小学六年级扶梯问题专题分析.doc

小学六年级扶梯问题专题分析（1）及杂题（2）1、哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走,共走了100级;此时妹妹沿向上的自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍.那么,当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级?解：由题可知，设能看到的部分有n级，扶梯每秒移动p级，妹妹每秒走x级则哥哥每秒走2x级。由题可列方程，2x*n/(2x-p)=100（1），x*n/(p+x)=50 （2）（1）/（2）：2(p+x)/(2x-p)=2p+x=2x-px=2p又由（1），所以n=100*(2x-p)/2x=100*(4p-p)/4p=75级所以自动扶梯能看见的部分有75级2、商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走2梯级,女孩每2秒向上走3梯级,结果男孩用40秒到达楼上,女孩用50秒到楼上.问当该扶梯静止时,扶梯可看到的梯级共有多少级?分析与解答两个孩子从下走到上,他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时间内上升X级,那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的40乘以2得80级国上自动扶梯上升的40X级,同样也等于女孩50秒走过的50除以2乘以3得75级加上自动扶梯上升的50X级,列方程可求出解.解:设每秒自动扶梯上升X级. 40*2+40X=50/2*3+50X 解X=0.5扶梯共有40*2+40X =100级.3. 商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个小孩在运行的扶梯上由上往下走，男孩每分钟走30级，需6分钟到达楼下；女孩每分钟走25级，需8分钟到达楼下。问：当该扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有多少级？分析与解在这里我们将“自动扶梯”看作“甲”，将“自动扶梯”与男孩、女孩之间的运动关系形象地用“追及问题”的形式来表示。这样，这道题就类比成行程应用题中的追及问题：男孩、女孩两个人在A地，甲在B地，三人同时出发，同向而行，男孩追上甲需6分钟；女孩追上甲需8分钟。已知男孩每分钟走30级，女孩每分钟走25级。求A、B两地相距多少级？由于甲的速度一定，男孩与甲的速度差和女孩与甲的速度差的相差值即为男孩、女孩速度的相差值，如果把A、B两地的路程看作单位“1”，不难找出男孩、女孩速度的相差值的对应分率为 ，故可列式： （级）。所以当该扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有120级。4. 自动扶梯以均匀的速度向上运行，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，已知男孩的速度是女孩的2倍，男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部。问：当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？分析与解在这里我们也将“自动扶梯”看作“甲”，将男孩、女孩与自动扶梯之间的运动关系形象地用“相遇问题”的形式来表示。这样这道题就类比成行程问题中的相遇问题：男孩、女孩两个人在A地，甲在B地，男孩每分钟走的级数是女孩每分钟走的2倍。现在三人同时出发，男孩、女孩与甲相向而行，当甲与男孩相遇时，男孩走了27级；当甲与女孩相遇时，女孩走了18级。求A、B两地相距多少级？不难看出男孩走27级与女孩走18级所用的时间之比为，则甲与男孩、女孩两次相遇所用的时间之比为3:4。又因为甲的速度一定，所以甲行走的路程与其所用的时间成正比，即甲与男孩、女孩两次相遇时所行的路程之比也是3:4，甲与男孩、女孩两次相遇所行的路程之差也就是男孩、女孩两人所行的路程差（级），故可列式： （级）或 （级）。所以当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有54级。5. 商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个孩子在运行的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下，如果男孩单位时间内走的级数是女孩单位时间内走的2倍，当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有多少级？分析与解我们仍可以将此题中的“自动扶梯”看作“甲”，将“自动扶梯”与“女孩”以及“自动扶梯”与“男孩”之间的运动关系分别用相遇与追及两种形式来表示。这样这道题就类比成行程应用题：男孩与女孩在A地，甲在B地。如果女孩与甲同时出发，相向而行，相遇时女孩走了40级；如果男孩与甲同时出发，同向而行，当男孩追上甲时，男孩走了80级。已知男孩的速度是女孩的2倍，求A、B两地相距多少级？不难求出男孩走80级与女孩走40级所用的时间之比为，那么甲在这两次运动中所用的时间之比为1:1，所以甲在这两次运动中所行的路程之比也为1:1。因为甲在这两次运动中共行路程为（级），所以甲在与女孩做相遇运动中所行的路程为 （级），故A、B两地相距（级）。所以当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有60级。6、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？7、冬冬沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，恬恬沿着自动扶梯从底走到顶共走了50级。如果冬冬同一时间内走的级数是恬恬的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？8、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有多少级？解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，（X+2）40=（X+3/2）50解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）40=1009、甲步行上楼的速度是乙的2倍,一层到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行二人从滚梯步行上楼，结果甲步行了级到达楼上，乙步行了级到达楼上问这个滚梯共有多少级？设滚梯长度为L，滚梯速度为X,甲速度为2Y,乙为Y,则由题意得：L/(X+2Y)*2Y=20 (1)L/(X+Y)*Y=12 (2)联立（1）（2）得:X=4Y (3)将（3）代入（1）或（2）得:L=60.10某商场一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯),如果两人上梯的速度都是匀速,每次只跨1级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍,已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达扶梯顶部.(1)扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯级数相等,两个孩子各自到扶梯的顶部后按原速度再下扶梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯之间的距离).求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?11、自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯的顶部，而女孩走了18级到达顶部。问扶梯露在外面的部分有多少级？12自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？150杂题1.明明和小华到新华书店去买小学数学百问这本书。一看书的价钱，发现明明带的钱缺1分钱，小华带的钱缺2.35元。两人把钱合起来，还是不够买一本的。那么买一本小学数学百问到底要花多少元？解：明明买这本书还缺1分钱，小华要是能补上1分钱，就能买这本书了。可是小华、明明的钱合起来，仍然买不了这本书，这说明小华连1分钱也没带。题中说，小华买这本书缺2.35元，那么2.35元正好是这本书的价钱了。所以买一本小学数学百问要花2.35元。2.将奇数按如下顺次排列1 5 7 19 213 9 17 23 11 15 25 13 27 29 33 31 在这样的排列中，17这个数排在第2行第3列，33这个数排在第5行和2列，那么1995这个数排在第几行第几列？解：个数是99021=1979排在第1行第45列的数是1981，1983是第2行第44列上的数，余类推，得出1995排在第8行第38列。3.有一列数，第一个数和第二个数都是1994，以后每个数都是前面两个数的和，这列数的第1994个数除以3的余数是几？.解：首先算出这一列数除以3的余数排列的规律。从上表不难看出，这列数被3除的余数呈2、2、1、0、1、1、2、0这八个数一循环的排列，而19948=2492，即1994个数除以3的余数同第二个数除以3的余数一样，即余2。4.1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方+5的5次方+6的次6方+7的7次方+8的8次方+9的9次方+10的10次方除以3的余数是几？解: 因为3、6、9都能被3整除，因此33、66、99都能被3整除，即33、66、99除以3的余数都是0。我们知道，一个不能被3整除的数的平方数被3除的余数都是1，因此11=12，12除以3余数是1；22除以3的余数是1；44=4444=（44）2，44除以3的余数是1；88=88888888=（8B88）2，88除以3的余数是1；1010=10101010101010101010=（1010101010）2，1010除以3的余数是1。再看一下55=55555= 5555（32）=（55）2（3+2）（55）23（55）22，其中（55）23能被 3整除，（55）2=1250， 1250除以 3的余数是2，因此55除以3的余数是2。77=7777777=（777）（777）（6+1）=（777）2（61）=（777）26（777）21，其中（777）26能被3整除，（777）21除以3的余数是 1，因此77除以 3的余数是 1。由以上分析，得出：11、22、44、55、77、88、1010除以3的余数分别是1、1、1、2、1、1、1，这些余数的和是8，而8除以3的余数是2。因此，1122+33+4455667788991010除以3的余数是2。5.某班有学生51人，准备推选1名同学在教师节那天给老师献花。选举的方法是让51名同学按编号1、2、3、51排成一个圆圈，从1号位开始，隔过1号，去掉2号、3号，隔过4号，去掉5号、6号如此循环下去，总是每隔过1个人，就去掉2个人，最后剩下的那名同学当选。那么当选的同学开始时是排在几号位置上的？解：根据推选的方法可知，第一轮筛选后留下了17人。这17人是排在第 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49号位置上的同学。接下去继续筛选，留下了6人，这6个人是排在第1、10、19、28、37、46号位置上的同学。不过留下46号后去掉49号，接下来正好去掉1号，再继续下去，留下的是第10、37号位上的同学，在去掉46号之后，接下去是去掉10号，最后剩下的是37号，即开始时排在37号位置上的那个同学当选。6.设 1、3、9、27、81、243、729、2187是给定的 8个数，在这8个数中每次取1个或取几个不同的数求和，可以得到一个新数，这样共得到255个新数。从小到大把这些新数排列起来，那么第250个数是几？解：第255个数是：13927812437292187=3280250个数是：328019=32707.有一列数1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、那么第398个数是多少？解：仔细观察这列分数的特点，不难发现，它们的分母是1、2、3、4.分母是1的分数有1个；分母是2的分数有3个；分母是3的分数有5个；分子是1、1、2、1、1、2、3、2、1从小到大再到小，依次排列。从而得出，从第400个分数是分母为20的分数中最后一个，8.下图中已填好了2个数6和7，再从1、2、3、4、5中选出4个数填在图中空格中，要使填好的格里的数右边比左边大，下边比上边大，那么一共有多少种不同的填法？解：当空格中取1、2、3、4时，有2种填法，即1 2 1 33 4 2 4当空格中取1、2、3、5时，有2种填法，即1 2 1 33 5 2 5当空格中取1、2、4、5时，有2种填法，即1 2 1 44 5 2 5当空格中取1、3、4、5时，有2种填法，即1 3 1 44 5 3 5当空格中取2、3、4、5时，有2种填法，即2 3 2 44 5 3 5由此得出，共有22222=10种不同填法10.有四包糖，每次选出其中的3包，算出这三包的平均重量，再加上另一包的重量，用这种方法算了4次，分别得到下面4种重量8.8千克，9.6千克，10.4千克，11.2千克那么这四包糖平均每包重多少千克？解：根据题中所说的称重方法可知，每包糖重在四次的计算中，三次各取了每包的1/3，一次取了一包的重量，也就是说，这四次计算中，每包的重量都被计算了两次。因此，8.89.6+10.411.2的和相当于四包糖重的2倍，那么这四包糖平均每包的重量是：=5（千克）11.小明摆了两次，第一次摆成正方阵后，余下12枚棋子；第二次摆成每边各加 1枚棋子的正方阵时，还缺少9枚棋子。那么这些棋子共有多少个？.解法（1）根据题意，两次摆放棋子都要摆成正方阵，那么两次要摆成的正方阵所需要的棋子数一定是两个相邻的平方数，像22=4，32=9，4和9是两个相邻的平方数。题中告诉我们，第一次摆成正方阵后，余下12枚棋子，第二次摆成正方阵时缺少9枚棋子，那么两次摆成正方阵后棋子数相差129=21枚。也就是说，两个相邻 的平方数相差21。我们知道102=100，112=121，而121100正好是21。由此得出，这堆棋子共有10012=112（枚）或1219=112（枚）解法（2）根据题意，第二次摆成的正方阵要比第一次摆成的正方阵多用了第一次摆成的正方形最外一层每边棋子数的2倍多1枚。题中告诉我们，第二次摆成正方阵还差9枚棋子，而第一次摆成正方阵后余下12枚，就是说，第二次摆成的正方阵由于多摆了一层而多用了129=21枚棋子，多用的棋子数比第一次摆成正方阵的最外一层每边的棋子数的2倍多1枚。因此第一次摆成正方阵时，最外一层每边上的棋子数是：（9121）2=10（枚）那么这些棋子数是：101012=112（枚）或（101）（101）-9=112（枚）下面再用方程表示：设第一次摆成正方阵时，最外一层的棋子数为x枚，则2x+1=912 x=10这些棋子共有101012=112（枚）或（101）（10+1）-9=112（枚）12.有两列数，它们各自按一定的规律排列。第一列数是：3、5、7、9、，第二列数是：4、9、14、19、24、，第一列数中的第1个数与第二列数中的第1个数相加是3+4；第一列数中的第2个数与第二列数中的第2个数相加是5+9；那么两列数第80个数相加，是几+几？解：观察两列数排列的规律不难发现：第一列数是从3开始、公差为2的数列，因此第一列数的第 80个数是 3 2（801）=161。第二列数是从4开始、公差为5的数列，因此第二列数的第 80个数是 45（801）=399。由此得出这两列数的第80个数相加是161+39913.有7000多棵小树苗，按着六种规格捆成若干小捆。如果每10根捆成1捆，结果剩下9棵；如果每9棵捆成1捆，结果剩下8棵；第三、四、五、六种规格是：分别以8棵、7棵、6棵、5棵捆成1捆，那么最后分别剩下7棵、6棵、5棵、4棵。问一共有多少棵小树苗？解：5、6、7、8、9、10的最小公倍数是2520，它的3倍是7560，75601=7559（棵）14.有几个长方形，它们的长和宽的长度都是小于10的自然数，并且各个长方形的宽与长的比值都比3/10大，比1/2小。那么这几个长方形的面积总和是多少？解：们的总和是13315.有一个数比30小，它与2的差能被3整除。它与3的和能被4整除。它与1的和能被5除整除。这个数除以60的余数是几？解：45+353+34260=2929除以60的余数是29。16.如果两个数的和是80，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？解：4875=355513由此得出这两个数是：5与75或15与65。这两个数的差是 70或50。17.一个六位数，把它的末三位一起搬到前三位的前面，成为一个新的六位数，而原来那个六位数的7倍正好等于新的六位数的6倍。原来的六位数是多少？解：由此得出，原来那个六位数是461538。18.某校六年级学生按一层男生、一层女生地排成一个正方阵。又知道男生比女多25人，这个学校的六年级共有多少学生？解：根据男生比女生多25人，可知方阵中心站1名男生，这个方阵共排19.在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？解：根据已知条件，符合要求的数不可能有一位数及两位数。在三位数及四位数中，奇、偶数位上数字和的差不可能是0，只能是11。因此在三位数中，只有十位数字为1，个位与百位数字之和为12的一些数。于是得出符合要求的数有319、913、418、814、517、715、616、共有7个数。在四位数中有（39）-（10）=11、（4+8）-（10）=11、（5+7）-（1+0）=11、（66）-（1+0）=11。于是得出符合要求的数有1309、1903、3091、3190、1408、1804、4081、4180、1507、1705、1606共11个数。合起来共有711=18个小于5000的数，其数字和为13，并且能被11整除。20.有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数。已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88分、85分、80分，最低分是30分，又知道没有与前三名得分相同的学生，其它任何一个分数，得到这个分数的都不超过3人。那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少名？解：要求得分不低于60分的学生至少有多少人，那么不及格的人数应尽量多，得高分的也应尽量多。根据题意，不及格的学生最多占去的分数是：（3031325859）3=4005（分）除去不及格的及前三名学生的得分，还有4729-4005-88-85-80=471（分）再从这471分中依次去掉3个79分，3个78分，得471-793-783=0（分）这说明得79分的有3人，得78分的有3人。再加上前三名学生，共9人及格，这就是说，不低于60分的学生至少有9人。21.某班一次考试有52人参加，共考5个题，每道题做错的人数如下：又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？解：根据已知，全班52人应做对552=260（道）题。实际做对260-（46102039）=181（道）题。做对2道、3道、4道题的有52-7-6=39（人）。做对1道题及5道题的共做对17+56=37（道）题，那么做对2道、3道、4道题的39人共做对181-37=144（道）题。题中告诉我们，做对2道、3道题的人数一样多，可以把他们看成做对了（23）2=2.5（道）题。假设做对2道、3道、4道题的39人全做对了2.5道题，那么做对了4道题的有（1442.539）（42.5）=31（人）22.某车间原有工人不少于63名。在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后每天都增调1人进车间工作。现在知道，这个车间在1月份每人每天生产1件产品，共生产了1994件。试问1月几号开始调进工人？共调进了多少工人？解：根据题意可得1994=633141 1994=643110而19946531，也就是说，这个车间原有工人63人或64人，于1月份可生产6331=1953件产品或生产6431=1984件产品，这样还差41件或10件产品未完成。根据已知，应把41或10表示为若干连续自然数之和。我们知道，41=2021，10=1234，这就是说，1月30日开始调进20人，1月31日再增调1人，共调进21人。或1月28日开始调进1人，以后每天增调1人，到1月31日共调进4人23.打一份稿件，甲单独打，要6小时完成。如果按甲、乙、丙轮流每人打1小时的顺序去打，正好用整小时数完成；如果按乙、丙、甲轮流每人打1小时的顺序去打，就要比按甲、乙、丙轮流的顺序去打多用0.5小时完成；如果按丙、甲、乙轮流每人打1小时的顺序去打，就要比按甲、乙、丙轮流的顺序去打多用0.25小时完成。现在由甲、乙、丙合打这份稿件，需要几小时完成？解：如果是甲最后完成，那么完成全部稿件的方案如下：（脚码表示工作的小时数）甲1 乙1 丙1 甲1 乙1 丙1甲1乙1 丙1 甲1 乙1 丙1 甲1乙1丙0.5丙1 甲1 乙1 丙1 甲1 乙1丙1甲0.25由以上三种方案可知，经若干轮后，余下的工作量，甲打1小时完成；或乙打1小时后，丙再打0.5小时完成；或丙打1小时后，甲再打0.25小时完成。由此得出：打这份稿件，所用的时间是：由上面得出的合打时间可知，甲、乙、丙各打2小时后，甲、乙、丙还1小时完成相矛盾。这说明最后完成的是乙而不是甲。由乙最后完成，那么完成全部稿件的方案如下：甲1 乙1 丙1 甲1 乙1 丙1甲1乙1乙1 丙1 甲1 乙1 丙1 甲1乙1丙1甲0.5丙1 甲1 乙1 丙1 甲1 乙1丙1甲1乙0.25由以上方案可知，用、乙、丙经若干轮后，余下的工作甲打1小时，乙再打1小时完成；或乙打1小时、丙打1小时后，甲再打0.5小时完成；或丙打1小时、甲打1小时后，乙再打0.25小时完成。由此得出进而求出甲、乙、丙的工效之和是：甲、乙、丙合打这份稿件，需要甲、乙、丙各打2小时后，余下的工作由甲先打1小时，再由乙打还要 另外一种方法解：由于更换打印的顺序就会造成完成的时间不同，可以知道顺序打印的时候完成打印的是甲或者是乙。设乙丙打印的速度为x，y若是甲 则可以得到 x+0.5y=1/6y+0.25*1/6=1/6解得x=5/48 y=1/8验证按甲乙丙的顺序打时，是否用整小时打完 发现不能，故这种情况是不合理的。故应该由乙完成，同样可以得到1/6+x=x+y+1/12y+0.25x=x解得x=1/9 y=1/12 验证正好可以整小时完成故合作时，每小时完成1/6+1/9+1/12=13/36，故需要36/13小时 如果问题是甲乙丙轮流打时需要的小时数应该为8小时，甲、乙打印了3小时，丙打印了2小时。3解：设甲的每小时功效为V甲、乙的每小时功效为V乙，丙的每小时功效为V丙根据题意可知，如果按甲、乙、丙、甲、乙、丙丙最后完成的顺序去打，或按乙、丙、甲、乙、丙、甲甲最后完成的顺序去打，或按丙、甲、乙、丙、甲、乙乙最后完成的顺序去打，完成这份稿件都应是3小时的整倍数。但是题中告诉我们，如果按乙、丙、甲的顺序去打，要比按甲、乙、丙的顺序去打多用0.5小时完成；如果按丙、甲、乙的顺序去打，要比按甲、乙、丙的顺序去打多用0.25小时完成。如按甲、乙、丙的顺序去打，题目要求是整数小时，这就得出最后完成这份稿件的不是丙（因为丙、甲、乙2个循环时间才是0.252=0.5小时，不是整数）。所以最后完成这份稿件一定是是甲或乙（这是本题理解的第一个难点，呵呵！），下面依次推演1）、假设如果是甲最后完成，那么完成全部稿件的方案如下：（脚码表示工作的小时数）n甲、乙、丙、甲、乙、丙甲1n乙、丙、甲、乙、丙、甲乙1丙0.5n丙、甲、乙、丙、甲、乙丙1甲0.25由以上三种方案可知，经若干轮后，余下的工作量，甲打1小时完成；或乙打1小时后，丙再打0.5小时完成；或丙打1小时后，甲再打0.25小时完成。V甲=V乙+V丙0.5= V丙+ V甲0.25根据题意知：V甲=1/6，上式化简为：1/6= V丙+1/60.25，得V丙=1/8，进而得V乙=5/48那么甲、乙、丙的功效和是：1/6+1/8+5/48=19/48所以甲、乙、丙合打稿件所用时间为：119/48=2 其中，甲、乙、丙各打2小时后，剩余的小时完成的工作量是19/48=5/24，这与甲一小时完成的工作量1/6相矛盾，所以最后完成工作