概率论与数理统计第8讲.ppt

概率论与数理统计第八讲 第三章随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的 需要用几个随机变量来同时描述 3 导弹在空中位置 坐标 X Y Z 1 某人体检数据 血压X和心律Y 例如 2 钢的基本指标 含碳量X 含硫量Y和硬度Z 一般地 将随机试验涉及到的n个随机量X1 X2 Xn放在一起 记成 X1 X2 Xn 称n维随机向量 或变量 由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难 所以 我们着重讨论二维随机向量 3 1二维随机向量及其分布函数 设试验E的样本空间为 X X 与Y Y 是定义在 上的两个随机变量 由它们构成的向量 X Y 称为二维随机向量 二维随机向量 X Y 的性质不仅与X和Y的性质有关 而且还依赖于X和Y之间的相互关系 因此 必须把 X Y 作为一个整体来看待 加以研究 为此 首先引入二维随机向量 X Y 的分布函数的概念 定义二维随机向量 X Y 的联合分布函数为 取定x0 y0 R F x0 y0 就是点 X Y 落在平面上 以 x0 y0 为顶点 且位于该点左下方无限矩形区域上的概率 如果将 X Y 看成平面上随机点的坐标 由上面的几何解释 易见 随机点 X Y 落在矩形区域 x1 x x2 y1 y y2内的概率为 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 说明 二维分布函数F x y 的三条基本性质 1 F x y 是变量x y的非减函数 即 y R给定 当x1 x2时 F x1 y F x2 y 同样 x R给定 当y1 y2时 F x y1 F x y2 2 x y R 有0 F x y 1 3 y R F y 0 x R F x 0 F 0 F 1 其中 3 2二维离散型随机向量 如果随机向量 X Y 的每个分量都是离散型随机变量 则称 X Y 是二维离散型随机向量 二维离散型随机向量 X Y 所有可能取的值也是有限个 或可列无穷个 离散型随机变量X的概率分布 离散型随机向量 X Y 的联合概率分布 联合概率分布也可以用表格表示 表3 2 1 二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数 设二维离散型随机向量 X Y 的联合概率分布为pij i 1 2 j 1 2 于是 X Y 的联合分布函数为 例1 设有10件产品 其中7件正品 3件次品 现从中任取两次 每次取一件 取后不放回 令 X 1 若第一次取到的产品是次品 X 0 若第一次取到的产品是正品 Y 1 若第二次取到的产品是次品 Y 0 若第二次取到的产品是正品 求 二维随机向量 X Y 的概率分布 解 X Y 所有可能取的值是 0 0 0 1 1 0 1 1 P X 0 Y 0 P 第一次取正品 第二次取正品 利用古典概型 得 P X 0 Y 0 7 6 10 9 7 15 同理 得P X 0 Y 1 7 3 10 9 7 30 P X 1 Y 0 3 7 10 9 7 30 P X 1 Y 1 3 2 10 9 1 15 例2 为了进行吸烟与肺癌关系的研究 随机调查了23000个40岁以上的人 其结果列在下表之中 X 1 若被调查者不吸烟 X 0 若被调查者吸烟 Y 1 若被调查者未患肺癌 Y 0 若被调查者患肺癌 从表中各种情况出现的次数 计算各种情况出现的频率 就产生了二维随机向量 X Y 的概率分布 P X 0 Y 0 3 23000 0 00013 P X 1 Y 0 1 23000 0 00004 P X 0 Y 1 4597 23000 0 19987 P X 1 Y 1 18399 23000 0 79996 3 3 1概率密度 设二维随机向量 X Y 的联合分布函数为F x y 如果存在一个非负函数f x y 使得对任意实数x y 有 则称 X Y 为连续型随机向量 f x y 为 X Y 的概率密度函数 简称概率密度 3 3二维连续型随机向量 连续型随机变量X的概率密度 连续型随机向量 X Y 的联合概率密度 对连续型随机向量 X Y 联合概率密度与分布函数关系如下 在f x y 的连续点 解 1 由 例1 设 X Y 的联合概率密度为 其中A是常数 1 求常数A 2 求 X Y 的分布函数 3 计算P 0 X 4 0 Y 5 3 P 0 X 4 0 Y 5 3 3 2均匀分布 定义 设D是平面上的有界区域 其面积为d 若二维随机向量 X Y 的联合概率密度为 则称 X Y 为服从D上的均匀分布 X Y 落在D中某一区域A内的概率P X Y A 与A的面积成正比 而与A的位置和形状无关 P X Y A A的面积 d 解 例2 设 X Y 服从圆域x2 y2 4上的均匀分布 计算P X Y A 这里A是中阴影部分的区域 圆域x2 y2 4面积d 4 区域A是x 0 y 0和x y 1三条直线所围成的三角区域 并且包含在圆域x2 y2 4之内 面积 0 5 故 P X Y A 0 5 4 1 8 若二维随机向量 X Y 有联合概率密度 3 3 3二维正态分布 正态分布 X Y 的概率