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谈实系数一元二次方程的根的分布北京师范大学东莞石竹附属学校 邓海军 在中学数学中有关实系数一元二次方程的根的问题不少，比方给定一个含有参数的一元二次方程的根的范围，求此方程中参数的取值范围的题就很多，例如：关于x的一元二次方程：2kx2 2x3k20的一根大于1，另一根小于1，求k的取值范围。此外在初中数学中还有很多与一元二次方程的根、根的判别式相联系的计算题、证明题，高中阶段的二次函数的图象和性质，一元二次不等式的解法等等都和一元二次方程的根有着密切的联系，这些知识都是中学数学中的重点，同时也是难点，很多同学遇到这些问题总是感到很头痛。问题的实质就是关于实系数一元二次方程的根的分布，一旦把实系数一元二次方程的根的分布的情况（规律）搞清楚了，上述问题也就不那么难了。回顾我们在解答这类题目时，总是要运用到判别式，韦达定理，然后结合二次函数图象特点。其实，我们从中并不难发现有关一元二次方程的根的分布的一些特点。设，不妨设结论1：实系数一元二次方程 ()二实根介于m、n(mn)之间的充要条件是：，, 证明 必要性：方程有二实根 由 , 充分性： 又 0 从而 同理可得 方程二根、 介于m、n()之间例题： 求证一元二次方程二实根 、 满足, 的充分条件是: 且 证明： 利用结论1，此方程二实根 、介于2与2之间的充分条件是： 由 + 得 且有 又 由知 由知 结论2：实系数一元二次方程 ()二实根的充要条件是：， 证明 必要性：方程有二不等实根 则充分性： 又 0 从而 从而 由上可知 方程 ()二实根 现在我们用结论2来解答题首提出的问题，只需要解下面两个不等式组 从而可求出问题的解 k的取值范围是：，看得出来利用上述结论解题方便，答案准确。 实系数一元二次方程 ()的根的分布显然不止这几种情况，限于篇幅，就不一一给出证明，现将所有可能情况列成下表（只就）结合相应二次函数的图象介绍如下条件根的分布情况二次函数图象 0 时 0 时 0 时 m 显然，我们弄清了实系数一元二次方程 ()的根的分布以后，使我们面对有关实系数一元二次方程的根的问题，二次函数的
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