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第四节方向导数与梯度 一 问题的提出二 方向导数三 梯度 实例 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的实质 应沿由热变冷变化最骤烈的方向 即梯度方向 爬行 一 问题的提出 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 二 方向导数 如图 P 当沿着趋于时 是否存在 记为 证明 由于函数可微 则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 由此可见 当 的方向与的方向一致时 方向导数取最大值 当 的方向与的方向垂直时 方向导数取零 注 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 三 梯度 结论 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 等高线的画法 播放 例如 梯度与等高线的关系 例 解 方向导数取得最大值的方向是梯度方向 即 方向导数的最大值为 沿梯度的负方向 即的方向减少得最快 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1 方向导数的概念 2 梯度的概念 3 方向导数与梯度的关系 注意方向导数与一般所说偏导数的区别 注意梯度是一个向量 小结 思考题 思考题解答 练习题 练习题答案 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法 等高线的画法
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