概率08-随机变量-2012.ppt

第11章随机变量及其概率分布 随机变量的定义与性质离散与连续型随机变量间的关系概率密度与概率分布函数几种常见的概率分布类型 一 随机变量概念的产生 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 四月份北京的最高温度 每天从北京站下火车的人数 昆虫的产卵数 2 在有些试验中 试验结果看来与数值无关 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样 二者建立了一种对应关系 例电话总机某段时间内接到的电话次数 可用一个变量X来描述 例抛掷一枚硬币可能出现的两个结果 也可以用一个变量来描述 在测试前 就像我们不知道试验的结果是什么一样 我们也不知道这个变量可能取什么值 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数 e X e R 这种实值函数为每一个样本点都赋予一个实数值 因此以后我们在讨论试验结果时 不用再说取到了某某样本点 而直接利用这个实值函数提供的对应关系 说试验结果是某个实数 说某个事件A发生时 不再罗列样本点的特征 利用这个实值函数提供的对应关系 直接说此函数值在什么范围内取到 A 这种定义在样本空间上的实值函数即随机变量 randomvariable 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数 e X e R A 这种定义在样本空间上的实值函数即随机变量 比如掷骰子 结果可以定义成 X 1 2 3 4 5 6 总机每个小时接到的呼叫数 结果可以定义成 X 0 1 2 3 箱子里有红球白球 将取到红球记做X 0 取到白球记做X 1 火炮射击 中靶记做X 1 脱靶记做X 0 定义设E是一随机试验 是它的样本空间 则称 上的单值实值函数X 为随机变量 若 随机变量的数学定义 随机变量通常用大写字母X Y Z 或希腊字母 等表示 定义域 样本空间 解释 在一定条件下 随机实验的每一个可能结果w都唯一地对应与一个实值函数 则称为一个随机变量 1 引入随机变量后 用随机变量的等式或不等式表达随机事件 2 在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量 3 随机变量的函数一般也是随机变量 例如 从某学校随机选一学生 测量身高 如P X 1 7 P X 1 5 P 1 5 X 1 7 我们可以把可能的身高看作随机变量X 问的就是测量结果在某个范围内的概率 通常人的身高与体重成一定比例 比如 在上面的定义下 体重W也是基于测量结果的一个随机变量 对同一批学生 取X为身高 Y为体重 Z为出生日期 掷骰子 取X为点数 Y为数字的奇偶 如 若用X表示电话总机在9 00 10 00接到的电话次数 或 表示 某天9 00 10 00接到的电话次数超过100次 这一事件 则 例如 要研究某地区儿童的发育情况 往往需要多个指标 例如 身高 体重 头围等 儿童的发育情况 X 身高 Y 体重 Z 头围 各随机变量之间可能有一定的关系 也可能没有关系 即相互独立 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 二 引入随机变量的意义 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 X1 没有收到呼叫 X 0 可见 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 就象数学分析中常量与变量的区别那样 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 三 随机变量的分类 通常分为两类 如 取到次品的个数 收到的呼叫数 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个一一列举 例如 电视机的寿命 实际中常遇到的 测量误差 等 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 这两种类型的随机变量因为都是随机变量 自然有很多相同或相似之处 但因其取值方式不同 又有其各自的特点 随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量 学习时请注意它们各自的特点和描述方法 解 分析 例1一报童卖报 每份0 15元 其成本为0 10元 报馆每天给报童1000份报 并规定他不得把卖不出的报纸退回 设X为报童每天卖出的报纸份数 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示 当0 15X 1000 0 1时 报童赔钱 故 报童赔钱 X666 报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本 下面分别对上述两类随机变量加以介绍 设X是一个离散型随机变量 它可能取的值是x1 x2 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个值的概率 四 离散型随机变量及其分布函数 1 离散型随机变量的分布 这样 我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0 1 2 取每个值的概率为 例1 且 一般地 我们给出如下定义 其中 k 1 2 满足 2 定义1 设xk k 1 2 是离散型随机变量X所取的一切可能值 称 k 1 2 为离散型随机变量X的概率函数或分布律 也称概率分布 用这两条性质判断一个函数是否是概率函数 例设袋中有5只球 其中有2只白3只黑 现从中任取3只球 不放回 求抽得的白球数X为k的概率 解k可取值0 1 2 即随机变量 抽得的白球数X 的分布律 解 依据概率函数的性质 a 0 从中解得 欲使上述函数为概率函数 应有 作业 本章习题 1 2 3 2 表示方法 1 列表法 2 图示法 3 公式法 X 例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布 解 X可取0 1 2为值 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 且P X 0 P X 1 P X 2 1 常常表示为 这就是X的概率分布 例4 某射手连续向一目标射击 直到命中为止 已知他每发命中的概率是p 求所需射击发数X的概率函数 解 显然 X可能取的值是1 2 P X 1 P A1 p 为计算P X k k 1 2 Ak 第k发命中 k 1 2 设 于是 可见 这就是求所需射击发数X的概率函数 P X 1 P A1 p Ak 第k发命中 k 1 2 设 于是 若随机变量X的概率函数如上式 则称X具有几何分布 不难验证 例5 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务 每出租一辆汽车 可从出租公司得到3元 因代营业务 每天加油站要多付给职工服务费60元 设每天出租汽车数X是一个随机变量 它的概率分布如下 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率 分析 加油站代营每出租一辆车 可得3元 每天出租汽车数为X 因代营业务得到的收入为3X元 每天加油站要多付给职工服务费60元 即当天的额外支出费用 因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 P 3X 60 即P X 20 注意到 也就是说 加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0 6 P X 20 P X 30 P X 40 0 6 解 每个分子的运动是相互独立的 在左边还是右边是等可能的 概率都是0 5 例6 N个可以辨认的分子 在一容器内自由运动 如今从中隔开 观察左边分子的个数 试求其概率分布 设左边分子的个数为X 我们来求X取每个值的概率 X可取0 1 N为值 设左边分子的个数为X P X k k 0 1 N X可取0 1 N为值 共N个分子 某固定k个分子在左端 其余N k个分子在右端的概率是 0 5 k 0 5 N k 左端有k个分子的所有情况数为从N个不同元素中取k个的组合 即种 于是 只要知道了随机变量的概率分布 就可以计算与该随机变量有关的事件的概率 可以验证 例7一门大炮对目标进行轰击 假定此目标必须被击中r次才能被摧毁 若每次击中目标的概率为p 0 p 1 且各次轰击相互独立 一次一次地轰击直到摧毁目标为止 求所需轰击次数X的概率分布 注 1 0 1两点分布 注其分布律可写成 3 常见的离散型随机变量的分布 常用0 1分布描述 如产品是否格 人口性别统 计 系统是否正常 电力消耗是否超负荷等等 2 二项分布 背景 n重Bernoulli试验中 每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的次数 X是一离散型随机变量 若P A p 则 称X服从参数为n p的二项分布 记作 0 1分布是n 1的二项分布 例8进行独立重复试验 每次成功的概率为p 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数 求X的分布律 解 m 1时 m 1时 X的全部取值为 m m 1 m 2 P X m 1 P 第m 1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m 1次 例9独立射击5000次 每次的命中率为0 001 求 命中次数不少于2次的概率 令X表示命中次数 则X B 5000 0 001 解 显然 一次射击能够命中是小概率事件 几乎不可能发生 在一定时间间隔内 一匹布上的疵点个数 大卖场的顾客数 应用场合 电话总机接到的电话次数 一个容器中的细菌数 放射性物质发出的粒子数 一本书中每页印刷错误的个数 某一地区发生的交通事故的次数 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 若它们满足一定的条件 则称为Poisson流 在长为t的时间内出现的质点数Xt P t 市级医院急诊病人数 等等 例10 设印刷厂生产中每页出现印刷错误的数目服从的泊松分布 求一页上印刷错误不超过3个的概率 解 设为一页上出现印刷错误的数目 有则 例11设某国每对夫妇的子女数X服从参数为 的泊松分布 且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e 2 求任选一对夫妇 至少有3个孩子的概率 解 由题意 例12某厂产品不合格率为0 03 现将产品装箱 若要以不小