第七章 实数的完备性.doc

第七章 实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理教学目的与要求：1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备；2）掌握区间套、聚点等重要概念； 3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。教学重点，难点：熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法, 提高学生的分析论证能力教学内容：一 区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列具有如下性质：（i）(ii),则称为闭区间套，或简称区间套这里的性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：(1)定理7.1（区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得即（）分析 即要证明闭区间列有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）式和单调有界定理可以知道数列和都存在极限，我们只要证明这两个数列极限相等且属于所有的，则找到一个公共点；然后证明唯一性。证由（）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有（）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有，（）且（）联合（3）、（5）即得（2）式最后证明满足（2）的是唯一的设数也满足则由（）式有由区间套的条件（ii）得故有注1区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立对于开区间列，有可能不成立，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点注2 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰当地构造区间套。一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，即闭区间列满足（i） (ii), 另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中。前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间唯一存在公共点；后者则把证明整个区间上所具有某性质的问题归结为点邻域的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化。由（）容易推得如下很有用的区间套性质：推论若是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的数列的柯西收敛准则（定理.）,即数列收敛的充要条件是：对任给的,存在,使得对有.分析 由数列极限定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限。我们将对柯西列构造区间套，使得在每个外只有数列中有限项。证 必要性 设由数列极限定义, 对任给的,存在,当时有因而 充分性 按假设,对任给的,存在,使得对一切有,即在区间内含有中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”)。 据此，令则存在，在区间内含有中几乎所有的项，记这个区间为 再令，则存在在区间内含有内含有中几乎所有的项。记 它也含有中几乎所有的项，且满足 继续依次令，照以上方法得一闭区间列其中每个区间都含有中几乎所有的项，且满足即是区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数。 现在证明数就是数列的极限。事实上，由定理7.1的推论，对任给的，存在使得当时有因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得. 注 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限。注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法。二 聚点定理与有限覆盖定理定义2 设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于）。若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点。例如，点集只有一个聚点又若S为开区间（a,b）,则（a,b）内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点。注1 点集的聚点可以属于，也可以不属于；注2 设是数集，不是的聚点存在，在中至多包含中有限多个点。聚点概念的另两个等价定义如下：定义 对于点集，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为S的一个聚点。定义 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点。关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下。1）定义2定义是显然的，2）定义 定义2也不难得到；3）定义定义证 设为(按定义)的聚点,则对任给的,存在.令,则存在令,则存在，且显然令,则存在且无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数 列，且由，易见注 本证明中取，为了保证数列收敛到，因此可以取其他的小量；而取则是为了保证点列的各相互异性。注意这种技巧。应用区间套定理来证聚点定理 定理. (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.分析 为有界点集，把区间二等分，其中必有一子区间内包含中无限多个点，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为的聚点。 证 因为有界点集,故存在使得,记. 现将等分为两个子区间.因为无限点集,故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为,则,且 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足即是区间套，且其中每一个闭区都含有中无穷多个点。 由区间套定理，存在唯一的一点于是由定理7.1的推论，对任给的，存在，当时有从而内含有中无穷多个点，按定义，为的一个聚点 推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列 证设为有界数列若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 若数列不含有无限多个相等的项，则在数轴上的对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为于是按定义，存在的一个收敛子列（以为其极限） 作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 证 设数列满足柯西条件。先证明是有界的。为此，取，则存在正整数N，当时有 由此得令 则对一切正整数 于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列对任给的 因而当取时，得到这就证明了.定义3 设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定例如，若函数在内连续，则给定，对每一点，都可确定正数（它依赖于与），使得当时有,这样就得到一个开区间集 它是区间的一个无限开覆盖 定理.（海涅博雷尔（HeineBorel）有限覆盖定理）设闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖分析 用反证法，若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾。 证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖 将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,它满足 即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖 由区间套定理，存在唯一的一点由于是的一个开覆盖，故存在开区间使于是，由定理.推论，当充分大时有 这表明只须用中的一个开区间就能覆盖，这与挑选时的假设不能用中有限个区间来覆盖相矛盾从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖 注1定理.的结论只对闭区间成立，而对开区间则不一定成立例如，开区间集合构成了开区间的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住注2 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，它的好处在以后的应用中我们会看到。* 三实数完备性基本定理的等价性至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即1.确界原理(定理1.1);2.单调有界定理(定理2.9);3.区间套定理(定理7.1);4.有限覆盖定理(定理7.3);5.聚点定理(定理7.2);6.柯西收敛准则(定理2.10).在本书中,我们首先证明了确界原理，由它证明单有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，最后用区间套定理分别证明余下的三个定理事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题对此，我们可按下列顺序给予证明：其中与分别见定理2.9，7.1，与7.3；和请读者作为练习自证（见本节习题和）；而见下例 例用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得不是的上界，即存在，使得分别取则对每一个正整数存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得（）又对正整数是的上界，故有结合（）式得；同理有从而得于是，对任给的存在，使得当时有 由柯西收敛准则，数列收敛记 （）现在证明就是的上确界，首先，对任何和正整数有，由（）式得，即是的一个上界，对任何，由于及