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第五章 摩擦 在前几章中，我们忽略了摩擦的影响，把物体之间的接触表面都看作是光滑的。但在实际生活和生产中，摩擦有时会起到重要的作用，必须计入其影响。 按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩阻；又根据物体之间是否有良好的润滑剂，滑动摩擦又可分为干摩擦和湿摩擦。本章只研究有干摩擦时物体的平衡问题。 摩擦是一种极其复杂的物理-力学现象，关于摩擦机理的研究，目前己形成一门学科摩擦学。本章仅介绍工程中常用的简单近似理论。 绪论第一章 静力学公理和物体的受力分析刚体和力的概念静力学公理约束和约束反力物体的受力分析和受力图本章小结思考题习题第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的解析法平面力对点之矩的概念及计算平面力偶理论本章小结思考题习题第三章 平面任意力系平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面平行力系的平衡方程物体系的平衡，静定和静不定问题平面简单绗架的内力计算本章小结思考题习题第四章 空间力系空间汇交力系力对点的矩和力对轴的矩空间力偶空间任意力系向一点的简化.主矢和主矩空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的平衡方程空间约束的类型举例空间力系的平衡问题举例重心本章小结思考题习题第五章 摩擦滑动摩擦考虑摩擦时物体的平衡问题摩擦角和自锁现象滚动摩阻的概念本章小结思考题习题第六章 点的运动学矢量法直角坐标自然法点的速度和加速度在柱坐标和极坐标中的投影点的速度和加速度在球坐标中的投影本章小结思考题习题第七章 刚体的简单运动刚体的平行移动刚体绕定轴的转动转动刚体内各点的速度和加速度轮系的传动比以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速本章小结思考题习题第八章 点的合成运动相对运动.牵连运动.绝对运动点的速度合成定理点的加速度合成定理本章小结思考题习题第九章 刚体的平面运动刚体平面运动的概述和运动分解求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的瞬心法用基点法求平面图形内各点的加速度运动学综合应用举例本章小结思考题习题第十章 质点动力学的基本方程动力学的基本定律质点运动的微分方程本章小结思考题习题第十一章 动量定理动量与冲量动量定理质心运动定理本章小结思考题习题第十二章 动量矩定理质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体绕定轴的转动微分方程刚体对轴的转动惯量质点系相对于质心的动量矩定理刚体的平面运动微分方程本章小结思考题习题第十三章 动能定理力的功质点和质点系的功能动能定理功率功率方程机械效率势力场势能机械能守恒定律普遍定理的综合应用举例本章小结思考题习题第十四章 达朗贝尔原理惯性力 质点的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化绕定轴转动刚体的轴承动约束力本章小结思考题习题第十五章 虚位移原理约束.虚位移.虚功虚位移原理本章小结思考题习题5-1滑动摩擦 两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。 1静滑动摩擦力 在粗糙的水平面上放置一重为的物体，该物体在重力和法向反力的作用下处于静止状态（图5-la）。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力，当拉力由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以表示，方向向左，如图5-lb。 可见，静摩擦力就是接触面对物体作用的切向约束反力，它的方向与物体相对滑动趋势相反，它的大小需用平衡条件确定。此时有 由上式可知，静摩擦力的大小随水平力的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。 2最大静滑动摩擦力 静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力的增大而无限度地增大。当力的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以表示。 此后，如果F再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点。 综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即 O（5-1） 大量实验证明：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向反力）成正比，即 =（5-2） 式中是比例常数，称为静摩擦系数，它是无量纲数。 式（5-2）称为静摩擦定律(又称库仑定律)。 静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小元关。 静摩擦系数的数值可在工程手册中查到，表5-1中列出了一部分常用材料的摩擦系数。但影响摩擦系数的因素很复杂，如果需用比较准确的数值时，必须在具体条件下进行实验测定。 表5-1常用材料的滑动摩擦系数 材料名称 静摩擦系数 动摩擦系数 有润滑 有润滑 无润滑 有润滑 钢-钢 钢-软钢 钢-铸铁 钢-青铜 软钢-铸铁 软钢-青铜 铸铁-铸铁 铸铁-青铜 青铜-青铜 皮革-铸铁 橡皮-铸铁木材-木材 0.50.30.150.20.20.30.50.40.60.10.20.10.150.180.10.150.10.150.20.180.150.180.180.150.15-0.20.20.60.80.2-0.50.050.10.10.20.050.150.10.150.050.150.070.150.070.120.070.150.070.10.150.50.07015应该指出，式(5-2)仅是近似的，它远不能完全反映出静滑动摩擦的复杂现象。但是，由于公式简单，计算方便，并且又有足够的准确性，所以在工程实际中被广泛地应用。 静摩擦定律给我们指出了利用摩擦和减少摩擦的途径。要增 大最大静摩擦力，可以通过加大正压力或增大摩擦系数来实现。例如，汽车一般都用后轮发动，因为后轮正压力大于前轮，这样可以允许产生较大的向前推动的摩擦力。又例如，火车在下雪后行驶时，要在铁轨上洒细沙，以增大摩擦系数，避免打滑，等等。 3动滑动摩擦力 当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以表示。实验表明:动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即 Fd=（5-3） 式中是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。 动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 0。 (1)取木箱为研究对象，受力如图5-6所示，列平衡方程 X=0, -cos=0(a)Y=0, -+sin=0(b)(c)求解以上各方程，得 =866N, =4500N,d=0.171m此时木箱与地面间最大摩擦力 =1800N可见，0，木箱不会翻倒。因此，木箱保持平衡。 （2）为求保持平衡的最大拉力，可分别求出木箱将滑动时的临界拉力和木箱将绕A点翻倒的临界拉力。二者中取其较小者，即为所求。 木箱将滑动的条件为 =(d)由式(a)、(b)、(d)联立解得 木箱将绕A点翻倒的条件为d=0，代入式(c)，得 由于，所以保持木箱平衡的最大拉力为 =1443N这说明，当拉力F逐渐增大时，木箱将先翻倒而失去平衡。 例5-6重为=l00N的均质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力，其大小为=50N。A为光滑铰链，轮与杆间的静摩擦系数为=0.4。轮半径为r，杆长为l，当=60o。时，AC=CB，如图5-7所示。如要维持系统平衡，（1）若D处静摩擦系数=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若=0.15，此时的最小值又为多少?解：由经验可知，若推力太大，轮将向左滚动，使角加大;相反，若推力太小，杆在力马作用下将使轮向右滚动，使角变小。在后者的临界状态下，水平推力即为维持系统平衡的最小值。另外，此题在C、D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于即将运动的临界状态，其推力即为最小值。 (1)先假设C处的静摩擦力达到最大值。当推力为最小时，轮有沿水平面向右滚动的趋势，因此轮上点C相对于杆血亏有向右上方滑动的趋势;故轮受摩擦力沿切线向左下方，杆受摩擦力沿杆向右上方，如图5-7c及b所示。设处摩擦力未达最大值，可假设其方向向左，如图5-7c。 先以杆AB为研究对象，列平衡方程 (a)C处到达临界状态，补充方程为 =(b) 由式(a)、(b)解出 =l00N，=40N再以轮为研究对象，列平衡方程 (c)(d)(e) 由式(c)得 = 将=l00N，=40N代入式(d)，得最小水平推力 =26.6N代人式(e)，得 =l00+40sin60o+100cos60o=184.6N当=0.3时，D处最大静摩擦力为 =55.39N由于=40N，D处无滑动，故上述所得=26.6N，确为维持系统平衡的最小水平推力。 （2）当=0.15时，=27.7N。前面求得的， 不合理，说明此时在D处应先到达临界状态，应假设D处静摩擦力达到最大值，轮将沿地面滑动。当推力为最小时，杆AB与轮的受力图不变，仍如图示。与前面不同之处只是将补充方程式(b)改为 =(b) 其他方程不变。 由式(c)及(b)，得=。代人式(e)，解得 代人式(d)，得最小水平推力 =sin60o-(l+cos60o)=47.81N此时C处最大静摩擦力仍为=40N，由于，所以C处无滑动。因此，当fD=0.15时，维持系统平衡的最小推力改为=47.81N。 请读者考虑如何求维持平衡的最大水平推力。 5-3摩擦角和自锁现象 1摩擦角 当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束反力包含两个分量：法向反力和切向反力(即静摩擦力)。这两个分力的几何和=+称为支承面的全约束反力，它的作用线与接触面的公法线成一偏角，如图5-8a所示。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到由式(5-2)确定的最大值，偏角也达到最大值如图5-8b所示。全约束反力与法线间的夹角的最大值称为摩擦角。由图可得 即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。 当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也 随之改变；在临界状态下，的作用线将画出一个以接触点A为 顶点的锥面，如图5-8c所示，称为摩擦锥。设物块与文承面间沿 任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2的圆锥。 2自锁现象 物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值 之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角也在零与摩擦之间变化，即 0 由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。由此可知： （1）如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角，因此，和全约束反力必能满足二力平衡条件，且=,如图5-9a所示。工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等。使它们始终保持在平衡状态下工作。 （2）如果全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。因为在这种情况下， ，而，支承面的全约束反力和主动力的合力不能满足二力平衡条件如图5-9b所示。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。 利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法，测定静摩擦系数。 如图5-10所示，把要测定的两种材料分别做成斜面和物块，把物块放在斜面上，并逐渐从零起增大斜面的倾角，直到物块刚开始下滑时为止。记下斜面倾角，这时的角就是要测定的摩擦角,其正切就是耍测定的摩擦系数。理由如下：由于物块仅受重力和全约束反力作用而平衡，所以与应等值、反向、共线，因此必沿铅直线，与斜面法线的夹角等于斜面倾角。当物块处于临界状态时，全约束反力与法线间的夹角等于摩擦角即=。由式(5-4)求得摩擦系数，即 =tan=tan 下面讨论斜面的自锁条件，即讨论物块A在铅直载重的作用下(图5-10)，不沿斜面下滑的条件。由前面分析可知，只有当时，物块不下滑，即斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。 斜面的自锁条件就是螺纹(图5-11a)的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，如图5-11b所示，螺纹升角就是斜面的倾角，如图5-llc所示。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷，相当物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角小于或等于摩擦角。因此螺纹的自锁条件是 tan=0.1得 =5o43 为保证螺旋千斤自锁，一般取螺纹升角=4o4o30。 应用摩擦角与全约束反力的概念，可以用几何法(或作图法)求解有摩擦时物体的平衡问题。现以例5-2和例5-3为例说明其解题方法。 例5-7用几何法求解例5-2所述的问题。 解：由图5-12a可见，物块在有向上滑动趋势的临界状态时，可将法向反力和最大静摩擦力用全约束反力来代替，这时物块在、三个力作用下平衡，受力如图5-12a。根据汇交力系平衡的几何条件，可画得如图5-12b所示的封闭的力三角形。求得水平推力的最大值为 =tan(+)同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图(图5-l2c)。作封闭的力三角形如图5一12d所示。得水平推力F1的最小值为 =tan(-)综合上述两个结果，可得力几的平衡范围，即 tan(-)tan(+)按三角公式，展开上式中的tan(-)和tan(+)，得 由摩擦角定义，,代入上式，得 与例5-2计算结果完全相同。 在此例题中，如斜面的倾角小于摩擦角，即a时，水平推力。为负值。这说明，此时物块不需要力的支持就能静止于斜面上;而且无论重力P值多大，物块也不会下滑，这就是自锁现象。 例5-8用图解法求例5-3所述的问题。 解：取推杆为研究对象，这时应将A、B处的摩擦力和法向反力分别合成为全约束反力和。这样一来，推杆受、和三个力作用。 用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并自A、B两点各作与水平线成夹角（摩擦角）的直线，两线交于点C如图5-13所示，点C至推杆中心线的距离即为所求的临界值，可用比例尺从图上量出。或按下式计算，得 现在来说明其理由。由摩擦力的性质可知，A、B处的全约束反力只能在摩擦角以内，也就是两力的作用线的交点只可能在点C或C的右侧(阴影部分内)。根据三力平衡的汇交条件可知，只有、和三个力汇交于一点时推杆才能平衡。由于和在点C左侧不可能相交，因而当a，或a。求机构在图示位置保持平衡时力的值。 5-19汽车重=l5kN，车轮的直径为600mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80mm的阻碍物?并间此时后轮与地面的静摩擦系数应为多大才不至打滑?5-20边长为a与b的均质物块放在斜面上，其间的摩擦系数为0.4。当斜面倾角a逐渐增大时，物块在斜面上翻倒与滑动同时发生，求a与b的关系。 5-21均质箱体A的宽度b=lm，高h=2m，重=200kN，放在倾角=20o的斜面上。箱体与斜面之间的摩擦系数=0.2。今在箱体的C点系一无重软绳，方向如图示，绳的另一端绕过滑轮D挂一重物E。已知BC=a=1.8m。求使箱体处于平衡状态的重物E的重量。 5-22图示立柜重=lkN，放置于水平地面上。h=l.2m，a=0.9m，滚轮直径可忽略。漆轮与地面的静滑动摩擦系数=0.3不计滚阻。若：（1）滚轮A不能自由转动；（2）滚轮B不能自由转动；（3）两轮都不能自由转动。求使立柜移动的最小水平推力此并校核会不会翻倒。 5-23均质圆柱重、半径为r，搁在不计自重的水平杆和固定斜面之间。杆端A为光滑铰链，D端受一铅垂向上的力兄圆柱上作用一力偶，如图所示。已知=，圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦系数皆为=0.3，不计滚动摩阻，当=45o时,AB=BD。求此时能保持系统静止的力偶矩的最小值。 5-24物块A重=300N，均质轮B重=600N，物块A与轮B接触处的静滑动摩擦系数=0.3，轮B与地面间的静滑动摩擦系数=0.5，不考虑滚动摩阻，求能拉动轮B的水平拉力的最小值。 5-25重量为=196N的均质梁AB，受到力=254N的作用。梁的A端为固定铰支座，另一端搁置在重=343N的线圈架的芯轴上，轮心C为线圈架的重心。线圈架与AB梁和地面间的静滑动摩擦系数分别为=0.4，=0.2，不计滚动摩阻，线圈架的半径R=0.3m，芯轴的半径r=0.lm。今在线圈架的芯轴上绕一不计重量的软绳，求使线圈架由静止而开始运动的水平拉力的最小值。 5-26如图所示，A块重500N，轮轴B重1000N，A块与轮轴的轴以水平绳连接。在轮轴外绕以细绳，此绳跨过一光滑的滑轮D，在绳的端点系一重物C。如A块与平面间的摩擦系数为0.5，轮轴与平面间的摩擦系数为0.2，不计滚动摩阻，试求使物体系平衡时物体C的重量的最大值。 5-27如图所示为升降机安全装置的计算简图。已知墙壁与滑块间的摩擦系数=0.5，构件自重不计。问机构的尺寸比例应为多少方能确保安全制动，并求与摩擦角的关系。 5-28构件1和2用楔块3连接，已知楔块与构件间的摩擦系数=0.1， 楔块自重不计。试求能自锁的倾斜角。 5-29均质长板AD重，长为4m，甩一短板BC支撑，如图所示。若AC=BC=AB=3m，BC板的自重不计。求A、B、C处摩擦角各为多大才能使之保持平衡。 5-30尖劈顶重装置如图所示。在B块上受力的作用。A与B块间的摩擦系数为（其它有滚珠处表示光滑）。如不计A和B块的重量，试求：使系统保持平衡的力的值。 5-31一半径为R、重为的轮静止在水平面上，如图所示。在轮上半径为r的轴上缠有细绳，此细绳跨过滑轮A，在端部系一重为的物体。绳的AB部分与铅直线成角。求轮与水平面接触点C处的滚动摩阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反作用力。 5-32如图所示，一轮半径为R，在其铅直直径的上端B点作用水平力，轮与水平面间的滚阻系数为。问水平力使轮只滚动而不滑动时轮与水平面的滑动摩擦系数九需要满足什么条件?5-33如图所示，钢管车间的钢管运转台架，依靠钢管自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径为5Omm。设钢管与台架间的