初中数学例说代数方程在几何计算题中的应用.doc

初中数学例说代数方程在几何计算题中的应用 几何计算题，是在给定的已知条件下，求某些线段的长度、角的度数、两条线段的比值、图形的面积等等，它的基本问题是求线段的长度和角的大小。怎样利用方程思想去解答几何计算题？我们一般先设要求的线段的长度或角的度数为未知数，设法把其他有关的量用含未知数的代数式表示，然后把它们代入到等量关系中，建立一个代数方程或方程组，最后通过解方程或方程组得到所要求的结果。一、求线段的长度 例1 如图1，四边形ABCD是矩形，AD10，DC8，以DF为折痕把RtADF折叠，使点A落在BC上的点E处，求BF的长。 解析：要求BF的长，可把它放到RtBEF中去考虑，根据已知条件及观察图形，可以发现RtADFRtEDF，因此DEAD10，故在RtBEF中，设BFx，则EFAF8x，又BE4，根据勾股定理得方程解方程得，即BF的长为3。 例2 如图2，六边形ABCDEF由五个相同的正方形组成，正方形的边长为1cm，过点A的一条直线和ED、CD分别相交于点M、N，若这个六边形在直线MN两侧的部分有相等的面积，则EM的长度是_。解析：设，则由AQMNPA，得即，又由MND的面积得即将代入，可得。由与可知，x、y是一元二次方程的两个根，解此方程得或，因为，即，所以故二、求角的度数例3 如图3，在ABC中，ABAC，BAC和ACB的平分线相交于点D，ADC130，那么CAB的大小是（ ）A. 80B. 50C. 40D. 20解析：因为要求的是CAB的度数，又已知ADC30，所以选择ADC的内角和等于180为等量关系。设CABx，因为DA是BAC的平分线，所以CAD。因为ABAC，所以ACD（180x）。于是可得方程，解方程得x20，即CAB30，故选D。例4 如图4所示，ABC中，BC，D在BC上，E在AC上，BAD50，AEAD，求EDC的度数。解析：设EDCx，BCy，由AEAD，得ADEAEDxy，所以ADCADEEDCxyx2xy。又因为ADC是ADB的一个外角，所以ADCBBADy50，于是得方程，解方程得x25。三、求图形的面积例5 如图5，ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD的面积。解析：要求的是四边形AEFD的面积，而已知的是BEF、CDF、BCF的面积，可用分割求和的方法。连接AF，将四边形AEFD分割成两个三角形：AEF、ADF。设，如果能求出x、y，则四边形AEFD的面积可求。因为ABF与ADF同高，AEF和ACF同高，所以易得方程组解方程组得，所以四边形AEFD的面积为22。例6 如图6，一个矩形被分成六个大小不一的正方形，现在只知道中央小正方形的面积是1，求整个矩形的面积。解析：图中每个小正方形之间多存在着互相依赖关系，我们只要设右下角小正方形的边长为x，则其他小正方形的边长多可以用含x的代数式表示（见图6），考虑图中最大的正方形的边长，则有，解得。所以矩形的面积例7 如图7，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB2km，BC3km，在B村的正北方向有一D村，测得ADC45，今将ADC区域规划为开发区，除其中的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求此建筑及绿化用地的面积。解析：注意题目的条件ADC45，如果将RtABD与RtCBD分别沿AD、CD对折，得RtAED与RtCFD，再延长EA、FC相交于G。显然RtAEDRtABD，RtCFDRtCBD，所以EF90，EDF2ADC90