图象的傅立叶变换.doc

二、图像数据的傅立叶变换 图像变换在图像处理和分析中起着重要的作用。为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间中，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到所需的处理效果。这些转换方法就是本节要介绍和讨论的图像频域变换技术。图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：正交变换必须是可逆的；正变换和反变换的算法不能太复杂；在变换域中图像能量集中分布在低频率的成分上，边缘、现状信息反映在高频率成分上，以有利于图像处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。在此首先讨论常用的傅立叶变换。图像的傅立叶变换将图像空间变换到频域空间，从而可利用傅立叶频谱特性进行图像处理。 傅立叶变换是一种可分离和对称变换，下面先介绍这两个基本特性，然后再给出2-D傅立叶的变换定义和定理，以及变换实例(章毓晋,2009)。（一）可分离和对称变换 图像至少是2-D的，2-D图像的正变换（简称变换）和反变换可分别表示为：Tu,v=x=0N-1y=0N-1fx,yh(x,y,u,v) u，v=0，1，N-1 （2.22）fx,y=u=0N-1v=0N-1Tu,vkx,y,u,v x，y=0，1，N-1 （2.23）其中Tu,v为fx,y的变换，h(x,y,u,v)是正向变换核；fx,y为Tu,v反变换，k(x,y,u,v)是反向变换核。这两个核均依赖于x,y,u,v，而与fx,y或Tu,v的值无关。可分离变换是图像变换的一种，它的变换核是可分离的；另外，图像变换中有一类是对称变换，对称变换的核是对称的。下面以正向变换核为例进行介绍。首先，如果下式成立：hx,y,u,v=h1x,uh2(y,v) （2.24）则称正向变换核实可分离的。进一步，如果h1和h2的函数形式一样，则称正向变换核是对称的，此时式（2.24）可写成：hx,y,u,v=h1x,uh1(y,v) （2.25）具有可分离变换核的2-D变换可分成两个步骤来计算，每个步骤使用一个1-D变换。具体实现时可如下考虑：将式（2.24）代入式（2.22），首先沿着fx,y的每一列进行1-D变换得到：Tx,v=y=0N-1fx,yh2y,v x，v=0，1，N-1 （2.26）然后沿的每一行进行1-D变换得到Tu,v=x=0N-1Tx,vh1x,u u，v=0，1，N-1 （2.27） 如果变换核是可分离的和对称的函数时，变换可用矩阵形式表示。以正变换为例，有T=AFA （2.28）其中F是NxN图像矩阵，A是NxN对称变换矩阵，其元素为，T是输出的NxN变换结果，为了得到反变换，对式两边各乘一个反变换矩阵BBTB=BAFAB （2.29）如果B=A-1，则F=BTB （2.30）这表明图像F可完全恢复，如果B不等于A-1，则可由式得F的一个近似：F=BAFAB （2.31）利用矩阵形式的变换表示的一个优点是，所得到的变换矩阵分解成刻分解成若干个具有较少非零元素的乘积，这样可减少冗余并减少操作次数。（二）2-D傅立叶变换 自20世纪60年代傅立叶变换的快速算法提出来以后，傅立叶变换在信号处理和图像处理中都得到了广泛的使用。一般的傅立叶变换在信号处理课程中有介绍，这里直接介绍2-D傅立叶变换。2-D图像的正反傅立叶变换分别定义如下（其中u和v均为频率变量）：Fu,v=1N2x=0N-1y=0N-1fx,yexp-j2(ux+vy)N u, v=0, 1, , N-1 （2.32）fx,y=u=0N-1v=0N-1Fu,vexpj2(ux+vy)N x, y=0, 1, , N-1 （2.33）由以上定义可见正反傅立叶变换都是可分离的和对称的。 一个2-D离散函数的平均值可用下式表示：f=1N2x=0Ny=0Nf(x,y) （2.34） 如将u=v=0代入式（2.32），可以得到F0,0=1N2x=0N-1y=0N-1fx,y （2.35）比较可得f=F(0,0)，即1个2D离散函数的傅立叶变换在原点的值等于该函数的均值。2-D傅立叶变换的频谱（幅度函数）、功率谱（频谱的平方）和相位角定义如下：F(u,v)=R2u,v+I2u,v12 （2.36）P(u,v)=R2u,v+I2u,v （2.37）u,v=arctanI(u,v)R(u,v) （2.38）其中R(u,v)和I(u,v)分别为F(u,v)的实部和虚部。（三）傅立叶变换定理 设f(x,y)和F(u,v)构成一对变换，即f(x,y)F(u,v) （2.39）则有以下定理成立：1平移定理 傅立叶变换的平移定理可写成（a,b,c和d均为标量）f(x-a,y-b)e-j2(au+bv)/NF(u,v) （2.40）F(u-c,v-d)ej2cx+dyf(x,y) （2.41） 式（2.40）表明将f(x,y)在空间平移相当于把其变换域与一个指数项相乘，式（2.41）表明将f(x,y)在空间上与一个指数项相乘相当于把其变换在频率域平移。（2.40）表明f(x,y)平移不改变傅立叶变换的幅值。2旋转定理 傅立叶变换的旋转定理反应了傅立叶变换的旋转性质。首先借助极坐标变换：x=rcos，y=rsin; u=wcos，v=wsin. 将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,)和F(w,)，直接代入傅里叶变换得到（0为旋转的角度）fr,+0F(w,+0) （2.42）上式表明对f(x,y)旋转0对应于对傅立叶变换F(u,v)也旋转0。类似的，对F（u,v）旋转0对应于对其傅立叶反变换f(x,y)旋转0。3尺度定理 傅立叶变换的尺度定理也称相似定理，它给出傅立叶变换在尺度（缩放）变化时的性质，可用下两式（其中a和b均为标量）： afx,yaF(u,v) （2.43）fax,by1a*bF(ua,vb) （2.44）上两式表明，对fx,y在幅度方面的尺度变化导致对其傅立叶变换F(u,v)在幅度方面对应尺度的变换，而对fx,y在空间尺度方面的缩放则导致其傅立叶变换F(u,v)在频域尺度方面相反的放缩。上式还表明，对fx,y的收缩（a1,b1）不仅导致F(u,v)的膨胀，而且会使它的幅度减小。 4卷积定理卷积定理指出：两个函数在空间的卷积与它们的傅立叶变换在频域的乘积构成一对变换，而两个函数在空间上的乘积与它们的傅立叶变换在频域的卷积构成一对变换：fx,yg(x,y)F(u,v)G(u,v) （2.45）fx,yg(x,y)F(u,v)G(u,v) （2.46）（5）相关定理相关定理指出：两个函数在空间的相关与它们的傅立叶变换（其中有一个其复共扼）在频域的乘积构成一对变换，而两个函数（其中有一个其复共扼）在空间上的乘积与它们的傅立叶变换在频域的相关构成一对变换：fx,yg(x,y)F*(u,v)G(u,v) （2.47）f*x,ygx,yFu,vGu,v （2.48）如果fx,y和g(x,y)是同一函数则称为自相关函数，如果不是，则成为互相关。（四）傅立叶变换示例程序图像的离散傅立叶变换，同屏显示并对比中心化前后的图像的频谱图；对图像进行旋转、缩放，同屏显示几何变换后的图像频谱图。（注意这里频谱中心化的目的是将零频置于中心,由中心向外依次是低频、高频。它的实现方式是首先令f2x,y=-1x+yf1(x,y)，然后对f2进行傅立叶变换）。表9-2为实现以上问题的示例程序，图9-12为图像及其频谱图的对应。(a) 原图像(b) 原图像频谱图(c) 缩小1倍后的图像缩小1倍后的图像对应的频谱旋转30度后的图像旋转30度后的图像对应的频谱放大1倍后的图像放大1倍后的图像对应的频谱图9-12 图像及其频谱图表9-2 傅立叶变换程序% 傅立叶变换的性质:旋转、缩放定理 close all clear all % 输入图像 f1 = imread(201by201.jpg); f1=double(f1); rows,columns=size(f1);% 应用 fast Fourier transform (FFT) algorithm对f1(x,y)作傅立叶变换，fft2支持浮点型数据 double或single FFT_f1=fft2(f1);% 求f1(x,y)的频谱FFT_f1_freq=abs(FFT_f1);% 求f1(x,y)的功率谱FFT_f1_energy=FFT_f1_freq.2;%频谱中心化实现方式有两种% (1)利用乘法运算实现x,y = meshgrid(1:rows,1:columns); dMult=(-1).(x+y); f2=dMult.*f1;FFT_f2=fft2(f2);%（2）调用Y = fftshift(F)实现，它与ifftshift配对出现 ifftshift(fftshift(F)% FFT_f2=fftshift(FFT_f1);% 求f2(x,y)的频谱FFT_f2_freq=abs(FFT_f2);% 求f2(x,y)的功率谱FFT_f2_energy=FFT_f2_freq.2;% 可视化频谱图像,对频谱值取对数后显示 对比中心化前后图像的频谱图figure(1)subplot(1,3,1); imshow(mat2gray(f1);subplot(1,3,2); imshow(mat2gray(log(FFT_f1_freq);subplot(1,3,3); imshow(mat2gray(log(FFT_f2_freq);% 将原图像旋转生成f3 示例旋转30度theta = 30;f3 = imrotate(f1,theta);FFT_f3=fft2(f3);FFT_f3=fftshift(FFT_f3);%中心化% 求f3(x,y)的频谱FFT_f3_freq=abs(FFT_f3);figure(2),subplot(1,2,1); imshow(mat2gray(f3)subplot(1,2,2); imshow(mat2gray(log(FFT_f3_freq);title(rotation)% 将原图像缩小生成f4scale = 0.5;f4 = imresize(f1,scale); % Try varying the scale factor.FFT_f4=fft2(f4);FFT_f4=fftshift(FFT_f4);%中心化% 求f4(x,y)的频谱FFT_f4_freq=abs(FFT_f4);figure(3),subplot(1,2,1)imshow(mat2gray(f4)subplot(1,2,2)imshow(mat2gray(log(FFT_f4_freq);title(resize by 0.5)% 将原图像放大生成f5scale = 2.0;f5 = imresize