第2章1-3时域离散信号和系统的频域分析.ppt

第二章时域离散信号和系统的频域分析 TheFrequency domainAnalysisoftheDiscreteTimeSignal System 内容提要 时域离散信号的傅里叶变换周期序列的傅里叶级数序列的Z变换讨论Z变换的定义和收敛域逆Z变换Z变换的定理和性质系统的频率响应系统函数的零极点分布特殊系统的系统函数及特点 信号和系统的分析方法 时域分析和频域分析模拟信号 连续时间函数表示信号 微分方程表示系统 FT或LT表示其频域时域离散信号 序列表示信号 差分方程描述系统 FT或Z变换表示其频域 2 2 1时域离散信号的傅里叶变换 而f j 的傅里叶反变换定义为 连续时间信号f t 的傅里叶变换定义为 时域离散信号x n 的傅里叶变换定义为 X ej 的傅里叶反变换定义为 在物理意义上 X ej 表示序列x n 的频谱 为数字域频率 X ej 一般为复数 可用它的实部和虚部表示为 或用幅度和相位表示为 2 2 1 例2 9求下列信号的傅里叶变换 解 时域离散信号的傅里叶变换具有以下两个特点 1 X ej 是以2 为周期的 的连续函数 2 当x n 为实序列时 X ej 的幅值 X ej 在0 2 区间内是偶对称函数 相位arg X ej 是奇对称函数 Note 并不是任何序列x n 的傅里叶变换都是存在的 条件 只有当序列x n 绝对可和 即 时 式 2 2 1 中的级数才是绝对收敛的 或x n 的傅里叶变换存在 1 FT的周期性 2 2 2时域离散信号傅里叶变换的性质 n M为整数 2 2 6 因此序列的傅里叶变换是频率 的周期函数 周期是2 X ej 是傅里叶级数的形式 x n 是其系数 2 线性 设 则 3 时移和频移特性 设 则 2 2 8 2 2 9 4 序列的折叠 设 则 5 序列乘以n 设 则 6 序列的复共轭 设 则 7 序列的傅里叶变换的对称性 首先定义两个对称序列 共轭对称序列xe n 定义为xe n xe n 共轭反对称序列xo n 定义为xo n xo n 此处上标 表示复共轭 其中 共轭对称序列的实部是偶函数 而虚部是奇函数共轭反对称序列的实部是奇函数 而虚部是偶函数 序列的傅里叶变换X ej 可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和 即 其中 FT的对称性 a 将序列x n 分成实部xr n 与虚部xi n x n xr n jxi n 将上式进行FT 得到X ej Xe ej Xo ej 式中 结论 序列分成实部与虚部两部分 实部的FT具有共轭对称性 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性 b 将序列分成共轭对称部分xe n 和共轭反对称部分xo n 即x n xe n xo n 2 2 25 其中 将上面两式分别进行FT 得到FT xe n 1 2 X ej X ej Re X ej XR ej FT xo n 1 2 X ej X ej jIm X ej jXI ej 结论 序列的共轭对称部分xe n 对应着FT的实部XR ej 而序列的共轭反对称部分xo n 对应着FT的虚部 包括j 所以 X ej XR ej jXI ej 2 2 26 分析实序列h n 的对称性FT只有共轭对称部分He ej 共轭反对称部分为零 H ej He ej H ej H e j 实序列的FT的实部是偶函数 虚部是奇函数 用公式表示为HR ej HR e j HI ej HI e j 实序列h n 分解为共轭对称部分和共轭反对称部分 h n he n ho n 则 he n 1 2 h n h n ho n 1 2 h n h n 因为h n 是实因果序列 2 2 27 2 2 28 实因果序列h n 分别用he n 和ho n 表示为h n he n u n 2 2 29 h n ho n u n h 0 n 2 2 30 2 2 31 8 序列的卷积 设 则 9 序列相乘 设 则 10 Parseval定理 帕斯维尔定理告诉我们 信号时域的总能量等于频域的总能量 2 3周期序列的离散傅里叶级数 2 3 1定义 设是以N为周期的周期序列 由于是周期性的 可以展成傅里叶级数 2 3 1 求傅里叶级数的系数ak k 2 3 3 取整数 因为 所以系数ak也是周期序列 满足ak ak lN 令 也是一个以N为周期的周期序列 称为的离散傅里叶级数 用DFS DiscreteFourierSeries 表示 上式两端乘以 并对k在一个周期中求和 得到 2 3 5 可得 式 2 3 6 和式 2 3 7 称为一对DFS 2 3 5 式