机器人第三章.ppt

第三章位姿描述和齐次变换 3 1刚体位姿描述3 2齐次坐标和齐次变换3 3齐次变换矩阵的运算3 4变换方程3 5旋转变换通式3 6自由矢量的变换 3 1刚体位姿描述 1 位置的描述和坐标平移2 方位的描述和坐标旋转3 位姿的描述和一般变换 1 位置的描述和坐标平移 空间任一点p的位置可用3 1的列矢量Ap称位置矢量表示 3 1 空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不同的 从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系 3 2 2 方位的描述和坐标旋转 为了规定空间某刚体B的方位 另设一直角坐标系 B 与此刚体固接 用坐标系 B 的三个单位矢量相对于坐标系 A 的方向余弦组成的3 3矩阵 从一个坐标系到另一个坐标系的描述之间的变换关系 称为旋转矩阵 其中只有3个变量是独立的 所以它的9个元素满足6个约束条件 称正交条件 3 4 因此 旋转矩阵是正交的 并且满足条件 3 5 绕x轴 y轴和z轴转 角的旋转矩阵分别为 3 6 3 7 3 8 设坐标系 B 与 A 有共同的坐标原点 但是两者的方位不同 则具有以下变换关系 3 9 上式称为坐标旋转方程 用旋转矩阵表示坐标系 B 相对于 A 的方位 同样 用描述坐标系 A 相对于 B 的方位 为的逆矩阵 它们之间有如下关系 3 位姿的描述和一般变换 为了完全描述刚体B在空间的位姿 物体B由位置矢量和旋转矩阵分别描述坐标系 B 的原点位置和坐标轴的方位 3 10 坐标旋转和坐标平移的复合变换为 3 11 1 当仅表示位置时2 当仅表示方位时 例3 1 已知坐标系 B 初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于坐标系 A 的轴转30 再沿 A 的轴移动10单位 并沿 A 的轴移动5单位 求位置矢量和旋转矩阵 假设点p在坐标系 B 的描述为 求它在坐标系 A 中的描述Ap 解 3 2齐次坐标和齐次变换 齐次坐标齐次变换手爪坐标系 1 齐次坐标 用4维的矢量表示3维空间的点 称为点的齐次坐标 空间某点p的直角坐标和齐次坐标分别为 3 12 1 0 0 0 T 0 1 0 0 T 0 0 1 0 T分别代表ox oy oz轴上的无穷远点 用它们分别表示这三个坐标轴的方向 而非无穷远点用 0 0 0 1 T表示 利用齐次坐标不仅可以规定点的位置 还可用来规定矢量的方向 当第4个元素非零时 代表点的位置 第4个元素为零时 代表方向 2 齐次变换 坐标旋转和坐标平移的复合变换可将其表示成等价的齐次变换形式 3 17 写成矩阵形式 齐次变换矩阵是4 4的方阵 具有形式 3 18 3 齐次变换矩阵的物理解释 1 刚体位姿的描述齐次变换矩阵描述了坐标系 B 相对于 A 坐标系位置和方位 的第4列矢量描述 B 的坐标原点相对于 A 的位置 其他3个列矢量分别代表 B 的三个坐标轴相对于 A 的方向 即齐次变换矩阵表达了一个坐标系 2 映射变换矩阵齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转变换的复合 这种变换可以将坐标系 B 中描述的点变换到坐标系 A 中描述 齐次变换表示同一点相对不同坐标系 B 和 A 中的变换 例3 2 齐次变换矩阵描述坐标系 B 相对于 A 的位姿 可解释如下 B 的坐标原点相对于 A 的位置是 1 3 4 1 T B 的三个坐标轴相对于 A 的方向分别是 B 的X轴与 A 的Y轴同向 0 1 0 0 T B 的Y轴与 A 的Z轴同向 0 0 1 0 T B 的Z轴与 A 的X轴同向 1 0 0 0 T 坐标系 B 相对于 A 的位姿如图所示 例3 3 在坐标系 A 中 点p的原始位置是T 其运动轨迹如下 首先绕Z轴旋转30 再沿X轴平移10单位 最后沿Y轴平移5单位 求运动后的位置 见例2 3的图 解 运动算子T原始位置由此得到运动后的位置 例3 4 试用齐次变换的方法求解例3 1中的Ap 解 由例3 1求出的旋转矩阵和位置矢 可以得到齐次变换矩阵再由齐次变换式得 3 手爪坐标系 为了描述手爪的位置和姿态 位姿 规定一坐标系与手爪固接 称手爪坐标系 z轴 设在手指接近物体的方向 称为接近矢量ay轴 设在两指的联线方向 称为方位矢量ox轴 由右手法则确定 n o a 称为法向矢量n手爪的方位由旋转矩阵R所规定 即 3 19 手爪的位姿由四个矢量来描述 记为 3 3齐次变换矩阵的运算 变换矩阵相乘变换矩阵求逆齐变换矩阵不同的物理解释 1 变换矩阵相乘 已知 B 相对 A 的描述为 C 相对 B 的描述为 则定义复合变换 3 20 表示 C 相对 A 的描述 3 21 第三节 变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是 1 左乘变换顺序 从右向左 指明运动是相对固定坐标系而言的 2 右乘变换顺序 从左向右 指明运动是相对运动坐标系而言的 2 变换矩阵相乘的规则 3 变换矩阵求逆 由旋转矩阵的正交性 可以得到再利用复合变换公式 求得 综合上面所得结果得 3 22 例3 5 已知表示 B 相对 A 绕其轴转动30 再沿x轴移支4 沿y轴移动3 求并说明它所表示的运动 均指相对固定坐标系而言 解 坐标系 B 相对 A 的运动描述为 利用齐次变换矩阵求逆公式 得出 3 4变换方程 用各种杆件坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系 B 代表基座坐标系 基座框 W 代表腕框 T 是工具框 S 是工作站框 G 是目标框它们之间的位资关系用相应的齐次变换来描述 描述工作站框 S 相对于基座框 B 的位姿 描述目标框 G 相对于 S 的位姿 描述腕框 W 相对于基座框 B 的位姿 工具框 T 相对于基座框 B 的描述可用两种变换矩阵的乘积来表示 3 5旋转变换通式 旋转变换通式等效转轴和等效转角 1 旋转变换通式 令 2 24 是过原点的单位矢量 求绕k旋转 角的旋转矩阵R k 令 2 25 即R k 表示坐标系 B 相对参考系 A 的方位 再定义两坐标系 A 和 B 分别与 A 和 B 固接 但是 A 和 B 的z轴与k重合 且在旋转之前 B 与 A 重合 B 也与 A 重合 因此 坐标系 B 绕k轴相对于 A 旋转角相当于 坐标系 B 相对于 A 的z轴旋转 角 保持其他关系不变 则 2 26 于是得到相似变换 3 27 和 3 28 将上式展开并化简 就可以得出R k 的表达式把上式右端三矩阵相乘 并运用旋转矩阵的正交性质整理得旋转变换通式 3 29 式中 旋转变换通式概括了各种特殊情况 1 当kx 1 ky kz 0时 则由式 3 29 可以得到 绕x轴旋转 角的旋转公式2 当ky 1 kx kz 0时 则由式 3 29 可以得到 绕y轴旋转 角的旋转公式3 当kz 1 kx ky 0时 则由式 3 29 可以得到 绕z轴旋转 角的旋转公式 例3 6 坐标系 B 原来与 A 重合 将坐标系 B 绕过原点o的轴线转动 120 求旋转矩阵R Ak 120 解 将其代入旋转通式 2 等效转轴和等效转角 对于给定的旋转矩阵 3 30 为了求出它的k和 值 令R R K 得到 于是 3 31 还得到 3 32 在计算等效转轴和转角时 有两点值得注意 1 多值性 k和 的值不是唯一的 实际上 对于任一组解k和 还有另一组解 k和 另外 k 和 k k 360 其中k为整数 这两组值对应于同一旋转矩阵 因此 一般选取 在o 到180 之间的值 2 病态情况 当转角 很小时 转轴难于确定 当接0 近或180 时 转轴完全不能确定 因此 需要寻求另外的方法求解 例3 7 求复合旋转矩阵的等效转轴和k转 角 解 首先计算旋转矩阵再确定cos sin 和tg 于是 得出等效转角 120 根据式 3 32 求得 R k 120 R y 90 R z 90 可以证明 任何一组绕过原点的轴线的复合转动总是等效于绕某一过原点的轴线的转动R k 3 6自由矢量的变换 有些矢量完全由它的维数 大小和方向三要素所规定 例如 速度矢量 纯力矩矢量 另一类