05-3弯曲变形.ppt

1 材料力学教学课件 教材 材料力学 欧贵宝等 哈尔滨工程大学出版社 1997年 授课教师 周博 2 第5章平面弯曲 5 9梁的变形与刚度条件 5 10梁的挠曲线微分方程及其积分 5 11用叠加法计算梁的变形 5 12简单超静定梁及其解法 5 13提高粱承载能力的一些措施 作业 5 20 5 23 5 27 5 32 5 33 5 35 5 36 3 一 工程实践中的弯曲变形问题在工程实践中 对某些受弯构件 除要求具有足够的强度外 还要求变形不能过大 即要求构件有足够的刚度 以保证结构或机器正常工作 5 9梁的变形与刚度条件 4 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大 就会影响零件的加工精度 甚至会出现废品 5 桥式起重机的横梁变形过大 则会使小车行走困难 出现爬坡现象 6 但在另外一些情况下 有时却要求构件具有较大的弹性变形 以满足特定的工作需要 例如 车辆上的板弹簧 要求有足够大的变形 以缓解车辆受到的冲击和振动作用 7 1 挠曲线 二 弯曲变形的基本概念 挠曲线 8 2 挠度和转角 规定 向上的挠度为正逆时针的转角为正 挠曲线方程 转角方程 9 三 梁的刚度条件 v 是构件的许可挠度和转角 它们决定于构件正常工作时的要求 10 5 10梁的挠曲线微分方程及其积分 一 梁的挠曲线近似微分方程 11 12 13 梁的挠曲线近似微分方程 14 二 用积分法求梁的变形 式中积分常数C D由边界条件和连续条件确定 15 例a 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和vmax 16 解 由边界条件 得 17 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 18 例b 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和vmax 19 解 由边界条件 得 20 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 21 例c 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和vmax 22 解 由边界条件 得 由对称条件 得 23 AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 24 例d 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和vmax 25 解 由对称性 只考虑半跨梁ACD 26 由连续条件 由边界条件 由对称条件 27 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 28 在材料服从胡克定律 且变形很小的前提下 载荷与它所引起的变形成线性关系 当梁上同时作用几个载荷时 各个载荷所引起的变形是各自独立的 互不影响 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形 然后叠加 5 11用叠加法计算梁的变形 29 例a 用叠加法求 30 解 31 例b 已知梁的为常数 今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点 则比值为多少 32 解 由梁的挠曲线近似微分方程 知 在梁挠曲线的拐点处有 从弯矩图可以看出 33 例c 欲使AD梁C点挠度为零 求P与q的关系 34 解 35 例d 若图示梁B端的转角 B 0 则力偶矩 等于多少 36 解 37 例e 用叠加法求图示变截面梁B C截面的挠度vB vC 38 解 39 例a 图示工字钢梁 l 8m Iz 2370cm4 Wz 237cm3 v l 500 E 200GPa 100MPa 试根据梁的刚度条件 确定梁的许可载荷 P 并校核强度 40 解 由刚度条件 41 5 12简单超静定梁及其解法 一 超静定梁的概念对维持梁的平衡来说 不必要的约束 称为多余约束 相应的约束反力称为多余约束反力 此时支反力的数目将多于平衡方程的数目 仅由平衡方程已不能求解 这种梁称为超静定梁 或静不定梁 42 超静定梁的基本解法例求图示的梁的支反力 解 1 选取静定基 撤除多余约束 超静定梁变成了静定梁 这个静定梁称为原超静定梁的静定基 以支座B为多余约束 相应的支座反力为多余约束反力 q 43 2 找变形条件 加上原来的均布载荷和多余约束力 受力情况和原超静定梁完全相同 载荷q和多余约束反力共同作用下满足B点挠度等于零的变形条件 即上式称为变形谐调条件 a 44 3 建立补充方程求解多余约束力 载荷q和多余的约束反力在B点分别产生的挠度为它们表示了力与位移之间的关系 称为物理条件 l A R B R A B q A B l q b 45 将 b 式代入 a 式得 c 这就是补充方程 由此得 4 求其余支反力 然后用静力平衡方程求得其余支反力为 46 去掉固定端的转动约束 代之以相应约束力MA偶 得到新的静定基 变形协调条件A处的转角为零 即而载荷和约束力偶在A点分别产生转角为联合解得 47 解题方法 先选取适当的静定基 通过原超静定梁与静定基的变形进行比较找出变形谐调条件 利用力与位移的物理关系得到补充方程 从而求得多余约束力 由平衡条件求其余支反力 48 5 13提高承载能力的一些措施 由弯曲正应力强度条件知 提高梁的弯曲强度主要从两个方面来考虑 一方面是降低梁内最大弯矩值 另一方面是提高梁横截面的抗弯截面模量值 1 合理安置梁的支座合理安置梁的支座 能降低梁内的最大弯矩 提高梁的弯曲强度 49 如图所示简支梁 受均布载荷q作用 梁内的最大弯矩为 50 若将两支座内移 则最大弯矩减少到即仅为前者的 在静定梁上增加支座数目 成为超静定梁 也可以降低梁内最大弯矩 提高弯曲强度 51 2 合理布置载荷如图所示简支梁 在跨长中点受集中力P 粱内最大弯矩为若将集中力变为分布力或分解为几个较小的集中力 梁内的最大弯矩均减小了一半 52 在条件允许的情况下 合理地布置载荷 可以降低梁内最大弯矩 提高弯曲强度 53 3 合理选择和利用梁的截面形状 从弯曲强度考虑 最合理的截面形状 是用最少的材料获得最大抗弯截面模量的截面 故应使抗弯截面模量与该截面面积之比尽可能大 54 例如矩形截面梁 截面竖放 图a 比平放 图b 将不易弯断 两者的截面面积相同 上述差别是由于两者的抗弯模量不同 55 竖放时平放时 两者的比值因此竖放时具有较大的抗弯强度 更为合理 56 4 采用变截面梁 根据弯矩的变化情况 将梁相应地设计成变截面梁 在弯矩较大处 采