与几何相关的分类讨论问题.doc

分类讨论一、考点聚焦在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.2.分类的原则：正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行 二、热点分析与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.热点1：与角有关的分类讨论【例1】已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为_【思路点拨】对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.热点2：与边有关的分类讨论【例2】已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_.【思路点拨】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.热点3：与高有关的分类讨论【例3】一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35，则此等腰三角形的顶角是_度.【思路点拨】因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为903555.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180（9035）125故此等腰三角形的顶角为55或125.【解题反思】此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论，特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解，请同学们注意体会.【练习】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，这个等腰三角形的顶角的度数_度.【解题反思】三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.【例4】(中考指导用书例题)为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.【思路点拨】 【解题反思】【练习】如图，在网格图中找格点M，使MPQ为等腰三角形.并画出相应的MPQ的对称轴.【变式】这样的点M共有_个热点3：综合应用A（2，2）yxo【例5】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（2，2），试在x轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标【练习】（2010四川宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)连接OA，若在直线a上存在点P，使AOP是等腰三角形那么所有满足条件的点P的坐标是 yxPOT11【例6】直角坐标系中，已知点P（2，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点.(1) 求点P关于原点的对称点的坐标；(2) 当t取何值时，TO是等腰三角形？【规范解答】解：（1）点P关于原点的对称点的坐标为（2，1）. （2）. （a）动点T在原点左侧.此题涉及了两个层次的分类讨论，点的位置的分类与等腰三角形的分类，请注意体会。当时，是等腰三角形.点. （b）动点T在原点右侧.当时，是等腰三角形. 得：. 当时，是等腰三角形. 得：点. 当时，是等腰三角形.得：点. 综上所述，符合条件的t的值为.与圆有关的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.热点1：由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论【例1】已知点P到O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求O的半径.【规范解答】：点P既可能在O的内部；也可能在O的外部，如图，当点P在O的内部时，由AB=PA+PB=16 cm，得到O的半径为8cm，当点P在O的外部时，由AB=PBPA =10 cm，得到O的半径为5cm，从而得到O的半径应为8cm或5cm. 热点2：由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论【例2】A、B是O上的两点，且AOB=1360，C是O上不与A、B重合的任意一点，则ACB的度数是_.解析：点C既可能在优弧AmB上，也可能在劣弧AB上，当点C1在优弧AmB上时，如图，AC1B=AOB，从而得到AC1B =680当点C2在劣弧AB上时，不难得到AC2B =1120.所以ACB为680或1120.热点3：由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论 【例3】已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.解析：水面AB所对的弧既可能是劣弧，也可能是优弧，如图，当水面AB所对的弧是劣弧时，过圆心O作OEAB，垂足为E，延长OE交O于点F，则BE=AB=40cm，OB=50cm，由勾股定理可得cm此时水深EF（cm）当水面AB所对的弧是优弧时，同理可求得（cm）所以水的最大深度为20cm或80cm热点4：由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论 【例4】O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=，AD=，求CAD的度数.解析：两弦既可能在直径的两侧，也可能在直径的同侧，如图，当两弦AC、AD在直径AB的两侧时，作OEAC于点E，OFAD于点F，则cosCAO=，cosDAO=,所以CAO=450，DAO=30，从而得到CAD=CAO +DAO =450+300=750，当两弦AC、AD在直径AB的同侧时，同理可得CAD=CAO -DAO =450-300=150.热点5：由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论【例5】（2010青海西宁）如图2，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与轴相切.【例6】如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N（1）求M，N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.【思路点拨】本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.热点6：由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论【例7】（2010山东济宁）已知O1与O2相切，O1的半径为3 cm，O2的半径为2 cm，则O1O2的长是 cm 【答案】1或5 AB【例8】（2010福建宁德）如图，在84的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，A的半径为1，B的半径为2，将A由图示位置向右平移 个单位长后，A与B相切【例9】（2010山东聊城）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_【答案】-2a2【例10】(2009年上海市)在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为（1，0），点的坐标为（0，4），直线轴（如图7所示）点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线CM相交于点D，联结OD（1）求的值和点D的坐标；（2）设点P在轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的与外切，求的半径CMOxy1234图7A1BD解：（1） 点A的坐标为，点与点关于原点对称，点的坐标为（1分）直线经过点，得（1分）点的坐标为，直线轴，设点的坐标为 （1分）直线与直线相交于点，的坐标为（1分）（2） 的坐标为，（1分）当 时，点的坐标为； （1分）当 时，点的坐标为， （1分）当 时，设点的坐标为，得，点的坐标为（1分）综上所述，所求点的坐标是、或（3） 当以为半径的圆与圆外切时，若点的坐标为，则圆的半径，圆心距，圆的半径（2分）若点的坐标为，则圆的半径，圆心距，圆的半径 （2分） 综上所述，所求圆的半径等于或与直角三角形有关的分类讨论热点1：【例1】已知点M（0，1），N（0，3），在直线y=2x4上找一点P使MPN为直角三角形，求点P的坐标.【例2】如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的关系式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标 yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）【解析】解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 点B（1，0）在抛物线C1上 解得，a （2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐标为（m，5） 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 当PNF90时，PN2+ NF2PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 与相似三角形有关的分类讨论热点1：对应边不确定【例1】如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cms的速度向B点匀速运动；同时，动点从D点出发沿DA方向以2cms的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A,.M,N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【答案】经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似热点2：对应角不确定ABCEDl图1【例2】 如图2，A=500，B=600，一直线l与ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当ADE为_度时，ABC与ADE相似.【思路点拨】显然C=700，A是ABC和ADE的公共角，如果ADE等于C或B，那么ABC与ADE相似.解：（1）当ADE=C=700时，ABCAED.（2）当ADE=B=600时，ABCADE.所以当ADE等于700或600时ABC与ADE相似.热点3：图形的位置不确定【例3】在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）. 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标轴上的一点.若以P，O，T 为顶点的三角形与AOP相似,请写出点T的坐标?【变式】 若点T在第四象限,请写出点T的坐标.【例4】（09江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB4，BC6，B60（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由FEADBC图2NPMFEADBC图3MPNFEADBC图1FEADBC图5(备用)FEADBC图4(备用)解：（1）如图1，过点E作EGBC于点G1分FEADBC图1GE为AB的中点，BEAB2在RtEBG中，B60，BEG302分BGBE1，EG即点E到BC的距离为3分（2）当点N在线段AD上时，PMN的形状不发生改变FEADBC图2NPMGHPMEF，EGEF，PMEGEFBC，EPGM，PMEG同理MNAB44分如图2，过点P作PHMN于HMNAB，NMCB60，PMH30PHPM，MHPHFEADBC图3MPNGRNHMNMH45分在RtPHN中，PNPMN的周长PMPNMN6分当点N在线段DC上时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形FEADBC图4GPMN当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR类似，MR，MN2MR37分MNC为等边三角形，MCMN3此时，xEPGMBCBGMC61328分当MPMN时，如图4，则MCMNMP此时，xEPGMBCBGMC6159分F(P)EADBC图5GMN当NPNM时，如图5，则NPMNMP30，MNP120又MNC60，MNPMNC180点P与点F重合，PMC为直角三角形MCPMtan301此时，xEPGMBCBGMC6114综上所述，x2或4或5时，PMN为等腰三角形10分三、重点巩固一、填空题：1.已知AB是圆的直径，AC是弦，AB2，AC，弦AD1，则CAD2. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 . 3.已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是_4等腰三角形的一个内角为70，则其顶角为_5在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中55的方格中，作格点ABC和OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_.二、选择题：1若等腰三角形的一个内角为500，则其他两个内角为 （ ） A500 ，80o B650， 650 C500 ，650 D500，800或 650，6502若 A5或1 B5或1; C5或1 D5或13等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ） A5cm B.3cm C5cm或3cm D不确定4若O的弦 AB所对的圆心角AOB=60，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ） A300 B、600 C1500 D300或 15005.若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b(ab)，则此圆的半径为（）A. B. C. 或D. a+b或a-b二、解答题：1在ABC中，BAC90，ABAC，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），设BOx，AOC的面积为.（1）求关于的函数关系式.（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时AOC的面积.【答案】（1）过点A作ADBC于点D.BAC=90 AB=AC=BC=4 ADBC2即（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtAOD中，A的半径为1，O的半径为x当A与O外切时解得此时，AOC的面积当A与O内切时，解得此时AOC的面积当A与O相切时，AOC的面积为.2在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MPBN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MGBN.（1）求点M的坐标.（2）设ONt，MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.（3）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）依题意，分两种情况：当点M在原点的左边（如图1）时，在RtBON中，1+390MPBN，2+390在RtBON和RtMOG中，RtBONRtMOG.OMOB4M点坐标为（4，0）当点M在原点的右边（如图2）时，同理可证：OMOB4.此时M点的坐标为（4，0）M点的坐标为（4，0）或（4，0）（2）图1中，RtBONRtMOG.OGONt.S（其中0t4）图2中，同理可得S2t，其中t4.所求的函数关系式为S2t. t的取值范围为t0且t 4.（3）存在点R，使ORA为等腰三角形.其坐标为：.3.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的关系式【答案】（1）；（2）在中， 设点的坐标为，其中， 顶点，设抛物线关系式为如图，当时，解得（舍去）； 解得抛物线的关系式为如图，当时，解得（舍去）当时，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线关系式是【备课资源】1.在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得AOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) 点拨：应分三种情况：OA=OP时；OP=P时；OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和；以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得，和；作OA的垂直平分线交坐标轴得和.2.已知与是反比例函数图象上的两个点（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由，得，因此（2）如图1，作轴，为垂足，则，因此由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，故不符题意当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，过点分别作轴，轴的平行线，交于点由于，设，则，由点，得点因此，解之得（舍去），因此点图2图1此时，与的长度不等，故四边形是梯形如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为由于，因此，从而作轴，为垂足，则，设，则，图3由点，得点，因此解之得（舍去），因此点此时，与的长度不相等，故四边形是梯形如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，同理可得，点，四边形是梯形综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或3、如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.(1)求直线AB的关系式;(2)若S梯形OBCD,求点C