概率论与数理统计(第五章第2节).ppt

1 第二节大数定律 大数定律是在依概率收敛的意义下 描述随机变量序列的算术平均的收敛性的有关定理 先介绍一个重要的不等式 1 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式描述的是随机变量的一个性质 具有重要作用 2 设随机变量X的数学期望和方差都存在 则对任意的实数 0 都有 或 上述不等式称为切比雪夫不等式 3 仅就连续型随机变量证明切比雪夫不等式 有 4 切比雪夫不等式最初是为证明大数定律而引入的 后来发现它还有很多别的作用 估算事件的概率是其中之一 例1 设随机变量X1 X2 X10相互独立并且服从相同的分布 已知它们的数学期望等于0 方差等于1 Y X1 X2 X10 请估算概率P 10 Y 10 之值 5 解 E Y 0 D Y 10 因此 P 10 Y 10 P Y 10 P Y E Y 10 由切比雪夫不等式 有 0 9 因此 概率P 10 Y 10 之值在 0 9 1 中 6 2 大数定律 定义1 设随机变量序列X1 X2 Xn 则称随机变量序列 Xn 服从大数定律 服从大数定律的随机变量序列当n足够大时 变量的算术平均充分接近其数学期望的算术平均有足够大的概率保证 的数学期望均存在 如果 7 服从大数定律的随机变量序列需要满足什么条件 介绍三个常见的定理 1 切比雪夫大数定律 设 Xn 是相互独立的随机变量序列 数学期望和方差均存在 并且方差一致有界 即存在常数C 使D Xi C i 1 2 则随机变量序列 Xn 服从大数定律 8 要证明 Xn 服从大数定律 即是要证明 由于 9 0 P 10 由极限的夹比准则 得到 即是 11 2 独立同分布大数定律 设 Xn 是相互独立的随机变量序列 服从相同的分布 数学期望和方差均存在 则随机变量序列 Xn 服从大数定律 如果记E Xi D Xi 2 i 1 2 即有 12 由于 Xn 相互独立 数学期望和方差均存在 D Xi 2显然一致有界 因此 满足切比雪夫大数定律的条件 故 Xn 服从大数定律 即 而 13 这个定理表明 数学期望和方差均存在的独立同分布随机变量的算术平均 依概率收敛于数学期望 以此为依据 对随机变量X进行独立重复的观察 则观测结果的算术平均以足够大的概率无限接近于X的数学期望 理论均值 14 3 贝努里大数定律 背景 在n重贝努里试验中观察事件A发生的次数 P A p 则A发生的频率依概率收敛于概率p 15 证明 设Xi是第i次试验中A发生的次数 i 1 2 则Xi服从 0 1 分布 且X1 X2 相互独立 由 E Xi p D Xi p 1 p 1i 1 2 于是 Xn 服从大数定律 有 16 贝努里大数定律为 频率稳定于概率 提供了理论依据 因此 假定P A p 则当观察次数n足够大时 事件A发生的次数大致为np 如果p的值很小比如为0 001 则大约在1000次观察中 发生1次 而如果只做1次观察试验 则有足够的理由认为A不会发生 按照上述推理 得到实际应用中经常使用的小概率事件原理 17 小概率事件原理 概率很小的事件在一次试验中几乎不发生 实际处理为不发生 什么样的概率才能视为小概率呢 这是一个主观标准 根据可能产生的后果 一般情况0 05或0 01可视为小概率 关键时刻需要 万无一失 即概率为0 0001的隐患也不能忽视 18 例如 我们曾经对X N 2 计算过X落入以 为中心 k 为半径的区间 k k 内的概率 有 P 3 X 3 0 9974 因此X落在区间