Jordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用.pdf

第15卷 第3期 湖 南 城 市 学 院 学 报 自然科学版 Vol 15 No 3 2006年9月 Journal of Hunan City University Natural Science Sept 2006 JordanJordanJordanJordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用 徐千里 1 2 徐水清 3 1 湖南城市学院 数学与计算科学系湖南 益阳 4130492 湖南涉外经济学院长沙 4102053 湖南益阳市 资阳区国基试验学校湖南 益阳 413049 摘 要利用等价方程组Jordan标准型与常数变易公式研究了一类n阶常系数非齐线性常微分方 程 cos sin xx P D ya xeb xe 得到了它的一种新的求解方法最后给出了一个详细的实例 关键词非齐线性常微分方程等价方程组基解矩阵标准型常数变易公式 中图分类号O175 1 文献标识码A 文章编号1672 7304 2006 03 0034 03 考察n阶常系数非齐线性常微分方程 cos sin xx P D ya xb xee 1 这 里 1 11 nn nn P DDa DaDa 是 微分多项式算子 11 n a a 和 都是任意常数 a x与 b x都是连续函数 方程 1 简单优美有趣 显然它满足初值问题 解的存在惟一性定理的条件但是求常系数非齐 线性微分方程特解的常用方法待定系数法与 Laplace 变换法已经不再适用且在常微分方程 教程中十分罕见至少这种教材很少作者只在 文 1 中 见 到 过 两 个 例 子一 个 是 43sin x yyye777 它 有 一 个 特 解 32 cossin xxxx p yeeee 一个是 32cos x yyye 777 它 有 一 个 特 解 p y 2 cos xx ee 作者发现矩阵指数函数 Ax e与常数 变易法在方程 1 的求解问题中起着关键的作用 同时能引出一系列的工作 方程 1 的这些情况 自然引起人们的兴趣与 关注 本文目的是要寻找求解方程 1 的一种新的 方法 1 研究方法与预备定理 研究方程 1 有两种思路一种思路是利用 高阶线性微分方程的理论与常系数高阶线性微分 方程的求解方法如常数变易法齐次化原理 算子解法等 可以得到方程 1 的特解和通解 另 一种思路就是将它化为与之等价的一阶线性微分 方程组计算相应的齐线性方程组的基解矩阵 利用常数变易法将其结果转化到方程 1 上去 从 而获得方程 1 的特解与通解 第二种思路比第一 种思路更加具有一般性也更为重要 因 为 矩 阵 函 数 x eA是 用 矩 阵 无 穷 级 数 0 kk k A x k 8 定义的要用这个定义来计算 x eA除了 一些极个别特殊情形外是很不方便的而从实 用上看 必须要得到 x eA的一种用初等函数表达的 有限形式为此就需要从常微分方程与矩阵论中 去寻找能够提供基解矩阵 x eA的有限形式的方 法提供基解矩阵 x eA有限形式的一些常用方法 1 Putzer方法 2 3 2 有限级数法 即待定系数法 4 5 3 Lagrange插值法 4 5 4 Jordan标准型 2 5 文献 6 利用Putzer方法求出了 x eA的有限 形式文献 7 利用有限级数法求出了 x eA的有限 形式 对方程 1 作了详细的研究 给出了相应的 两个互不相同的求解方程 1 的新方法 本文则利 用Jordan标准型给出 x eA的有限形式从而得到 了求解方程 1 的与文献 6 文献 7 的方法都不 相同的一种新方法为此需要下面几个定理 定理定理定理定理 1 1 1 1 2 5 设 AA 1 n n CPJP为A的 Jordan标准型分解则 1xJx PPee A 定理定理定理定理 2 2 2 2 5 设友矩阵A 为 1221 01000 00100 00001 nnn A aaaaa 9 则 1 当A有n个不同的特征值 12 n 时 Jordan标准型J及相似变换矩阵P分别为 收稿日期2006 01 15 作者简介徐千里 1942 男湖南益阳人副教授主要从事常微分方程动力系统与分支问题研究 徐千里等Jordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用 第 15 卷 35 1 2 n J 9 111 12 222 12 12 111 nnn n n n P 9 2 A的最小多项式m 等于A的特征多 项式 且 nn 1n2 12 m det I aa A 1nn aa 定理定理定理定理 3 3 3 3 5 n阶常系数非齐线性常微分方程 的初值问题 0 1 11 1 1 0000 0 nn nn nn x ya yaya yf x y xyy xyyy 70 0 1 770 02 2 的解 p y是n阶常系数非齐线性常微分方程组的 初值问题 00 0 0 TX AXf x x X xX d d 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 3 的解 XX x 的第一个分量即 1 0 0 1 0 0 p yX x AB 0 0 0 0 0 x T xxxs x Xf ss eed C AA 4 其中 12 n a aa 是任意常数 f x为连续函 数A是多项式 1 1 nn a 1nn aa 的友矩阵 120 T n Xx x xxxxX x 10200 T n x xxxxx 1 0000 T n yyyX 9 7 公式 4 称为高阶常系数非齐线性微分方程 的常数变易公式 有了上述 3 个定理 就可以获得求解方程 1 的而又不同于文献 6 文献 7 一种新方法 2 实例 例例例例 1 求 2 22 2 cos2sin xxxx yyyyeeee777777 5 的通解 解 因为方程 5 的特征方程是 32 22 2 1 1 所以方程 5 的余函数是 2 123 xxx c yccceee 下面来求方程 5 的一个特解 p y为此考虑 初值问题 2 000 22 2 cos2sin sin1 cos1sin1 cos1 xxxx yyyy yyy eeee 777 7770 0 1 0777 02 6 令 123 xy xy xy777 则初值问题 6 可 以化为与之等价的初值问题 12 23 2 3123 0 22 2 cos2sin 0 sin1 cos1sin1 cos1 xxxx T xx xx xxxxe XX eee 7 0 0 0 0 7 0 0 0 1 70 0 0 0 0 0 0 2 7 考虑方程组 7 的相应的齐线性方程组 12 23 3123 22 xx xx xxxx 7 0 0 0 0 7 1 0 0 0 7 0 2 8 方程组 8 的系数矩阵是 010 001 212 A 9 现在要计算方程组 8 的基解矩阵 x eA因为 A是多项式 32 22F 的友矩阵A 有三个不同的特征值 12 2 1 与 3 1 由 定理 2 知A的Jordan标准型J与相似变换矩 阵P分别为 2 1 1 J 9 111 21 1 411 P 9 从而 1 11 0 33 11 1 22 111 326 P 9 由定理 1得到方程组 8 的基解矩阵为 1xJx PPee A 2 11 0 33 11100 11 21 1001 22 41100 111 326 x x x e e e 9 9 9 2 2 2 11 0 33 11 21 22 4 111 326 xxx xxx xxx eee eee eee 9 9 湖 南 城 市 学 院 学 报自然科学版 2006年第3期 36 22 22 22 1111111 3322326 2111211 3322326 4111411 3322326 xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx eeeeeeee eeeeeeee eeeeeeee 9 由常数变易公式 4 初值问题 6 的解 p y是 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x xxs p yX xXee C AA 22 1 0 0 2 cos2sin 3 T ssssxx seeeedee 9 2 11111 sin1 cos1sin1 32232 xxxxx eeeee 2 0 1111 cos1 6326 x xxsxsxs eeee 9 C 22 11 2 cos2sin cos1 33 ssssxx seeee dee 9 22 0 1312 sin1 3263 x xxxxs eeee C 23 00 11 sincos 33 xx xxxssxs esedeeede CC 222 0 112 sin 263 x xsxsxsxs ee deee C 22 1111 cos cos1 3333 xssxxx edeeee 2 3112 sin1sin sin1 2633 xxxxxx eeeeee 222 0 2211 coscos1cos 3333 x xxxxssx seeeeeede C 22 0 11 sin1 cos 26 x xxxsxss eeeede C 22 0 214 cos1 sin 333 x xxxxsxx eeeeede C 22 0 1111 cos cos1 3333 x xssxxx seeedeee C 2 3112 sin1sin sin1 2633 xxxxxx eeeeee 222 22111 coscos1 sin1 33326 xsxxxx eeeeee 22 cos1sin 2 sin1 xxxxxx eeeeee 222 21 2cos2cos1 cos1 33 xxxxxx eeeeee 222 1444 sin sin1coscos1 3333 xxxxxxx eeeeeee 22222 1122 2 3333 xxxxxxx eeeeeee 22 14131 cos1 33326 xxxxxx eeeeee 22 2111 2 3326 xxxxxxx eeeeeee 2222 424 sin1 2 cos 333 xxxxxx eeeeee 11 sinsin 33 xxxxxx eeeeee 所以方程 5 的通解为 2 123 sin xxxxx cp yyyccceeeee 参考文献 1 Roberts C EOrdinary differential equations M New York Prentice Hall inc1979 196 201 380 2 王高雄 周之铭 朱思铭常微分方程 M 第2版北京 高 等教育出版社 1991 207 235 3 都长青 焦宝聪 焦炳照常微分方程 M 第2版北京 首 都师范大学出版社 2001 222 232 4 杨克劭 包学游矩阵分析 M 哈尔滨 哈尔滨工业大学出 版社 1995 187 214 5 黄有度 狄成恩 朱士信矩阵论及其应用 M 合肥 中国 科学技术大学出版社 1995 136 158 168 179 6 徐千里 汤灏Puter方法在常系数非齐线性常微分方程中的 应用 J 湖南城市学院学报 2003 24 6 49 53 7 徐千里 徐水清Langrase插值法在一类非齐线性常微分方 程的应用 J 湖南城市学院学报 自然科学版 2005 14 4 34 36 Application ofApplication ofApplication ofApplication of JordanJordanJordanJordan Canonical Form to Nonhomogeneous Canonical Form to Nonhomogeneous Canonical Form to Nonhomogeneous Canonical Form to Nonhomogeneous Linear Ordinary Differential Equations Linear Ordinary Differential Equations Linear Ordinary Differential Equations Linear Ordinary Differential Equations XU Qian li 1 2 XU Shui qing3 1 Department of Mathematics and Computer science Hunan City University Yiyang Hunan 413049 China 2 Hunan College of International Economics Changsha 410205 China 3 Guoji Campus School Ziyang District Yiyang Hunan 413049 China Abstract Abstract Abstract Abstract In this paper thenthorder nonhomogeneous linear ordinary differential equations with constant coefficints cos sin xx P D ya xb xee Where 1 11 nn nn P DDa DaDa is differential polynomial operator 1 a 2 a n a and are arbitrary constants a xand b xare continuous functions and it is investigated by using equivalent system Jordancanonical form and variation of constants formula A new method of finding its solution is obtained Finally an illustrative example is presented in detail KeKeKeKey words y words y words y words Nonhomogeneous linear ordinary differential equation equivalent system fundamental solution matrix Jordancanonical form variation of constants formula 责任编校向旭宇 Jordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用Jordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用 作者 徐千里 徐水清 XU Qian li XU Shui qing 作者单位 徐千里 XU Qian li 湖南城市学院 数学与计算科学系 湖南 益阳 413049 湖南涉外经济学院 长沙 410205 徐水清 XU Shui qing 湖南益阳市资阳区国基试验学校 湖南 益阳 413049 刊名 湖南城市学院学报 自然科学版 英文刊名 JOURNAL OF HUNAN CITY UNIVERSITY NATURAL SCIENCE 年 卷 期 2006 15 3 被引用次数 0次 参考文献 7条 参考文献 7条 1 Roberts C E Ordinary differential