同时解决更多方面的问题。插值逼近方法的发展也需要新的理论指导。自然辩证法的科学理论中提到科学“范式”概括了插值逼近法得法的发展过程辩证唯物主义自然观、自然科学发展过程及其规律，分析与综合、归纳法与演绎法、想象和类比等科学逻辑思维方法的应用都在插值逼近理论的发展过程中起到了重要作用。 用科学的逻辑思维方法认识事物才会清楚的了解其过去、现在和未来计算数学中的插值逼近方法发展同样遵循着科学技术、科学理论发展的一般规律以自然辩证法的观点来分析有助于我们更加深入地认识插值逼近以及整个数值计算方法发展的历史、现状和趋势。插值逼近方法及数学理论的进一步发展也必将为自然辩证法的发展提供基础。 本次的课程设计的整个过程让我认识到了基础知识的欠缺，我通过查阅大量的资料，重新阅读关于计算方法、数学分析、高等代数、MATLAB方面的书籍，从根源上了解，三样条插值的由来和应用范围等，是我受益良多。切切实实的认识的努力学习的重要性。4 参考资料1陈辉，李文宇，张传芳 数值计算方法 哈尔滨 哈尔滨工业大学出版社，20092李庆扬，易大义，王能超. 现代数值分析. 北京 高等教育出版社，19953刘春风，何亚丽，应用数值分析 北京 冶金工业出版