2014年长沙市首届中学数学教师解题能力大赛_高中试题)(pdf版).pdf

2014 年长沙市首届中学数学教师解题能力大赛 高中组试题 本试卷包括选择题 填空题和解答题三部分 共 页 时量 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题选择题 本大题共共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 acbd 是 adcb 且且 的 A A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 且且时必有acbd 若acbd 时 则可能有adcb 且且选 A 2 如果 111 ABC 的三个内角的余弦值分别等于 222 A B C 的三个内角的正弦值 则 D A 111 ABC 和 222 A B C 都是锐角三角形 B 111 ABC 和 222 A B C 都是钝角三角形 C 111 ABC 是钝角三角形 222 A B C 是锐角三角形 D 111 ABC 是锐角三角形 222 A B C 是钝角三角形 答案 D 解 解 111 ABC 的三个内角的余弦值均大于 0 则 111 ABC 是锐角三角形 若 222 A B C 是锐角三角形 由 211 211 211 sincossin 2 sincossin 2 sincossin 2 AAA BBB CCC 得 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 那么 222 2 ABC 所以 222 A B C 是钝角三角形 故选 D 3 设定义域为 R 的函数 1 0 1 1 lg x xx xf 则关于x的方程 0 2 cxbfxf有 7 个不同实数解的充要条件是 C A 0c B 0 b且0 c C 0 b且0 c D 0 b且0 c 4 二项式 6 1 x x 的展开式中常数项为 B A 15 B 15 C 20 D 20 5 函数 f x的定义域为 R 若 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 则 D A f x是偶函数 B f x是奇函数 C 2 f xf x D 3 f x 是奇函数 解 1 f x 与 1 f x 都是奇函数 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数 f x关于点 1 0 及点 1 0 对称 函数 f x是周期2 1 1 4T 的 周期函数 14 14 fxf x 3 3 fxf x 即 3 f x 是奇函数 故选 D 6 设锐角 x y满足 sincosxxy 则 x y的大小关系是 A A 2 x yx B 42 xx y C 32 xx y 7 点P在直线 1l yx 上 若存在过P的直线交抛物线 2 yx 于 A B两点 且ABPA 则称点P为 科比点 那么下列结论中正确的是 A A l上的所有点都是 科比点 B l上仅有有限个点是 科比点 C l上的所有点都不是 科比点 D l上有无穷多个点 但不是所有的点 是 科比点 8 已知 4 20142 cos 20141 x x f xxx 1 x 1 设函数 f x 的最大值是 M 最小值是 N 则 C A M N 8 B M N 8 C M N 6 D M N 6 9 两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体 可放在棱长为 1 的正方体内 使正四棱锥的 底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行 且各顶点 均在正方体的面上 则这样的几何体体积 的可能值有 D A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 无穷多个 10 已知函数 x exf 1 ln 22 x g x 对Ra 0b使 bgaf 则 ab 的最小值为 D A 12 e B 2 1 2 e C 2ln2 D 2ln2 解析 画出函数 xgxf 的图形可知 0 ttbgaf 所以 tethab t ln2 2 1 0 1 2 2 1 t t eth t 记 0 1 2 2 1 t t et t 则 00 1 2 2 2 1 t t et t 所以 t et t 1 2 2 1 在 0单调递增 易知0 2 1 因此 2 1 0t时 0 th 即ab 在 2 1 0单调递减 在 2 1 单调递增 2ln2 2 1 min hab 二 填空题 每小题 5 分 满分 25 分 11 如图四边形ABCD中 000 50 30 60 BACCADABD 0 20 DBC 0 40ADB 则ACD 度 80 12 不查表求值 2cos10sin20 cos20 3 解析 原式 2cos 3020 sin203cos20 3 cos20cos20 13 已知 3 3A O为原点 点 P x y的坐标满足 30 320 0 xy xy y 则 OA OP OA 的最大值是 3 B A C D 14 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在 一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 答案 21 1 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1221 sinsin ac PFFPF F 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 PFac以下同解析 1 15 1 12 个篮球队中有 3 个强队 将这 12 个队任意分成 3 个组 每组 4 个队 则 3 个强 队恰好被分在同一组的概率为 3 55 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 444 1284 3 3 C C C A 种 而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 3144 3984 2 2 C C C C A 故个强队恰好被分在同一组的概率为 314424443 9984212843 3 C C C C A C C C A 55 2 在区间 1 1 上随机取一个数 x cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 要使cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间 需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x 或 2 1 3 x 区间长度为 3 2 由几何概型知cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 三 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且满足 222 cbaba 求角 C 若ABC 的周长为 2 求 ABC 面积的最大值 解 2 1 2 cos 222 ab cba C 3 C 4 分 222 2 cbaba cba 由 baab 443 8 分 abab843 故 2 ab 舍 或 9 4 3 2 abab 故当 a b 3 2 时 S ABC最大值为 9 3 12 分 17 满分 12 分 某人在同一城市开了两家小店 每家店各有 2 名员工 节日期间 每名员 工请假的概率都是 2 1 且是否请假互不影响 若某店的员工全部请假 而另一家店没有人 请假 则调剂 1 人到该店以维持正常运转 否则该店就关门停业 计算 I 有人被调剂的概率 II 停业的店铺数 的分布列和数学期望 解 设某人所开的两家小店分别为 A B A 店有i人请假记为事件 i A 2 1 0 i B 店有i 人请假记为事件 i B 2 1 0 i 则有 4 1 2 1 1 2 0 200 CBPAP 2 1 2 1 1 2 1 1 211 CBPAP 4 1 2 1 2 1 22 BPAP 3 分 I 有人被调剂的概率为 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 02200220 BAPBAPBABAP 6 分 II 的可能取值为 0 1 2 4 1 4 1 2 1 2 1 4 1 1 2112 BABAPP 16 1 4 1 4 1 2 22 BAPP 16 11 16 1 4 1 12110 PPP 9 分 所以 的分布列是 0 1 2 P 16 11 4 1 16 1 的数学期望为 8 3 16 1 2 4 1 1 16 11 0 E 12 分 18 满分 12 分 正 ABC 的边长为 4 CD 是 AB 边上的高 E F 分别是 AC 和 BC 边的 中点 现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A DC B 如图 二 在图形 二 中 1 试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系 并说明理由 2 求二面角 E DF C 的余弦值 3 在线段 BC 上找一点 P 使 AP DE 解 1 在 ABC 中 由 E F 分别是 AC BC 边的中点得 EF AB 又 AB 平面 DEF EF 平面 DEF AB 平面 DEF 4 分 2 以点 D 为坐标原点 直线 DB DC DA 分别为x轴y轴 z轴建立空间直角坐 标系 则 D 0 0 0 A 0 0 2 B 2 0 0 C 0 2 3 0 E 0 3 1 F 1 3 0 平面 CDF 的法向量为 0 0 2 DA 设平面 EDF 的法向量为 0 0 DF n nx y z DE n 则 即 30 30 xy yz 取 3 3 3 n cos DA n DA n DAn 所以 二面角 E DF C 的余弦值为 21 7 8 分 3 在平面坐标系xDy中 直线 BC 的方程为32 3 yx 设 2 33 0 2 33 2 P xxAPxx 则所以 AP 41 0 33 DEAP DExBPBC 所以 P 是 BC 的一个三等分点且 PC 2 BP 12 分 19 满分 13 分 设正项数列 n a满足 422 1 nnn aaanN n S表示它的前项的和 对任意正整数n 求证 1 1 n a n 2 2 n Sn 1 依题意可得 224 1 0 nnn aaanN 从而必有01 n a 1 分 1n 时 显然有 1 1 1 n a 成立 2n 时 22422 2111 111 424 aaaa 从而 2 11 22 a 成立 3 分 假设 2 nk kkN 时 题中结论成立 即 1 n a k 那么1nk 时 有 22422 1 11 42 kkkk aaaa 4 分 由于2k 11 2 k a k 2 1 2 k a 所以根据二次函数的性质有 22424 1 22 1111111 1 1 1 kkk kk aaa kkkkkkkk 即 1 1 1 k a k 也成立 综合 可知对任意正整数n 有 1 n a n 7 分 2 方法一 1n 时 11 12 1Sa 显然成立 8 分 假设 1 nk kkN 时 题中结论成立 即2 k Sk 那么1nk 时 有 11 1 2 1 kkk SSak k 即 1 221 1 kk k 即 1 21 k Sk 也成立 综合 可知对任意正整数n 有2 n Sn 13 分 方法二 因为 122 2 1 21 n ann nnnn 所以 2 10 2 21 2 32 2 1 2 n Snnn 圆 C2 x2 y2 b2 已知圆 C2 将椭圆 Cl的长轴三等分 且圆 C2的面积为 椭圆 Cl的下顶点为 E 过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 C2相交于点 A B 直线 EA EB 与椭圆 C1的另一 个交点分别是点 P M 1 求椭圆 C1的方程 2 设直线 PM 的斜率为 1 k 直线 l 斜率为 2 k 求 2 1 k k 的值 求当 EPM 面积最大时 直线 l 的方程 1 依题意可得1 3bab 所以椭圆 1 C的方程是 2 2 1 9 x y 2 分 2 依题意可得PEME 且直线PEME 的斜率存在均不为零 不妨设直线PE 的斜率为 0 k k 则直线PE的方程为 1ykx 由 2 2 1 1 9 ykx x y 解得 2 2 2 18 91 91 91 k x k k y k 或 0 1 x y P 2 22 1891 91 91 kk kk 将k换成 1 k 同理可得 2 22 189 99 kk M kk 4 分 22 2 22 1 22 919 1 919 1818 10 919 PM kk k kk kk kk k kk 由 22 1 1 ykx xy 得到 2 2 2 2 1 1 1 k x k k y k 或 0 1 x y P 2 22 21 11 kk kk 2 2 1 2 l k kk k 6 分 故有 2 1 5 k k 7 分 法一 2 2 2 2 2 2 2 1 19 18 19 18 19 18 k k k k k k k PE 2 22 2 1 9 181 1 9 1 18 k kk k k EM 9 分 9829 162 1 9 18 1 19 18 2 1 24 3 2 2 2 2 kk kk k k k k k S EFM 2 2 9 829 1 162 k k k k 10 分 设 2 116216216227 64 829 2 864 9 2 9 EFM u kuS ku u u u u 则 11 分 当且仅当 3 81 uk k 时取等号 22 112812 7 4 93 kkk kkk 12 分 则直线 AB xylx k k y 3 7 2 1 2 的方程为所以所求的直线 13 分 方法二 直线 PM 方程 5 4 10 1 9 18 10 1 9 9 2 2 2 2 2 x k k y k k x k k k k y即 可设直线 PM 5 4 txy 9 分 由 22 2 2 4 72815 1 9 0 525 1 9 ytx ytxtx x y 消去 得 10 分 2 2 2 21 2 91 4100 5 9 11 t t txxtPM E 到直线 PM 的距离为 2 1 5 9 t d 2 2 2 2 2 91 125 25 81 91 4100 5 9 2 1 t t t t S EPM 11 分 设 8 27 16 92 81 16 9 25 81 1125 2 m m m m m Smt EPM 当且仅当 3 4 m时等号成立 12 分 即txylt5 15 7 的方程为而直线 所求的直线方程为xy