概率论与数理统计第四章习题.ppt

第四章习题 2 某产品的次品率为0 1 检验员每天检验4次 每次随机地取10件产品进行检验 如发现其中的次品数多于1 就去调整设备 以X表示一天中调整设备的次数 试求E X 设诸产品是否为次品是相互独立的 解设Zi表示第i次检验时所发现的次品数 i 1 2 3 4 则Zi b 10 0 1 P Zi k 0 1k0 910 k k 0 1 2 10 设随机变量Xi 1 第i次检验时要调整设备 Zi 1 0 第i次检验时不调整设备 Zi 1 i 1 2 3 4 则X X1 X2 X3 X4 由于 P Xi 0 P Zi 1 P Zi 0 P Zi 1 0 910 10 0 1 0 99 1 9 0 99 P Xi 1 1 P Xi 0 1 1 9 0 99 Xi服从 0 1 分布 故其数学期望 而E X E X1 E X2 E X3 E X4 4 1 1 9 0 99 1 0556 E Xi P Xi 1 1 1 9 0 99 i 1 2 3 4 1 1 5 在下列句子中随机地取一单词 以X表示取到的单词所包含的字母个数 写出X的分布律并求E X THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT 解共有8个单词 随机取到每个单词的概率都是1 8 X的分布律为 设在某一规定的时间间隔里 某电气设备用于最大负荷的时间X 以分计 是一个随机变量 其概率密度为 求E X 解 6 7 设随机变量X的分布律为 求E X E X2 E 3X2 5 解 或E 3X2 5 3E X2 5 3 2 8 5 13 4 设随机变量X的概率密度为 求 1 Y 2X 2 Y e 2X的数学期望 解 9 设 X Y 的概率密度为 求E X E Y E XY E X2 Y2 解如图 阴影部份是f x y 不为零的区域 也可以先求边缘概率密度 13 设随机变量X1 X2的概率密度分别为 1 求E X1 X2 E 2X1 3X22 2 又设X1 X2相互独立 求E X1X2 解法一 利用已知概率密度计算积分 1 E X1 X2 E X1 E X2 E 2X1 3X22 2E X1 3E X22 2 E X1X2 2 设随机变量Xi 0 第i次未抽到开门钥匙 1 第i次抽到开门钥匙 i 1 2 n 基本事件是从n把钥匙中抽取一把 故基本事件总数为n 而取到每把钥匙是等可能的 由于只有一把钥匙能打开门上的锁 每把钥匙试开一次后除去 所以第i次抽到开门钥匙 只能从 n i 1 把中抽取 故P Xi 1 n i 1 n 由 0 1 分布的数学期望E Xi P Xi 1 n i 1 n i 1 2 n 而X X1 X2 Xn 17 设随机变量X服从瑞利分布 其概率密度为 其中 0是常数 求E X D X 解法一 利用 令t x 则 法二 利用 函数的定义及性质 令t x2 2 2 则 20 设长方形的高 以m计 X U 0 2 己知长方形的周长 以m计 为20 求长方形面积A的数学期望和方差 解法一 X的概率密度为 A x 10 x 10 x x2 法二 利用已知均匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解 D A D 10X X2 D 10X D X2 2Cov 10X X2 100D X E X4 E X2 2 2 E 10X3 E 10X E X2 100D X E X4 E X2 2 20E X3 20E X E X2 21 1 设随机变量X1 X2 X3 X4相互独立 且有E Xi i D Xi 5 i i 1 2 3 4 设 求E Y D Y 解 E Z2 E X Y E X E Y 720 640 80 D Z2 D X Y D X D Y 900 625 1525 故Z2 N 80 1525 E X Y E X E Y 720 640 1360 D X Y D X D Y 900 625 1525 故X Y N 1360 1525 P X Y P X Y 0 P Z2 0 1 P Z2 0 P X Y 1400 1 P X Y 1400 设随机变量X Y相互独立 且X N 720 302 Y N 640 252 求Z1 2X Y Z2 X Y的分布 并求概率P X Y P X Y 1400 解E X 720 D X 302 E Y 640 D Y 252 E Z1 E 2X Y 2E X E Y 2 720 640 2080 D Z1 D 2X Y 4D X D Y 4 900 625 4225 652 故Z1 N 2080 652 21 2 24 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 试验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的 解先求边缘概率密度 同理 显然 在单位圆内 即时 因此X和Y不是相互独立的 同理 Cov X Y E XY E X E Y 0 因此X和Y是不相关的 25 设随机变量X Y的分布律为 P X i 3 82 83 8 验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的 解先求出关于X Y的边缘分布律如右 显然 对每一组 i j i j 1 0 1 都有P X i Y j P X i P Y j 因此X和Y不是相互独立的 Cov X Y E XY E X E Y 0 因此X和Y是不相关的 27 设随机变量 X Y 具有概率密度