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文档简介

试卷编号命题人： 吴明芬 审批人： 试卷分类（A卷或B卷） A 五邑大学 试 卷学期： 2009 至 2010 学年度 第 一 学期课程：矩阵分析 专业： 2009级电子、模式、交通、机械研究生班级： 姓名： 学号： 题号一二三四五六七八九十总分得分得分一、在中，定义，则是否是上的线性变换？如果是求出在某一基下的矩阵，并求的核与值域。（16分）解：1），则有，所以是上的线性变换。2）取的一组基，则，所以，故在该基下的矩阵为A，。3）的值域为向量生成的子空间。4）的核=，线性方程组的基础解系为故的核是。得分二、 （12分）设是欧氏空间V中一单位向量，定义，证明是正交变换。解：，有；得分三、证明对任意的矩阵，若定义，则| |是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。（12分）证明：由定义显然知 （1）； （2） （3）设 则 （4）设 则 所以|。|是矩阵范数 下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数，则存在某个向量范数，使得，但是对单位矩阵而言，左边|E|=n，右边=1，矛盾。得分四、 （10分）设是齐次线性方程组的解空间，是的解空间。则作为欧氏空间（内积为通常内积）的子空间是正交的，且证明： 的一组基为。的一组基为。由于个向量 是两两正交的非零向量组，故他们线性无关。所以， 且，所以。得分五、求矩阵的Jordan标准形。（10分）解：得分六、利用系数矩阵的LU分解求解下面方程组，写出矩阵L，U。（10分）解：，那么，原方程组与方程组同解，解之得得分七、 设是一个n维欧氏空间，是中的一个固定向量，（1） 证明是的一个子空间；（2） 证明的维数等于n1。（10分）证明：（1），则有，所以是的子空间。（2）设将扩展为V的一组标准正交基，记为，则。另一方面则且。所以，从而，所以，则，于是，综上所述得分八、求微分方程组 满足初始条件的解。（16分）解：，设，得，得分附加题12分复数域C是实数域R上的2维线性空间. 试定义C上的一个内积,使得1与成为C的一个标准正交基；并求的长度.解： 对任意xj+yjiC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)1+yj(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要=0，=1，=1, 必要且只要=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述
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