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第一章 计数原理 综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知CCC(nN*)，则n等于()A14 B12 C13 D15答案A解析因为CCC，所以CC.78n1，n14，故选A.2设f(x)(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)310(2x1)25(2x1)1，则f(x)等于()A(2x2)5 B2x5C(2x1)5 D(2x)5答案D解析f(x)C(2x1)5(1)0C(2x1)4(1)1C(2x1)3(1)2C(2x1)2(1)3C(2x1)1(1)4C(2x1)0(1)5(2x1)15(2x)5.3(2010济南高二期末)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24 C30 D36答案C解析本题主要考查排列组合的知识不同分法的种数为CAA30.4已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn(nN*)，若a0a1an30，则n等于()A5 B3 C4 D7答案C解析令x1得a0a1an2222n30得n4.5甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有()A20种 B30种 C40种 D60种答案A解析由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C10(种)，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法数共有20种，故选A.6(2010全国理，6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种 C36种 D54种答案B解析把标号为1,2的卡片作为一个整体，放入同一信封有C种放法，然后将剩下的4个卡片放入另外两个信封中，有CC种方法，所以共有CCC18种方法7某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生数为()A2 B3 C4 D5答案A解析由题意可用排除法，设有女生x人，则有男生6x人，于是有CC16，即(6x)(5x)(4x)24，将各选项逐个代入验证可得x2.8(2009陕西理9)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216 C180 D162答案C解析本小题主要考查排列组合的基础知识由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有CCCA108，(2)不选“0”，共有CA72，由分类加法计数原理得72108180，故选C.9将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252种 B112种 C20种 D56种答案B解析每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人、3人、4人、5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定有CCCC112种10从集合1,2,3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的的子集共有()A10个 B16个 C20个 D32个答案D解析(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)CCCCC32.11(2010全国理，6)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种 B35种 C42种 D48种答案A解析可分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法所以不同的选法共有CCCC181230种12已知直线axby10(a，b不全为0)与圆x2y250有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()A66条 B72条 C74条 D78条答案B解析先考虑x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3412个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线axby10不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有6612672(条)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_种答案11解析因为good有两个相同字母，所以可能出现错误为A3AA111种14(21010四川理，13)6的展开式中的第四项是_答案解析6的展开式中第4项为T4C233.15如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有_对答案24解析由六棱锥图形分析可知，一条侧棱所在直线与底面上不和该直线相交的四条棱所在的四条直线中的一条才能构成异面直线，故完成这件事分两步：第一步从六条侧棱中任取一条，有六种方法；第二步从底面上不与此侧棱相交的四条棱中任取一条，有四种方法根据乘法原理，有6424(对)16(2010江西文，14)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)答案90种解析本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配乘以A得：A90种三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设的展开式的第7项与倒数第7项的比是1：6，求展开式中的第7项解析T7C()n66，Tn72Tn5C()6n6.由，化简得6461，所以41，所以n9.所以T7C()966C2.点评(1)本题是应用二项式定理的通项公式的典型问题，要能熟练地应用通项公式写出所需的各项(2)本题的解题思路实质是利用方程思想列出方程，解出n，这是解本题的关键18(本题满分12分)已知Ax|1log2x3，xN*，Bx|x6|3，xN*，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？解析A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8(1)从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5525(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有555434个不同的点；(2)AB3,4,5,6,7,8，C20(个)；(3)A中取3，则3不能作为首位有CCA180(个)；A中不取3，相当于从4,5,6,7,8中取4个数的全排列有A120(个)，共有300个符合要求的自然数点评注意A，B两集合中相同的元素在组合为点的坐标时无顺序之分19(本题满分12分)求()9的展开式中的有理项解析Tr1C()9r()r(1)rCx.因为27除以6的余数为3，要使为整数，r必为3的奇数倍因为0r9，所以需检验当r3和9时的值当r为3和9时，分别为4和3，所以展开式中的有理项为T4(1)3Cx484x4，T10(1)9Cx3x3.点评要求展开式中的有理项，必须观察展开式通项公式中x的指数，当r取什么值时，能使x的指数为整数拓展在求使为整数的r值时，一方面要注意r的取值范围是0r9，另一方面还要尽可能观察、分析r需要满足的条件，以减少检验的次数，例如，若仅注意到r为3的倍数，则需检验r分别为0,3,6,9时，的4个值，然后再进行取舍有时题中不是求出有理项，而是问第几项是有理项，这时应注意，求出的r表示第r1项是有理项20(本题满分12分)把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？解析(1)小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)共计有8种不同的放置方法(2)设三个盒子中小球的和分别为x1，x2，x3，显然有：x1x2x37，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yixi1(i1,2,3)由y1y2y30，问题又成为求不定方程y1y2y310的正整数解的组数的问题，在10个1中间的9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，不定方程的解有C36组21(本题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加这10个名额有多少不同的分配方法？解析解法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有C种分法；(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有CC种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有C种分法故共有NCCACCC126种分配方法解法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有NC126种放法故共有126种分配方法22(本题满分12分)已知n