高考数学一轮复习专题2.10函数的综合运用练习（含解析）.docx

第10讲 函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_【答案】【解析】函数f(x)的图象如图所示设ym与yf(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.由yx2x2，得顶点坐标为.当y时，代入y2x2x，得2x2x，解得x(舍去正值)，x1.又yx2x图象的对称轴为x，x2x31，又x2，x30，0x2x32.又0x1，0x1x2x3，x1x2x30.【举一反三】1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为()A.B1,0C(，2D.【答案】A【解析】令F(x)f(x)g(x)x23x4(2xm)x25x4m，则由题意知F(x)0在0,3上有两个不同的实数根，因而，即，解之得0，所以05211+2x+1M，存在x1,x2x1t2,有x12=2mx2-1k，即为x1=k，x2=k+12m，令g（k）=k-k+12m=2mk-k-12m，kt2, kt，g（k）在（t2，+）单调递减，g（k）g（t2）=2mt-t2-12m,又t=m+m2-1, g（t2）=0，即g（k）0，x1x2，故f（x）在1，+）上的“追逐函数”有故选：B3已知函数f(x)=xex,x0-xex,x0（e是自然对数底数），方程f2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个实数根，则t的取值范围为（）A(e+1e,+) B(-,-e-1e) C(-e-1e,-2) D(2,e+1e)【答案】B【解析】函数f(x)=xex,x0-xex,x1，若存在互不相等的4个实数x1，x2，x3，x4，使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7，则a的取值范围为（）A(6,12) B6,12 C(6,18) D6,18【答案】C【解析】由题可知fx=7x有四个互不相等的实数根，当x1时，|12x-4|+1=7x解得x=519或x=35，有两个不等实数根故当x1时，x（x-2）2+a=7x有两个个不等的实数根即x3-4x2-3x=-a有两个不等的实数根令hx=x3-4x2-3x则hx=3x2-8x-3，令hx=0解得x=-13或x=3所以函数hx在（1，3）上单调递减，在（3，+）上单调递增因为h1=-6,h3=-18所以-18-a-6即6a18故选C.5已知函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x0,1时，f(x)=x,若在区间（-1,1上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A0,12) B12,+) C0,13) D(0,12【答案】D【解析】设x（1，0），则（x+1）（0，1），当x0，1时，f（x）=x，f（x+1）=x+1f（x）+1=1f(x+1)，可得f（x）=x(0x1)1x+1-1(-1x0)，方程f（x）mxx=0，化为f（x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（1，0），可得kMN=12在区间（1，1上方程f（x）mxx=0有两个不同的实根，00【答案】C【解析】由题意，A中，函数f(x)=6+3cos2x5，则3fx9，不满足2fx8，所以不正确； B中，函数f(x)=5+3sinx5不满足f(3+x)=f(2-x)，所以不正确； C中，函数f(x)=2,xQ8,xCRQ，则3+xQ,2-xQ，且f3+x=f2-x=2，同理xCRQ时，f3+x=f2-x=3，显然2fx8成立，所以C是正确的； D中，f0=2,f5=8，不满足f3+2=f2-2，即不满足f3+x=f2-x，所以是错误的，综上所述，函数f(x)=2,xQ8,xCRQ是正确的，故选C.7已知函数定义在1,+)上的函数f(x)=4-|8x-12|,1x212f(x2),x2，则下列说法中正确的个数是（）关于x的方程f(x)-12n=0，(nN)有2n+4个不同的零点对于实数x1,+)，不等式xf(x)6恒成立在1,6)上，方程6f(x)-x=0有5个零点当x2n-1,2n，(nN*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】由表达式可知f1.5=4,f3=2,f6=1.当n=0时，方程fx-12n=0等价为fx=1,对应方程根的个数为五个，而2n+4=4，故错误；由不等式xfx6等价为fx6x，在x1,+恒成立，作出函数y=6x图象如图，由图可知函数y=6x图象总在fx的图象上方，所以不等式xfx6恒成立，故正确；由fx-16x=0，得fx=16x，设gx=16x，则g6=1,在1,6上，方程fx-16x=0有四个零点，故错误；令n=1得，2n-1,2n=1,2，当x1,2时，函数fx的图象与x轴围成的图形是一个三角形，其面积为S=1214=2，故错误，故选B.8已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+1)=f(1-x)，若当x0,1时，f(x)=sin2x，则函数g(x)=f(x)-e-x在区间-2018,2018上零点的个数为（）A2017 B2018 C4034 D4036【答案】D【解析】函数g（x）=f（x）e|x|在区间2018，2018上零点的个数函数f(x)=sin2x的图象与y=e|x|的图象交点个数由f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+1)=f(1-x)，即f（x）=f（x）又f(x+1)=f(1-x)，f（x）是周期为2的偶函数当x0，1时，f(x)=sin2x，作出y=f（x）与y=e-x图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）e|x|在区间2018，2018上零点的个数为20182=4036故选：D9设函数，若函数恰有三个零点，则的值是A B C D【答案】B【解析】函数，故根据题意得到化简得到=.故答案为：B.10设，又是一个常数，已知或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，给出下列命题：和有一个相同的实根；和有一个相同的实根；的任一实根大于的任一实根；的任一实根小于的任一实根其中正确命题的个数为（）A3 B2 C1 D0【答案】A【解析】根据三次函数，满足对是一个常数，当或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根这样的条件，满足画出函数的模拟图象如图：,当时，只有一个实数根；当时，有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故与有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确.与有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；有一实根且函数最小的零点，有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误；有一实根且小于函数最小零点，有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；所以A选项正确.11设fx是定义在R上的偶函数，且满足fx+2-fx=0，当0x1时，fx=x2，又gx=kx-14，若方程fx=gx恰有两解，则k的取值范围是（）A411,-45 B1,411.-45 C43,411,-45 D1,43,411,-45【答案】D【解析】fx+2-fx=0f(x)是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象过点A时斜率为43,相切时斜率为1,过点B的斜率为411,过点C的斜率为-45故选D.12函数f(x)= 若关于x的方程有五个不同的实数解求=（）A3 B5 C3a D5 a【答案】B【解析】由2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0得f(x)= 或f(x)=a.由已知画出函数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要使关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=、y=a共有五个不同的交点,结合图象分析不难得出, =5故选B13.定义在实数集上的奇函数满足，且当时，则下列四个命题：；函数的最小正周期为2；当时，方程有2018个根；方程有5个根其中真命题的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】，函数的最小正周期为，故错误，当时，即，故正确函数在实数集上为奇函数，即函数关于直线对称画出函数的图象如图所示：由图象可得，当时，方程有2个根，故当时，方程有个根，故正确；画出的图象如图所示，与函数有5个交点，故正确，故选C14.函数满足对任意，都有，且，则函数在上的零点之和是_【答案】515已知函数（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；（2）若函数有一个正的零点和一个负的零点，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由二次函数的对称轴，并结合条件，即可得到对称轴满足的关系式，解之即得实数a的取值范围；法二：函数有一个正的零点和一个负的零点，即16.已知二次函数的最小值为3，且（1）求函数的解析式；（2）若偶函数（其中），那么，在区间上是否存在零点？请说明理由【答案】（1）（2）存在零点【解析】试题分析：（1）待定系数法，己知函数类型为二次函数，又知f(-1)=f（3），对称轴是x=1，且函数最小值f（1）=3，所设函数，且，代入f(-1)=11，可解a（2）由题意可得，代入，由和根的存在性定理，在区间（1，2）上存在零点试题解析：（1）是二次函数，且，二次函数图像的对称轴为又的最小值为3，可设，且，由，得，（2）由（1）可得，在区间（1，2）上存在零点17.已知函数（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；（2）讨论的零点个数【答案】（）详见解析；（）详见解析【解析】试题分析：（1）利用奇偶性的定义，判断并证明得为奇函数；（2）分参得，判断其单调性和值域，得零点个数的情况试题解析：解法一：（）当时，函数，该函数为奇函数证明如下：依题意得函数的定义域为R，又，函数为奇函数（），函数在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，当或时，函数无零点；当时，函数有唯一零点（）问题等价于讨论方程=0的解的个数由，得当时，得，即方程无解；当时，得，当即时，方程有唯一解；当即或时，方程无解综上所述，当或时，函数无零点；当时，函数有唯一零点18设，函数（为自然对数义底数）()求的值，使得为奇函数()若关于的方程在上有解，求的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：()由奇函数得，得，进而检验即可；() 由条件得，化简得，易知不成立，时，求的范围即可当时，此时不成立；当时，而，在单调递增，综上所述的取值范围19.已知函数，且在上恒成立，（1）求的解析式；（2）若有，求实数的取值范围；（3）求证：与图像在区间有唯一公共点【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由题意可得，列出方程组，即可求解的值，得到函数的解析式；（2）由（1）和，得，即可求解实数的取值范围；（3）令，得到在上单调递增，根据零点的存在定理，即可证得区间上有唯一的零点在上单调递增，又，在上有唯一实数根，在上有唯一实数根，在上有唯一实数根，与图像在区间有唯一公共点20.已知函数，在上有最大值9，最小值4（1）