传染病模型.doc

SARS疫情的预测和分析及其对旅游业的影响摘要SARS对我国社会发展、人民生活产生了重大的影响。本论文共分三部分，第一部分对已给的模型进行了评价，肯定了其通俗性、实用性的优点，但也指出了其操作性弱、检测突发事情能力差的缺点。第二部分以传统的SIR模型为基础，充分考虑到传染病流行过程中人的行为因素，提出了政府采取严厉措施前和采取严厉措施后的两个阶段。在前一个阶段中对传统的SIR模型进行了修正，将SEIR模型和“超级感染者”模型相结合而建立了新的模型，后一阶段中，在SEIR模型基础上，引进了 “基本传染数”模型，较好的预测了SARS走势。第三部分采取平均数趋势整理法，趋势比率法和曲线拟合的方法，建立了SARS对北京旅游业影响的分析和预测的模型。模型检验了北京2003年1月到4月的情形，并分情况对北京2003年9月-12月的海外旅游人数进行了预测，如果按照非典逐渐得到控制情况进行趋势比率法预测得到以后几个月份接待海外旅游人数分别为：9月份为26.69万人，10月份为27.96万人，11月份为24.15万人，12月份为18.19万人。如果非典问题重新暴发则根据曲线的模拟和预测得到：9月份为0万人（这是事实），10月份为15.9万人，11月份为5万人，12月份为接近0万人。 关键词：SARS ； 预测 ；拟合；平均数趋势整理法1 对附件1模型的评价上述模型基本上分析和预测出了SARS疫情的走势，通过对香港、广东的检验，模型基本符合要求。模型通过对变量K和L的修正，建立了很直观有效的SARS的控制与走势模型，模型在分析某一断时间内对非典的走势很有作用，但此模型在发生突发事情需要新的数据来修正K，这就严重影响了模型对突发事件的灵敏度，而且模型严重依赖数据，操作性不强。具体体现在以下几个方面：1.附件1模型中的N需要调整。因为在传播有效天数限制下，到了期限就要把到达L天的病例从N中除去。根据统计资料，N至少要取三次不同的值，增加了人为因素。之所以模型的模拟趋势与广东、香港的疫情相吻合，是因为它是以已经得到的数据为基础，调整之后而得到的模拟参数。2.附件1的模型所采用的半模拟半循环方法，使此模型的建立离不开历史数据，而实际情况传染病传播的数据难以在短时间内进行有效的预测。 3.附件1中将L固定，显然在医学上解释不通，因为从一般传染病传播情况,可以知道疾病在传播初期没有被控制的情况下，病人可以传染的期限要相对长，传染的人数要多；而一旦在人们重视以及采取预防措施的情况下，病人的传染期限和传染的人数都要大大减少，所以笼统的将其定为20是不太合理的。 4.实际生活中还有一些无法控制的自由带菌者，这一部分对病人总数的影响不容忽视，附件1中的模型对此也没有考虑。2 SARS的传播预测模型在下面我们建立的模型中，我们建立了I（t）(即每天的病人累计数目)，E（t）（每天的感染累计病例）微分方程模型，又引进了“超级传播者”模型，增强了模型处理突发事件的能力，又因为模型中对多个参数进行了拟合修正，增强了预测的精确性，且由于模型变量多，操作性得到了增强。此模型是在实际情况基础上，详细讨论了SARS疾病从暴发到最终消亡的整个传播过程，运用计算机模拟历史数据和根据各种传播疾病的共有特征，再联系相关的医学资料确定相关重要的参变量，然后根据北京的SARS病人的情况，进行了模型的检验和对SARS疾病在北京地区做了传播分析和预测。另外模型最大的优点是建立了一个较为完整的稳定的预测疾病传播的模型。而影响传染病的因素有很多，比如说卫生、环境、人口密度、以及人们的重视程度等，所以我们所建立的模型最困难就是参数的确定，要抓住事物的本质来建立既贴近实际传染病的传播规律，而且又能够在数学上求解，这就需要经过长期的检测才行。 2.1 问题的提出2003年春天，SRAS（传染性非典型肺炎）曾经在我国的部分地区(香港、广州、北京等地区)暴发与蔓延，严重威胁着人民的身体健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。如何建立SARS流行过程的数学模型，可以在较一般的情况下分析受感染人数的变化规律，如SARS的发病周期、最终发病人数、发病人数的变化趋势、疑似人口的变化趋势等，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计2.2 问题的分析SARS传播问题可以归结于传染病流行问题，但其暴发流行受人的影响很大，我国发病区域SARS传播和发展可分为两个阶段。第一阶段，即政府和公众不重视，未采取有力措施阶段。此过程中，SARS的传播是按自然的规律传播和发展。即有感染者易感者-感染者的情形，且此过程中存在超级传播者（传染人数很多的感染者）。在我国，这一阶段的具体时间应是从SARS开始流行到4月28日。第二阶段，即政府和公众高度重视，且采取了强有力措施阶段。此过程中，SARS传播明显受到人的影响，交叉感染几率明显下降，超级传染者事件不再发生。在我国，这一具体时间应是4月28日以后。2.3 基本假设总体假设： 1.所公布的数据准确可靠； 2.人口总数保持在固定水平上，即总人口数N不变； 3.不考虑出生、其他原因死亡等方面的情况； 4.假设SARS传播不因人而异；5.我们规定是2003年的4月20日； 6.SARS的传播不受某些不确定因素（如温度）的影响。对第一阶段假设：1. 不考虑水、空气等传播途径，感染者都是由于与SARS病人直接接触引起；2. 根据医学证明，处于潜伏期的人不会传染他人；3. 潜伏期为一常数，我们用T表示；4. 被感染者在经过潜伏期后，都会变成病人；5. 康复者不会二度感染；6. 流入人口数等于流出人口数；7. 我们将人群分为四类：即易感人群（未患病者），用S表示起总数；感染者（病人）用I表示其总数；移出人群（包括因病死亡和康复者），用R表示其总数；潜伏期者（即已感染SARS但还未发病者），用E表示起总数。对第二阶段假设： 1.已患病（病症已表现）都被送到医院去隔离治疗，且不会再传染他人； 2.感染人群有一部分被隔离，且发病后也不会传染他人； 3.感染人群最终都会成为SARS患者；4.康复者不会被再度感染；5.我们仍将人群分为四类：即易感人群（未患病者），用S表示起总数；感染者（病人）用I表示其总数；移出人群（包括因病死亡和康复者），用R表示其总数；潜伏期者（即已感染SARS但还未发病者），用E表示起总数；设未被隔离的潜伏期者所占E的比率为q。2.4 模型的建立与分析第一阶段模型 由于我国人口基数大，不论是香港、北京还是全国其它地区，S相对I、R、E来说，都大得多，如北京1200多万人口，I、R、E合 计不足一万人（4月28日以前），且由于现代交通发达，人的活动范围大，有超级传染事件出现。故传统的SIR模型不能很好地反映SARS疫情。因此，我们采取了微分法与超级感染相结合的方法来建模。我们设易感人群S相对于I、R、E不变，即有 首先，让我们了解“超级传染者”模型 设E=k,其中，k为比例系数如下图（1-1）所示 图 1 “超级传染者”模型示意图其中1号，6号，35号 ，127号，130号为超级传播者。 （1）符号的说明： ：为每天每个非超级传染者所传染的人数； m：为病人中成为超级传染者的比率； ：指处于潜伏期病人的日发病率；q：移出率，即死亡率和康复率之和；L：流出人口的人数，也即为流入人口的人数； p: 流入人口中带菌者所带的比率； a: 为使计算机能方便的求解，我们令a=e.（2）第一阶段模型方程的建立 （1） （2） 有初值 ， 由mathematica 可解得： (3) 代入（2）式，也用mathematica 可求解得I（t）（3） 参数的确定： 对于模型1 -根据医学资料和有关数据推导而得。 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。 L由城市的出入人口流动情况决定。（主要由经济发达程度和交通状况决定，可查有关资料） -根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可 得。 p由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。第二阶段模型 在第二阶段中，公众和政府开始重视SARS疫情，且政府采取了比较强有力的措施。如对SARS病人积极隔离治疗，对可疑人群实行隔离，以及实行出游限制等，控制住了SARS疫情。（1）符号的说明：指现在每天由感染者转变为病患者的比例 ： 指感染者中未被隔离所占的比例 ：指未被隔离的感染者发病后到入院隔离之前每天所感染的人数 : 指此阶段的移出率（包括死亡率和康复率）（2）建立模型 (4) (5) 有、等初值条件 由（5）式可得 两边积分可得： （6） 将（6）式代入（4）式，可得： I(t)= (7)（3） 模型的改进此模型中存在着一个较大的问题，即将感染者看成是无限感染者，未考虑到感染者只能在其发病到住院之前的一段时间可以感染他人。我们设这一段时间为一定值，用表示。故我们对模型（5）式做如下修正：，我们引进一调节参数n,当积分时,则从到这一段，n=1,从到这一段，n=0所以I（t）=此外，我们设R=，R称为基本传染数。它表示一种传染病的传播潜力。例如，当R=2，就意味着平均一个传染病人能够传染2个健康人。基本传染数等于1是SARS流行的一个重要转折点。小于1就意味着SARS不能有效的传递到下一个健康人，从感染率下降的意义上来说，这意味着SARS得到了控制。鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。2.5 模型的求解1.参数的量化（1）.第一个模型中的参数 :根据北京地区从4月20日 到4月28日所公布的数据,一般情况,一个SARS病患者会感染三个人,故我们取为,我们也可以根据具体的情况对进行修 正。 q :代表移出率（包括死亡率与康复率）。由于人们对SARS研究的深入,故第一阶段与第二阶段的q有较大的差别.我们采用MATLAB对已公布的数据进行了拟合.如图二所示:. 图2 为移出率随天数的曲线拟合图形 且我们拟合出了其关于t 的函数关系式。即： q(t)=0.00008-0.01813t+0.2024 所以我们对前九天的q值进行求平均值,可得=0.1369,对后50天的 q值也进行平均值处理,可得 = 0.2103.L:由于第一阶段时,公众的重视程度不够,故我们可以用SARS暴发前的流动人口来估算,我们约定为100000:我们也用MATLAB进行了拟合,见下图3所示图 3 SARS暴发前的流动人口来估算 我们拟合出了其方程,即有(t)=0.0001-0.0029+0.0316-0.01739x+0.4664我们对前8天的值进行平均处理,可得=0.1669, 对后面的50天也进行平均处理,可得=0.0356.p:流入人口中带菌者所带的比率.在SARS流行前,我们可查相关医学资料料,我们设为1/100。又对超级感染者模型中,我们通过对数据的多次修订,发现当k取0.865时,数据吻合的很好。:我们通过上网对新加坡的数据的分析,发现在第一阶段中,特别是在传染病爆发的初期,由于病人的基数少,其值较大,而在后期,其值较小.故我们采用分段式表示.即 （2）第二阶段参数的确定 :由于此阶段中,公众对SARS的防治注意程度比较高,因此未被隔离的感染者从发病到入院的时间较短,时间基数较小,因此反而比大,我们通过不断的修正,发现当=0.71时,所得的数据与所公布的数据相吻合。由前面的计算,我们已经得到=0.0356. 由前面的计算,我们已经得到=0.2103.此外, ,我们可以以所公布的数据为标准。2.对模型求解与检验我们将参数带入模型中,做出了其图象。下面是我们所做的第一个图，是累积病例的模型图：下图为北京SARS病人确诊累计人数的模拟与实际情况的趋势图图4 北京SARS病人确诊累计人数的模拟与实际情况的趋势图从上面的图中，我们可以发现，模型与公布的数据吻合得很好，因此，模型可行。下面是我们利用模型做出的关于感染者的模型图5 实际感染者人数与模拟感染人数其中2.6 利用模型进行预测1我们先根据基本传染数R来预测。基本传染数的高低，关系到在采取基本的公共卫生措施的情况下能否有效控制一场流行病的蔓延。根据哈佛大学公共卫生学院的库珀（Ben Cooper）的研究成果表明，“基本传染数”等于1是SARS流行的一个重要转折点。小于1就意味着SARS不能有效的传递到下一个健康人，从感染率下降的意义上来说，这意味着SARS得到了控制。R=T根据计算，SARS平均传染数约为3，比其它许多传染病都低，见下图：图6 各种传染病平均传染数比较我们通过对所给的数据，进行计算，发现北京于7月15日的R值小于1，此时北京的SARS疫情得到控制。2.我们通过对所建立的模型进行计算和计算机模拟作图，得到下图： 图1-7图7北京的SARS疫情得到控制后的感染人数模拟图通过计算和对图形观测，我们可得以下结论：1. SARS将在7月中旬左右得到控制。2. 虽然政府于4月28日采取了严格的控制措施，但疫情的高峰期是5月15日左右，这是由于疫情的惯性的结果。七.对卫生部措施的评价：从图8 可以看出，第一阶段中，病人数目上升的较快，而在第二阶段中，病人数目先以较慢的速度上升，但当到达最高峰后，病人的数目开始下降。因此，如果推迟5天或者提前5天采取隔离措施，会对疫情产生很大的影响。如下图所示： 图 8 推迟5天或者提前5天采取隔离措施，会对疫情产生很大的影响其中：曲线（1）表示模拟实际的SARS疫情传播示意曲线曲线（2）表示延迟5天SARS疫情传播示意曲线；曲线（3）表示提前5天SARS疫情传播示意曲线。根据我们所建立的模型计算和图形可知：如果提前5天可以使SARS病人的峰值和SARS传播的时间明显减少，反之，推迟5天可以使SARS病人的峰值和传播时间明显增加，因此政府采取提前5天的措施是行之有效的。3 SARS疫情对旅游业的影响的分析与预测模型3.1 问题的提出SARS的发生对我国旅游业冲击很大，因此，建立一个能够合理预测其影响的模型具有极大意义。我们以材料所给的北京地区从1997年到2003年7月接待海外旅客人数的数据为前提，建立非典对旅游人数影响的数学模型。3.2 问题的分析与假设（1）假设所给数据真实可靠。（2）假设北京的旅游业人数主要受“非典”情况的影响，因而就不考虑其它不利于旅游业发展的其他因素。（3）由于旅游业属于“奢侈型”产业，显然它的变化在一年内不会是稳定的，尤其是特殊情况的发生会显著影响其人数的变化，但是通过对历史数据的统计，我们假定各年同月的变化趋势是稳定的。（4）考虑到旅游业的季节性和需要提前预定的特点，还有其相对于经济的滞后性，因此，我们假定允许一个10%左右的误差。符号说明:y(t)表示第 I 年的月平均数；a表示年趋势直线模型的截距；b表示年趋势直线模型的斜率；表示年预测趋势值，表示月预测趋势值；a表示月趋势直线模型的截距，表示月趋势直线模型的斜率；可信度；3.3 模型建立的基础和方法我们采用平均数趋势整理法，原理是先对历史资料各年同月求平均数，然后再利用所求出的平均数，消除其中的趋势成分，求出季节指数，最后建立趋势季节模型进行预测的方法。假设有一时间序列 t为序列长度，这一序列是由N(N=3, 且为奇数)年的统计数据构成的，它受直线趋势、季节变动和随机变动的影响。运用平均数趋势整理法来预测，其测量步骤为：（1）求各年同一月的平均数 以r(i)表示各年第I 同月的平均数，则 （2）求各年的月平均数，则：（3）根据年的月平均数，建立年趋势直线模型：用最小平方法估计参数a和b ,并求序列的中点年为时间原点，再把此模型转变为月趋势直线模型（4）求季节指数先计算同月平均数与原点年该月的趋势值的比值是，再消除随机干扰，经修正后可得季节指数5.求预测值：首先，用月趋势直线模型求未来月份的趋势值其次，利用趋势季节模型求其预测值。3.4 模型的建立与求解基于上面的假设，我们以附件（3）的表格为基础，利用平均数趋势整理法建立趋势直线数学模型，计算过程中使用电子表格处理好所需要的数据整理如下表（1）所示。首先作好下列数据统计：（1）求各年同月平均数，填入表中。（2）求各年的月平均销售量，如表1中所示。（3）计算季节指数，如表所示。表1 利用平均数趋势整理法预测各月旅游人数北京市接待海外旅游人数（单位：万人）年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计月平均19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6229.219.119989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9217.318.11199910.112.917.7212120.421.925.829.329.823.616.525020.83200011.42619.625.927.624.32327.827.328.532.818.5292.724.39200111.526.420.426.128.92825.230.828.729724.75200213.729.723.128.92927.42632.231.432.629.222.9326.127.18合计65.7118136.7134.8164.8162.167.8147.3113.11612134.4同月平均10.919.618.924.324.3822.7822.4727.4727.127.9724.5518.85269.522.39各月趋势值13.515.016.517.919.4620.9323.8625.3326.728.2629.7331.2-22.39比值f（%）80.525.3108.994.13108.3101.98.9482.5860.42-1220季节指数F(%)79.223.2107.192.59106.599.697.3281.2358.3-1200200315.417.123.511.61.782.618.816.226.727.9624.1518.19（4）建立趋势直线模型计算表并求相应的趋势值。 表2 各年旅游人数预测值年份年次 t旅游人数 y t*y1997-319.1-57.391998-218.10833-36.2166641999-120.83333-20.8333312000124.3916724.3916712001224.7549.542002327.17581.5259合计0134.358341.066828将上述各数值代入公式求出参数a和b：a=22.39305b=1.467于是得到年趋势直线模型：=22.39305+17.6t t以年为单位下面，我们再来计算原点年各月的趋势值。每个月的增量b=1.467半个月的增量=0.7335因此，我们又可以得到月趋势直线模型：=22.39305+1.467t t以月为单位由以上模型可知，当t=0时，=22.393305代表原点年中点（即1999年底12月）的趋势值。如果求2000年某个月的趋势值，只要把t代入相应的数值即可。它们的数值填入表格.本来，12个月季节指数的平均数应为100%，12个月所有季节指数之和应为1200%，但是第10行的合计数却为1220%。这样，我们就需要对它进行修正。为此，先求修正系数。=1200/1220=0.9836用此系数分别乘以表中第10行的各数，结果填入表中第11行，即为季节指数F预测模型为：y=(22.39305+1.467t)F以上是假设SARS不再复发的情况下的预测。接着我们假设如果SARS又卷土重来根据北京地区的接待海外游人数目，我们利用曲线拟合的方法建立一个SARS对经济中的旅游方面影响的预测模型: 图9 SARS对北京旅游人数的影响预测模型图由拟合的曲线可知，从3月到6月曲线方程可写为：y= 3.5模型的检验与预测求2003年前三个月的预测值；预测值=趋势值*季节指数；2003年1月预测值=13.59*0.795=10.88（万人）；2003年2月预测值=15.06*1.29=19.4（万人）；2003年3月预测值=16.53*1.13=18.68（万人）。此法只适应于趋势稳定增长的情况。当某年趋势突然增高时，将对同月平均数产生较明显的影响，从而使季节指数偏高。总体来说，预测结果的可信度达88%，如遇到趋势变动大的情况，为了消除变动的影响，进行预测时，可以采用趋势比率法。而所谓趋势比率法，是根据历史上各期的实际值，首先建立趋势预测模型，求得历史上各期的预测值，然后以实际值除以趋势值，进行同月（季）平均，计算季节指数，最后用季节指数和趋势值结合来求预测值的方法。考虑到旅游业本身的特点，采用上面的改进的方法，即可使可信度达到90%左右。下面，我们用趋势比率法来预测2003年912月接待的海外旅游人数。2003年9月预测值=26.79*0.9961=26.69（万人）；2003年10月预测值=28.26*0.9894=27.96（万人）；2003年11月预测值=29.73*0.8123=24.15（万人）；2003年12月预测值=31.2*0.583=18.19（万人）；由分段函数方程 ：y= 我们可以求出这一期间某时刻的预测值。如t=4时，y=12.4（万人），可信度达95% 。现在已经是9月23日，假如10月后又发生SARS ，由于历史经验，我们仍以方程：y= -10.9t+b为模型进行预测。由9月的预测值代入方程可得b=124.79,即方程可写为:y= -10.9t+124.79，又实际生活的需要 y值定会大于零,并且t 要为整数，所以t11 。相应地，我们可以求出2003年10和11月的预测值。2003年10月预测值=124.9-10.9*10=15.9（万人）；2003年11月预测值=124.9-10.9*11=5（万人）。4. 给当地报社的短文：SARS 传染病的预测与控制传染病是危及人类健康的重要因素之一,长期以来一直受到世界各国的关注 随着科技的发展,社会的进步,医疗水平的不断提高,像霍乱、天花等曾经肆虐全世界的传染病,已经得到了有效的控制 ，但在发展中国家的局部地区还不时地出现传染病流行的情况 。近些年艾滋病、肝炎在世界范围内传播蔓延的情况十分严重,尤其是最近爆发的SARS传染病，给全世界带来了巨大的恐慌和痛苦。那么这些传染病的传播规律是什么?是否一直蔓延下去?如何才能有效控制传染病蔓延?这些都是人们最为关注的问题。面对突如其来的SARS传染病，无论是从在心理上还是在身心上，广大人民都经历了非常严酷的考验。而作为一个有序稳定的社会，面对这种突如其来的考验，首先应该从心理上作好防范准备，而心理准备的基础便是对科学的信任，因此只有建立相应的科学的分析和预测的数学模型，才能对疾病进行有效的监控。尤其是像SARS这类以前没有传播过的传染病，只有加强对流行病学研究，弄清SARS病毒的宿主动物分布、传播途径及易感人群等特征，明确传播流行规律及其影响因素，评估不同干预方案的效果，研究针对不同高危人群的防治方案，建立好比较完善的传染病模型，才能有效的控制疾病。对于国家政府部门，在处理像传染病这类极其容易导致社会的混乱的问题时，要想让公众真正信任政府，只有依靠科学知识来做出科学的决断。而一个比较完善的传染病模型，就是数学和计算机等高科技知识技能的高度结晶，因此建立好传染病的数学模型，就是为政府在科学化管理传染病方面打下了一个坚实的科学基础。只有这样，政府才能够在处理像“非典”这类问题时做到慌而不乱。 另外，随着人们科学意识的提高，人们对身心健康越来越重视，因此建立传染病模型有利于帮助人们正确认识像传染病这类突发性很强的疾病，保证人们正确认识传染病的传播规律，能够清楚查明传染病的流行趋势和控制方法，从而坚定抗击传染病的信心。总之，二十一世纪是科技化的时代，只要我们将所学的科学知识应用到实际当中，用科学武装自己，那么在处理像“非典”这类传染病问题时候，建立相应的监控模型，是我们战胜一切困难的法宝。 参考文献1 刘宏友 李莉 彭锋 ，Matlab 6基础及应用，重庆大学出版社，2002.2。2 洪维恩，数学运算大师 Mathematica 4人民邮电出版社，2002.3。3 萧树铁，大学数学实验，高等教育出版社，1999.1。4 叶其孝 卢树铭，数学建模教育与国际数学建模竞赛-工科数学 专辑，中国工业应用数学学会和工科数学杂志社，1994.8。5 卫生部，SARS数据，.2003.9.22。6 陈吉荣 杨方廷 战守义 侯立华 魏明 韩军 李伟, HLA在视景仿真中的应用,http:/www.china