概率统计2-4(1).ppt

1 2 4几种重要的离散型分布 二项分布超几何分布泊松分布在这一节里 我们将集中讨论几种常用的离散型分布 前面提到的两点分布 0 1分布是最简单的离散型分布 它们描述的是只有两种对立结果的随机试验 下面我们将介绍另几种常用离散型分布 它们之间有密切而深刻的内在联系 2 n重伯努利试验 我们前面提到的0 1分布所对应的随机试验称伯努利试验或伯努利概型 即随机试验可能出现的结果只有对立的两种状态 一种记为x 1 其概率为p 另一种记为x 0 其概率为1 p 其概率分布表为 现在我们考虑将上述伯努利试验独立地重复n次 观测其中一种状态出现的次数X 这n次作为一个整体的试验叫做n重伯努利试验 3 n重伯努利试验 例 设某射手每次射击的中靶率为p 0 p 1 该射手射击n次 现在考察这n次射击中中靶次数X的分布 则这是一个n重伯努利试验 定义 设将试验独立重复进行n次 每次试验中 事件A发生的概率均为p 0 p 1 则称这n次试验为n重伯努利试验 更一般化的定义 4 引例 例 某射手在相同条件下独立地进行5次射击 每次击中目标的概率是0 6 求击中目标次数X的概率分布 解 X的可能取值为0 1 2 3 4 5 设事件Ai表示第i i 1 2 5 次射中 则Ai相互独立 P X 0 1 0 6 5 0 45 P X 1 5 0 6 1 0 6 4 类推可得 i 0 1 2 3 4 5 5 二项分布 定义 如果随机变量X的分布律为 其中0 p 1 q 1 p 则称X服从参数为n p的二项分布 简记作X B n p 注 在这里P X k 的值恰好是二项式 p q n展开式中第k 1项 这就是二项分布名称的由来 显然 n重伯努利试验中 发生概率为p的事件A出现的次数X就是服从二项分布的 反之 服从二项分布的随机变量X也可看成一个n重伯努利试验中某事件出现的次数 6 二项分布的期望与方差 可以证明 二项分布的期望与方差为 1 EX np 2 DX npq EX2 DX EX 2 npq n2p2例 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为0 4 则X2的数学期望E X2 DX EX 2 npq n2p2 2 4 16 18 4 7 二项分布数学期望的推导 8 二项分布数学方差的推导 计算二项分布的方差X 考虑E X X 1 EX2 EX 9 续上页 令i k 2 即EX2 EX n2p2 np2 因此EX2 n2p2 np2 npDX EX2 EX 2 np np2 np 1 p npq 10 二项分布的最可能值 设X B n p X取值为0 1 n 使得概率P X k 最大的k 记为k0 称为二项分布的最可能值 其中 n 1 p 表示不超过 n 1 p的最大整数 例如 若X B 4 0 8 n 1 p 5 0 8 4 所以 P X 4 和P X 3 的概率值最大 若X B 10 0 8 n 1 p 11 0 8 8 8 所以 P X 8 的概率值最大 8 8 8 演示二项分布概率分布图验证以上结论 11 结论的证明 证 其中 考虑比值 由此可知 12 例题与解答 例1 一批产品的废品率p 0 03 进行20次重复抽样 每次抽一个 观察后放回去再抽下一个 求出现废品的频率为0 1的概率 解令X表示20次重复抽取中废品出现的次数 X B 20 0 03 13 例题与解答 例2 从某大学到火车站途中有6个交通岗 假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立 并且遇到红灯的概率都是1 3 1 设X为汽车行驶途中遇到的红灯数 求X的分布律 2 求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 解 1 由题意 X B 6 1 3 于是 X的分布律为 14 二项分布的查表计算 对较小的n p 一般n 40 p 0 4 查分布函数表P X a F a P X a 1 F a P X a P X a 1 F a 1 P X a F a F a 1 15 查表计算示例 例3 设某人射击的命中率为0 4 连续射击10次 求 1 平均射中次数 2 最多射中2次的概率 3 至少射中2次的概率 4 射中4次的概率值 解 设射中次数为随机变量X 则X B 10 0 4 1 EX np 4 即平均射中次数为4次 4 P X 4 P X 4 P X 3 F 4 F 3 0 6331 0 3823 0 2508 2 P X 2 F 2 查分布函数表得 P X 2 0 1673 3 P X 2 1 P X 2 1 P X 1 1 F 1 1 0 0464 0 9536 16 二项分布的变换 若n较小 p较大 应用以下定理 定理若X B n p 且Y n X 则Y B n q 其中q 1 p 证明 P Y m P n X m P X n m 所以 Y B n q 一般地 若n 40 p 0 6 由定理可得 P X m P n Y m P Y n m P X m P n Y m P Y n m P X m P X m 1 P n Y m 1 P Y n m 1 对随机变量Y可查分布函数表取得 17 例题与解答 例4 设某人射击的命中率为0 8 连续射击10次 求 1 最多射中2次的概率 2 至少射中2次的概率 3 射中4次的概率值 解 设射中次数为随机变量X 则X B 10 0 8 令Y 10 X 则Y B 10 0 2 1 P X 2 P 10 Y 2 P Y 8 1 F 7 1 0 9999 0 00001 2 P X 2 P 10 Y 2 P Y 8 F 8 1 3 P X 4 P Y 6 0 0112若n较大 p接近于0 可转换为Possion分布 后面介绍 18 例题与解答 例5 某班有学生20名 其中有5名女同学 今从班上任选4名学生去参观展览 被选到的女同学数X是一个随机变量 求X的分布 解 X可取0 1 2 3 4这5个值 相应概率为 19 超几何分布 定义 设N个元素分为两类 有N1个元素属于第一类 N2个元素属于第二类 N1 N2 N 从中按不重复抽样取n个 令X表示这n个中第一 或二 类元素的个数 则X的分布称为超几何分布 分布参数为n N1 N2 其概率函数为 20 超几何分布vs二项分布 二项分布是放回抽样 而超几何分布是不放回抽样 当在不放回抽样时 超几何分布中的N1 N相当于二项分布中的参数p N2 N相当于二项分布中的q 1 p 超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0 1分布的随机变量Xi的和 i 1 2 n Xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数 根据抽签原理P Xi 1 N1 N 但如果i j Xi与Xj相互之间是不独立的 21 超几何分布的数学期望EX EX n N1 N 可以认为与二项分布期望一样 证明 22 超几何分布的方差DX DX n N1 N N2 N N n N 1 证明 先算出E X X 1 n n 1 N1 N N1 1 N 1 23 超几何分布中E X X 1 的计算 24 例题与解答 例6 一批产品20件 其中3件优质品 从中一次取4件 取到优质品数记为X 求X的概率分布及期望方差 解 据题意 X服从超几何分布 N1 3 N2 17 n 4 则 EX 3 5 DX 0 4295 25 超几何分布的实际应用情况 元素的个数N是相当大的 例如 从中国人中任抽几千个人观察 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察 等等 而在N非常大的情况下 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的 因此有 当N很大 n相对较小 一般 n N 5 的时候 超几何分布可用二项分布来近似 换句话说 当N趋于无穷时 超几何分布的极限是二项分布 26 超几何分布与二项分布关系 对固定的n 当N N1 N p时 有P X m 27 例题与解答 例7一大批种子的发芽率为90 今从中任取10粒 求播种后 1 恰有8粒发芽的概率 2 不少于8粒发芽的概率 解设10粒种子中发芽的数目为X 因10粒种子是由一大批种子中抽取的 这是一个N很大 n相对于N很小的情况下的超几何分布问题 可用二项分布近似计算 其中n 10 p 90 q 10 k 8 28 泊松 Poisson 分布 定义 如果随机变量X的概率函数是 则称X服从参数为 的泊松分布 29 泊松分布的应用背景 泊松分布常见于所谓稠密性的问题中 如一段时间内 电话用户对电话台的呼唤次数 候车的旅客数 原子放射粒子数 织机上断头的次数 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等 另外 对成功率为p的n重Bernoulli实验 只要n比较大 p较小 n 100 p 0 1 时 可以通过随后将介绍的 泊松定理 转化为近似服从泊松分布的问题而得到解决 所以泊松分布的应用非常广泛 30 泊松定理 Poisson定理 在n重Bernoulli实验中 成功次数X服从二项分布 设每次实验成功的概率为pn 0 pn 1 且 则有 泊松定理表明 泊松分布是二项分布的极限分布 当n很大 p很小时 二项分布就可近似地看成是参数 np 的泊松分布 n 100 p 0 1 31 泊松分布的数学期望 32 泊松分布的方差 泊松分布的期望 方差都等于分布的参数 33 例题与解答 例8设随机变量X服从参数为 0 的Poisson分布 当k为何值时 P X k 取最大值 解 考虑比值 由此可知 所以有 34 例题与解答 例9 随机变量X服从泊松分布 EX 5 查表求P X 2 P X 5 P X 20 解因泊松分布的参数 就是它的期望值 故 5 查书后附表 有P5 2 0 084224 P5 5 0 175467 P5 20 0 35 例题与解答 例10 枪击飞机 每次命中目标的概率为0 001 连续射击5000次 求击中2弹或2弹以上的概率 解 设命中次数为X X B 5000 0 001 n较大 p较小 应用Possion定理 np 5 所求为P X 2 1 P X 2 1 P X 0 P X 1 由Excel可得 P X 0 0 0067 P X 1 0 0337所以 P X 2 1 0 0067 0 0337 0 9596 36 例题与解答 例11 一大批产品的废品率为p 0 015 求任取一箱 有100个产品 箱中恰有一个废品的概率 解所取一箱中的废品个数X服