土坡极限分析.ppt

极限分析法与土坡稳定 河海大学岩土工程研究所卢廷浩 关于极限分析理论 极限分析理论假定土体为弹性 理想塑性体或刚塑性体 强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料 当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时 土体会发生 无限 塑性流动 则认为土体处于极限状态 所对应的荷载称为极限荷载 极限分析理论就是应用弹性 理想塑性体或刚塑性体的普遍定理 上限定理 求极限荷载的上限解 和下限定理 求极限荷载的下限解 求解极限荷载的一种分析方法 称为极限分析法 正交流动规则 塑性应变率之间的关系 图 或 屈服函数 屈服函数 两种表达同 单剪中能量耗散率 代入 得 单元体能量耗散率单元体 总能量耗散率 材料总能量耗散率 能量耗散率计算 薄变形层上的刚体滑动 能量耗散率以对数螺线为周界的变形锲体的能量耗散率 推导 薄变形层上的刚体滑动 能量耗散率 以对数螺线为周界的变形锲体的能量耗散率 上 下限定理 静力容许的应力场设有物体V 其表面A 面力和体力已知 若在此物体上 设定一组应力场 满足下列条件 则称为静力容许应力场 在体积V内满足平衡方程 即 在边界上满足边界条件 即 在体积V内不违反屈服条件 即由定义可知 物体处于极限状态时 其真实的应力场必定是静力容许的应力场 但静力容许应力场不一定是极限状态时真实的应力场 上 下限定理 机动容许的位移速率场 在物体V上 若设定一组位移速率场 满足以下条件 为机动容许的位移速率场 在体积V内满足几何方程 即 则称 在边界Su上满足位移边界条件 或速度边界条件 并使外力做正功 由上述定义可知 物体于极限状态时 其真实的位移速率场必定是机动容许的位移速率场 但机动容许的位移速率场不一定是极限状态时真实的位移速率场 上 下限定理 虚功方程与虚功率方程虚功原理表明 对于一个连续的变形体 任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场 外力的虚功等于内力的虚功 同理虚功率原理可表示为 对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场 外力的功率等于物体内虚变形功率 如果物体内部存在速度间断时 其虚功率方程可表示为 以上几个定理的证明可参考土力学有关书本 这里从略 根据虚功率方程可以证明极限分析中两个重要的定理 即上下限定理 式中 S 速度间断面 速度间断面两侧切向速度的变化 上 下限定理 下限定理 在所有与静力容许的应力场满足相对应的荷载中 极限荷载最大 证明 上 下限定理 上限定理 在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中 外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小 证明 下限定理证明 证 设为真实的应力场 对应的表面力为Ti 为真实的位移速率场 由几何方程求得真实应变率为 真实速度场中可能存在速度间断面SL 其上的切向速度跃度为 在Su上给定速度为 在ST上给定表面力为 给定的体力为Fi 下限定理证明 由虚功率方程得又设另一静力容许的应力场 对应的表面力为 由虚功率方程得 下限定理证明 上述两式相减得 由Drucker公式得到 0 由于C 同时 0 即剪应力做正功率知 0 得证 上限定理证明 上限定理 在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中 极限荷载为最小 证 设为物体达到极限状态的真实应力场 其对应的表面力为Ti 为真实位移速率场 由几何方程求得的应变率为 真实速度场中可能有速度间断面SL 其上的速度切向跃值为 体力为Fi 上限定理证明 另设一机动容许的位移速率场 对应的应变率为 应变速度场可能有间断面 其上的切向速度为 虚功率方程得 由于 0 上限定理证明 又 C 则有 后两式代入第一式 有 显然只有当 时 上式等号成立 上限定理得到证明 事实上 不妨设Fi Ti就是真正的极限荷载 对应的静力许可应力场满足左边是外功功率 右边是能量耗散率 这就证明满足外功功率 能量耗散率塑性变形时的荷载最小 上 下限定理应用举例 地基极限承载力下限解上限解 上 下限定理应用举例 垂直边坡临界高度 无裂缝的垂直边坡 已知上限解外功功率 内能消散率 垂直边坡临界高度根据 根据 求导 有 得上限解 垂直边坡临界高度根据 下限解 有裂缝的垂直边坡 上限解 土坡稳定