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初中数学拔尖材料09 整数里的一些神奇数数学是一切科学的皇后，整数理论是皇后头上的皇冠，皇冠里面有很多神奇的数本讲主要介绍常见的几个神奇数：质数、合数，最大公约数、最小公倍数；同时介绍几个与它们有关的定理：算术基本定理、正约数个数定理、辗转相除法、费马小定理这些内容小学生都能玩得起来，其中充满了“数的智慧”，还能检测你的“数”思维能力一、质数与合数基本知识定义1：一个大于的正整数，如果仅有与这两个正约数，那么称叫做质数定义2：如果一个正整数除了与这两个约数外还有其它的正约数，那么称叫做合数注意：1既不是质数，也不是合数正整数分为三类：1，质数，合数如果一个正整数的约数是质数，那么称它为质约数典型例题例1若三个质数满足，且，求质数例2求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数例3判断下列各数哪些是质数？哪些合数？31，97，721，3223例4若是正整数，问：是质数还是合数？例5若是不小于5的质数，且也是质数，试证：是合数例6求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数二、最大公约数与最小公倍数基本知识定义3：设是不全为0的整数，如果，那么称叫做，的公约数其中最大的叫做最大公约数，记作：定义4：设和是正整数，如果，那么称叫做，的公倍数其中最小的叫做最小公倍数，记作：特别地，对于两个正整数、，两者之间关系是：定义5：设都是正整数，如果，那么称是互质的数，简称互质特别地，中任意两个数都互质，则称为两两互质两两互质的整数一定互质；反之，互质的整数不一定两两互质，如：（8，9，14）典型例题例7求：（221，325）； （5767，4453）例8若为小于50的正整数，求使代数式和的值有大于1的公约数的所有的值例9设是两个不相等的正整数的最小公倍数，且满足，求所有可能的例10一个正整数能被5和7整除，被11除时余6，求适合条件的最小正整数，并写出具有这种性质的整数的一般形式例11用数码1、2、3、4、5、6随意排成一个六位数，求证：不是完全平方数三、有关的常用定理基本知识定理1（算术基本定理）：任意一个大于1的整数都能唯一地分解成质数的乘积（不考虑顺序）定理2（正约数个数定理）：的正约数共有：个定理3（费马小定理）：对任意一个质数和整数，总有成立；特别地，当，就有成立例12求最小的正整数，使它的是平方数，它的是立方数，它的是五次方数例13设是满足下列两个条件的最小正整数：是75的倍数；恰好有75个正约数（包括1和本身）；试求例14当质数时，求证：例15求证：为任一整数巩固练习1求不能写成两个合数之和的最大正整数2三个质数之积等于它们的和的5倍，求这三
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